随机噪声特性分析

随机信号分析试验
随机噪声特性分析
院系：通信工程学院
班级：011241
成员：
目录
一. 实验摘要
二. 实验目的
三. 实验步骤
四. 实验原理
4.1 白噪声特性分析
4.2 白化滤波器的设计与分析
4.3 理想白噪声、带限白噪声比较分析
4.4 色噪声的产生与分析
4.5 用硬件实现白噪声
五．实验设计与实现六．实验总结与心得
、实验摘要
本实验主要研究随机信号各种噪声的特性分析。

因此，我们通过利用计算机模拟各种噪声来更好的了解随机噪声的特点，来印证我们所学的基本理论
二、实验目的
1、了解白噪声信号、色噪声信号自身的特性，包括均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。

2、掌握白噪声、色噪声信号的分析方法。

3、熟悉常用的信号处理仿真软件平台：matlab或C/C++语言、EW软件仿真。

4、了解估计功率谱密度的几种方法，掌握功率谱密度估计在随机信号处理
中的作用。

三、实验步骤
1、根据选题的内容和要求查阅相关的文献资料，设计具体的实现程序流程或电路。

2、自选matlab、EW或c仿真软件。

如用硬件电路实现，需用面包板搭建电路并调试成功。

3、按设计指标测试电路。

分析实验结果与理论设计的误差，根据随机信号的特征，分析误差信号对信号和系统的影响。

四、实验原理
4.1 白噪声特性分析
白噪声是指它的概率统计特性服从某种分布，而它的功率谱密度又是均匀的
确切的说，白噪声只是一种理想化的模型，因为实际的噪声功率谱密度不可能具 有无限宽的带宽，否则它的平均功率将是无限大， 是物理上不可实现的。

然而白 噪声在数学处理上比较方便，所以它在通信系统的分析中有十分重要的作用。

一 般地说，只要噪声的功率谱密度的宽度远大于它所作用的系统的带宽，
并且在系
统的带宽内，它的功率谱密度基本上是常数，就可以作为白噪声处理了。

白噪声 的功率谱密度为：
其中N O /2就是白噪声的均方值。

白噪声的自相关函数为:
N o No
白噪声的自相关函数是位于T =0处、强度为2的冲击函数。

这表明白噪声 在任何两个不同的瞬间的取值是不相关的。

同时也意味着白噪声能随时间无限快 的变化，因为它的带宽是无限宽的。

4.2 白化滤波器的设计与分析
在统计信号处理中，往往会遇到等待处理的随机信号是非白色的， 例如云雨、 海浪、地物反射的杂乱回波等，它们的功率谱即使在信号通带内也非均匀分布， 这样会给问题的解决带来困难。

克服这一困难的措施之一是对色噪声进行白化处 理。

主要内容是设计一个稳定的线性滤波器或者一种白化变换方法，
将输入的有
色噪声变成输出的白噪声。

下面探讨两种方法来实现白化问题。

1、白化滤波器
将任意随机信号x(t)输入一个线性时不变滤波器，滤波器将x(t)白化为白噪 声，这个滤波器就叫做白化滤波器。

我们可以使用频域技术白化这个信号， 用输 入信号的功率谱密度S x ()，选择最小相位H()得到极点和零点都位于S 面左侧,
保证逆滤波器稳定，必须保证 H x ()在所有 上都严格为正，这样H()就不会
S n (f)
N o 2
这样就可以用以下关系构造白化滤波器:
H()
1
H x (
)，选择最小相位滤波器
有奇点。

白化噪声为：ifft{ H()}*[ H x( )},白化噪声的功率谱为:
S x( ) 1
H( )H*( 0()
Sx()，白化噪声的功率谱为常数，可见随机噪声已白化
2、白化滤波器的设计方法
首先计算色噪声自相关函数，根据色噪声的自相关函数，计算出色噪声的功
率谱(色噪声的自相关函数和功率谱构成一对傅里叶变换对) ，然后根据公式
G x()(注意求倒数时G x()不能为零)，计算出白化滤波器的频谱。

白化变换就是要构
造一个白化矩阵，使色噪声与白化矩阵相乘后为白噪声。

X =Q・X线性变换，使得X的协方差矩阵C x为单位矩阵(即C x E[XXT] 1)。

这里Q称作白化矩阵，它可以通过对色噪声矩阵X的协方差矩阵C x E[XX ]的
对角化求解来获得：Q E T A1/2E，式中E矩阵由C x的特征向量组成，A为C x的
特征值「组成的对角矩阵A=diag( 1，2……丨)。

