充分条件与必要条件PPT优秀课件
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（ 1） 解 ： p q p是 q的 充 分 条 件 ， q是 p的 必 要 条 件
（ 2） 解 ： p q p是 q的 充 分 条 件 ， q是 p的 必 要 条 件
例2.判断下列说法是否正确： （1）“内错角相等”是“两直线平行”的充分条件； （2）“ac=bc”是“a=b”的必要条件； （3）“整数a能被6整除”不是“a的个位数字为偶数”
（3）p： a>b
q： ac>bc
p¿ q
∴“ac>bc”不是“a>b”的必要条件 ∴“ac>bc” 是“a>b”的不必要条件
小结：
判断充分条件和必要条件的方法：
“ A B ” “ A 是 B 的 充 分 条 件 ” “ B 是 A 的 必 要 条 件 ”
“ A B ” “ A 是 B 的 必 要 条 件 ” “ B 是 A 的 充 分 条 件 ”
如 果 p q ， 那 么 p 与 q 互 为 充 要 条 件
"p是 q的 充 要 条 件 "也 说 成 "p等 价 于 q" 或 "q当 且 仅 当 p"
例5.下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：b=0，q：函数f (x)=ax2+bx+c是偶函数； （2）p：x>0、y>0，q：xy>0； （3）p：a>b，q：a+c>b+c.
的充分条件；
解：（1）∵ “内错角相等” “两直线平行”
∴ “内错角相等”是“两直线平行”的充分条件
（2 ）∵“a=b” “ac=bc”
∴“ac=bc”是“a=b”的必要条件
（3） ∵“整数a能被6整除” “a的个位数字为偶数”
∴“整数a能被6整除”是“a的个位数字为偶数”
的充分条件
例3.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q 的充分条件？
解 ： （ 1）pq
p是 q的 充 要 条 件
（ 2）pq， p¾q
1.2.1 充分条件与必要条件
判断下列命题的真假：
（1）若x>a2+b2，则x>2ab； 真
（2）若a>b>0，则a2>b2； 真
（3）若ac>bc，则a>b；
假
（4）若ab=0，则a=0；
假
一般地，“若p则q”是真命题，则记为:
pq
“若p则q”是假命题，则记为:
p¿ q
思考：对命题“若x>a2+b2，则x>2ab”，下列说法 是否正确？
（1）要使“x>2ab”，只要“x>a2+b2”就够了； （2）若要“x>a2+b2” 成立， 则“x>2ab”一定要成 （立1. ）因为“x>a2+b2”成立就足以推出“x>2ab”成立
所以我们说， “x>a2+b2”是“x>2ab”成立的充分条件
（2）因为“x>2ab”是“x>a2+b2”成立必不可少的条件
四句话是等价的，也就是说这四种说法含义相同．
练习：用、 、 烤、 填空
（1）若p为q的充分条件，则p_____q; （2）若p为q的必要条件，则p_____q;
例1. 指出p是q的什么条件，q是p的什么条件。 （1）p：a>b>0 ，q：a²>b² （2）p：三角形三条边相等，q：三角形的三个角相等
q： x2=y2
x y x 2 y 2 ,即 p q
∴ “x2=y2”是“x=y”的必要条件
（2）p：两个三角形全等 q：这两个三角形面积相等
pq
∴ “两个三角形面积相等” 是“两个三角形全等” 的 必要条件
例4.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p 的必要条件？
（1）若x=y，则x2=y2； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若a>b，则ac>bc.
p¿ q
∴“x是无理数”不是“x2是无理数”的充分条件
即 “x是无理数” 是“x2是无理数”的不充分条件
例4.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p 的必要条件？
（1）若x=y，则x2=y2； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若a>b，则ac>bc.
解：（1）p：x=y
练习：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数， 那么下列说法正确吗？ （1） p是q的充分条件； （2）q是p的必要条件. （3） q是p的充分条件； （4）p是q的必要条件；
一 般 地 ， 如 果 既 有 p q,又 有 q p,就q的 充 分 必 要 条