经过白化处理后，色噪声信
号变换为具有单位方差的信号X，且X中各信号分量相互正交。

白化变换方法总结：
a. 将生成的色噪声由一行变为n*m。

b. 计算色噪声的协方差矩阵C x。

C.计算协方差矩阵的特征值，以及特征向量。

d. 求白化变换矩阵。

e. 白噪声等于色噪声乘白化矩阵。

f. 再将生成的色噪声由n*m行变为一行。

4.3理想白噪声、带限白噪声比较分析
若一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度在某一个有限频率范围内均匀分布，而在此范围外为零，则称这个过程为带限白噪声。

带限白噪声分为低通型和带通型。

4.4色噪声的产生与分析
我们把除了白噪声之外的所有噪声都称为有色噪声。

就像白光一样，除了白
光就是有色光。

色噪声中有几个典型：
（1）粉红噪声。

粉红噪声是自然界最常见的噪声，简单说来，粉红噪声的频率分量功率主要分布在中低频段。

从波形角度看，粉红噪声是分形的，在一定的范围内音频数据具有相同或类似的能量。

从功率（能量）的角度来看，粉红噪声的能量从低频向高频不断衰减，曲线为1/f，通常为每8度下降3分贝。

粉红噪声的能量分布在任意同比例带宽中是相等的。

在给定频率范围内（不包含直流成
分），随着频率的增加，其功率密度每倍频程下降3dB（密度与频率成反比）。

每倍频的功
率相同，但要产生每倍频程3dB的衰减非常困难。

因此，没有纹波的粉红噪声在现实中很难找到。

粉红噪声低频能下降到接近OHz （不包括OHz），高频段频率接近20几千赫，而且它在等比例带宽内的能量是相等的（误差只不过O.ldB左右）。

粉红噪声的功
粉红噪声的功率普密度
（2）红噪声（海洋学概念）。

这是有关海洋环境的一种噪声，由于它是有选择地吸
收较高的频率，因此称之为红噪声。

（3）橙色噪声。

该类噪声是准静态噪声，在整个连续频谱范围内，功率谱有限，零功率窄带信号数量也有限。

这些零功率的窄带信号集中于任意相关音符系统的音符频率中心上。

由于消除了所有的合音，这些剩余频谱就称为“橙色” 音符。

（4）蓝噪声。

在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长3dB（密度正比于频率) 。

对于高频信号来说，它属于良性噪声。

(5)紫噪声。

在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长6dB(密度正比于
频率的平方值) 。

(6)灰色噪声。

该噪声在给定频率范围内，类似于心理声学上的等响度曲
线(如反向的A-加权曲线)，因此在所有频率点的噪声电平相同。

(7)棕色噪声。

在不包含直流成分的有限频率范围内，功率密度随频率的
增加每倍频下降6dB(密度与频率的平方成反比)。

该噪声实际上是布朗运动产生的噪声，它也称为随机飘移噪声或醉鬼噪声。

(8)黑噪声(静止噪声)：
①有源噪声控制系统在消除了一个现有噪声后的输出信号。

②在20kHz以上的有限频率范围内，功率密度为常数的噪声，一定程度上它类似于超声波白噪声。

这种黑噪声就像“黑光”一样，由于频率太高而使人们无法感知，但它对你和你周围的环境仍然有影响。

4.5 用硬件实现白噪声平稳随机过程是在时间平移下概率性质不变的随机过程。

其统计特性是，任意有限维分布函数不随时间的推移面改变；当过程随时间的变化而产生随机波动时，其前后状态相互联系，即不但它的当时情况，而且它的过去情况对未来都有不可忽视的影响。

按照描述平稳随机过程的统计特性的不同，平稳随机过程分为严平稳随机过程和宽平稳随机过程。

1024
1
五、实验设计与实现
5.1利用计算机产生正态分布、均匀分布和指数分布的随机数，画出 点的波形。

实验程序如下：
x=no rmrnd(0,1,[1,200]);
Subplot(2,1,1); plot(x); xlabel(' n');
ylabel('x (n)'); title('200 点正态分布'); x=n ormrnd(0,1,[1,1024]); Subplot(2,1,2); plot(x); xlabel(' n'); ylabel('x (n)');
(1)正态分布：其概率密度为
f(x) 二一exp
(x m)2
m 0,
x=normrnd(0,1,[1,1024])
200点正态分布
ID"点龙态分布
title('1O24 点正态分布');
(2) 均匀分布的：0-1分布，其概率密度为f(x)
x=ran d(200,1); Subplot(2,1,1); plot(x); xlabel(' n'); ylabel('x (n)');
title('200 点均匀分布'); x=ra nd(1024,1); Subplot(2,1,2); plot(x); xlabel(' n'); ylabel('x (n)');
title('1024 点均匀分布');
1 x f (x)
—exp( —),
2
(3) 指数分布：
x=exprnd(2,20,10)
x=ra
nd(200,1)
实验程序如下:
10x1 0 其他
如。

点指数分布
实验程序如下：
x=exprnd(2,200,1); Subplot(2,1,1); plot(x);
xlabel(' n'); ylabel('x (n)'); title('200 点指数分布');
x=exprnd(2,1024,1);
Subplot(2,1,2); plot(x); xlabel(' n'); ylabel('x (n)'); title('1024 点指数分布');
(4)瑞利分布
Y=raylrnd(1,1,1024)
程序如下：
raylrnd(1,1,200);
>> Subplot(2,1,1);
plot(x);
xlabel(' n');
ylabel('x( n)');
>> title('200 点锐利分布');
>> x=raylrnd(1,1,1024);
>> Subplot(2,1,2);
plot(x);
xlabel(' n');
ylabel('x( n)');
>> title('1024 点锐利分布');
(5)X A2分布
X=chi2rnd(1,1,1024)
程序为：
CHI2rnd(1,1,200);
Subplot(2,1,1);
plot(x);
xlabel(' n');
ylabel('x( n)');
title('200 点XA2 分布');
x=CHI2rnd(1,1,1024);
Subplot(2,1,2);
plot(x);
xlabel(' n');
ylabel('x( n)');
title('1024 点XA2 分布');
(6)计算上面5种分布的均值与方差的理论值，并画出理论的概率密度(图)，; 上面三种分布的均值与方差的理论值
1. 正态分布
2
E x m 0, D x1
2.均匀分布
2
a b b a
E x 0.5, D x0.83
22
3.指数分布
2
E x 2, D x4
三种分布理论的概率密度图
实验程序如下：
x=-6:0.01:7;
y=normpdf(x,0,1);subplot(1,2,1); axis on;
plot(x,y);
axis square;
title(' 正态概率密度函数');
1 均匀概率密度函数
□.8- - a.G- -
d.4 - 0 2
□ --------- - -------- 1 ------ ------ -W ^5 0 6 10
实验程序如下:
clear;
x=-10:0.01:10; y=u nifpdf(x,0,1);
subplot(1,2,1); axis on; plot(x,y);
Axis(0,30,0,1);
title(' 均匀概率密度函数');
实验程序如下：
x=0:0.01:30;
y=exppdf(x,2); subplot(1,2,1); axis on; plot(x,y); axis square;
title(' 指数概率密度函数
');
5.2 5种随机序列分别在1024、10240和20480点的概率密度、均值与方差、
概率密度
1卫4点正态概率密度固数
阳 茁 上 J D 2
4 G E 10 12
理论值
1024 点 10240点 20480点 均值
0.0138
0.0195
-0.0092
方差
1
0.7606 0.9898 0.9684
实验程序如下：
x=-6:0.01:10;
y=n ormrnd(0,1,[1,1024]); subplot(3,1,1); hist(y,x);
title('1024 点正态概率密度函数');
m=mea n(y) sigma= var(y) x=-6:0.01:10; y=n ormrnd(0,1,[1,10240]); subplot(3,1,2); hist(y,x);
10r
-6 -4 -2 □ 2 A E B 10 12
W 四口点正态概率密度国数
WOr
20480^正态概率密度函数
title('10240 点正态概率密度函数');
m=mea n(y) sigma = var(y)
x=-6:0.01:10;
y=n ormrnd(0,1,[1,20480]); subplot(3,1,3);
hist(y,x);
title('20480 点正态概率密度函数');
m=mea n(y)
sigma= var(y)
1024点均匀概率密度函数
200
创」孔点均匀槪率密度函数
实验程序如下：
x=0.:0.01:1; y=ra nd(1024,1); subplot(3,1,1); hist(y,x); title('1024 点均匀概率密度函数'); M1=m ea n(y)
Sigma 仁 var(y) y=ra nd(10240,1); subplot(3,1,2); hist(y,x); title('10240 点均匀概率密度函数'); M2=mea n(y)
Sigma2= var(y) y=ra nd(20480,1); subplot(3,1,3); hist(y,x); title('20480 点均匀概率密度函数'); M3=mea n(y) Sigma3= var(y)
表三、不同长度下的指数分布统计结果
理论值
1024 点 10240点 20480点 均值
2
2.0559
1.9993
2.0122 方差
4 5.7294 4.1452
4.0242
实验程序如下：
clear;
W24点扌旨数枫率密度IB
W24U 点指数概率密度国隸
■5 0 5 10 15 20 25
20430点指数概率密度国数
200 l
x=-1:0.01:10; y=exprnd(2,1024,1);
subplot(3,1,1);
hist(y,x);
title('1024 点指数概率密度函数');
M1=m ea n(y)
Sigma仁var(y) y=exprnd(2,10240,1); subplot(3,1,2); hist(y,x);
title('10240 点指数概率密度函数');
M2=mea n(y)
Sigma2= var(y) y=exprnd(2,20480,1); subplot(3,1,3);
hist(y,x);
title('20480 点指数概率密度函数');
M3=mea n(y)
Sigma3= var(y)
分析：从理论概率密度曲线和1024,10240,20480点的概率密度曲线的比较
看出，取点越多，概率密度曲线与理论概率密度曲线越接近，其均值和方差也越
接近理论计算均值和方差。

所取的随机变量越多，其统计特性越接近理论统计特性。

5.4测试高斯白噪声n(t)特性。

1、输入信号x(t)、噪声n(t)的测试与分析
(1)x(t)的特性分析
5
3(
o
f
时
4
o
3
o
2
o
3
H
曙
虹
書
o
o1
.
6
a
①均值：E[x(t)]=0.0031
均值除了表示信号的平均值，它还表示信号的直流分量，可见此信号没有直流分量。

②均方值：E[x2(t)]=1.5001
均方值表现了信号的平均功率
③方差:D[x(t)]=1.5026
方差反映了信号绕均值的波动程度，也表示信号平均交流功率
此噪声直流分量很小，近似为0
②均方值：E[n(t)]=1.0071
此噪声平均功率1.0071
③方差：D[n(t)]=1.0051
此噪声平均交流功率1.0051
④自相关函数
自相关函数表示两时刻的相关程度，在0处有冲击是因为在一个时刻他肯定和自己线性相关，等于均方值。

⑤时域上看它做无规律波动，频域上看它频带很宽，频域也做无规律波动。

⑥功率谱密度近似一条直线，符合白噪声定义(均值为0,功率谱密度是非0
常数的平稳随机过程)。

白噪声功率谱密度
实验程序如下：clear;
clc;
%(一)高斯白噪声的产生与分析%第一步：产生高斯白噪声信号figure; N=10000; %采样点数
global no ise
no ise=ra ndn( 1,N);
t=O:1/(N-1):1;
T=1/(N-1); %取样间隔
fs=1/T; %取样频率
plot(t, noise);
ylabel('噪声幅值(V)'); xlabel('时间(t)');
title('高斯白噪声信号');
%第二步：对高斯白噪声信号进行分析
figure;
% 计算信号均值
m=mea n(no ise)
%计算信号均方值
m_square=mea n(no ise42)
% 计算信号方差
s=mea n(( noise-m).A2)
%求自相关函数
[r,lag]=xcorr(noise, 'unbiased' ); plot(lag*T,r);
title( ' 自相关函数' ); %求高斯白噪声的概率密度figure;
tt=-8:0.001:8;
f=exp(-(tt-m).A2/s)./(sqrt(2*pi*s));
plot(tt,f);
title( ' 高斯白噪声的概率分布曲线' ); %求高斯白噪声的频谱figure;
Noise=fft(noise,N); cmo=abs(Noise); plot((0:N-1)*fs/N,cmo); xlabel( ' 频率(HZ)' );
ylabel( ' 幅值(V)' );
title( ' 白噪声信号频谱' ); %求高斯白噪声功率谱密度figure; fc=fft(r); cm=abs(fc);
fl=(0:length(fc)-1)'*fs/length(fc); plot(fl,cm);
title( ' 白噪声功率谱密度' );
3)加噪声的信号s(t)=x(t)+n(t)
5
1 2
3
4 5 6
F requoncy (kHz)
7
8
g
① 均值：E[s(t)]=0.0579
其直流分量是两个信号的线性叠加
② 均方值：E[s (t)]=2.5786
其平均功率是两个信号的线性叠加
③ 方差：D[s(t)]= 2.5777
其平均交流功率是两个信号的线性叠加
④ 从功率谱密度可以很轻易的分辨出有用信号和噪声 实验程序如下：
figure(4) z1=x+y1;
subplot(3,1,1),plot(t,z1); %
xlabel('时间 /s'); ylabel('振幅'); title(' 加噪信号'); axis([0 0.01 -5 5]); w 仁 fft(z1,N); % magw1=abs(w1);
%
subplot(3,1,2);plot(f,magw1); % xlabel('频率 /Hz');
ylabel('振幅');
title(' 加噪信号幅频特性曲线'); grid ;
c.001 O.002 0.003 0.004 0.006 0.006 0.007 o.aOB 匚 009 o.ai
I 1 I ■
■
・
■ I ■ ■ I p i i ■ ■
■
9
加噪倍号幅领特性曲线
°0
1000 2UOO 3D00 4000 6000 (5000 7000 SOLO 9000 WOLIO
硕率旧2
绘制加噪信号
加噪信号频谱 加噪信号频域振幅
绘制加噪信号幅频特性曲线
P&rioidogram Power Spectral Density Estimate
-100
subplot(3,1,3);
periodogram(z1,[],'twosided',2048,fs); % 功率谱密度
%3.1、加噪信号数字特征
%匀值Es=mea n(z1)
%匀方值Es2=mea n(z1.*z1)
初差os2=var(z1) 2、滤波器的设计及输出信号特性
血•-
0 1000 2000 3DC0 MOO 5000 6000 700D S003 DCOD 1000CI
①均值：E[z(t)]= -7.5095e-04
濾液詐幅频响应
州口I I I I I
)60 1 --------- 1 ----------------------------- 1--------- 1 -------- 1-------- 1--------- 1 -------------------
0 5DQ 1CCC 19CD 2000 曲DD 3COO 3500 匸00 45TI 6000
坝率化
Q
□
n
-5
M
傭波器输出信号
输出信号幅坝啊应
EOO------- 1 -------------------- 1 --------------------- 1 -------------------- 1 --------------------- 1 -------------------- 1--------------------- 1 --------------------- 1--------------------- 1 --------------------
周期图法估计加噪信号
直流分量仍然近似为 0 ② 均方值： E[z 2(t)]=0.6853
平均功率减小，因为有些频率的波被虑除了。

③ 方差： D[z(t)]= 0.6860
平均交流功率也减小了，因为有些频率的波被虑除了。

实验程序如下：
fs=10000; N=1024; % 采样频率和数据点数 n=0:N-1; t=n/fs; % 时间序列 s=sin(2*pi*1000*t)+sin(2*pi*2000*t)+sin(2*pi*3000*t)+y1;% figure(5) subplot(2,1,1),plot(t,s);% 绘制输入信号 xlabel(' 时间 /s'); ylabel(' 振幅 ');
title(' 滤波器输入信号 '); axis([0 0.01 -5 5])
b=fir1(48,[0.3 0.5]); [h,f]=freqz(b,1,1024); subplot(2,1,2);
plot(f*5000/pi,20*log10(abs(h)))% 绘制滤波器频率响应 xlabel(' 频率 /Hz'); ylabel(' 振幅 /db'); title(' 滤波器幅频响应 ');
sf=filter(b,1,s);% 输出信号 figure(6) subplot(2,1,1),plot(t,sf);% xlabel(' 时间 /s'); ylabel(' 振幅 ');
title(' 滤波器输出信号 '); axis([0 0.01 -2 2])
fousf=fft(sf,N);% 输出信号傅里叶变换 magsf=abs(fousf);
fsf=n*fs/N; subplot(2,1,2); plot(fsf,magsf); xlabel(' 频率 /Hz'); ylabel(' 振幅 '); title(' 输出信号幅频响应 ');
六、实验总结
通过这次随机试验，我们对白噪声信号、色噪声信号自身的特、均值、均方 值、方差、相关函数、概率密度、 频谱及功率谱密度等概念， 有了进一步的了解， 而不仅仅是书本上的定义。

并且，掌握白噪声、色噪声信号的分析方法。

在matlab 仿真过程中,更加熟悉的matlab 的使用。

掌握了如何用matlab 处理 估计功率谱密度， 掌握了功率谱密度估计在随机信号处理中的作用， 对生活中常 见的噪声信号及其影响有了更多的认知，对随机过程有了更深的了解。

混合信号 绘制输出信号。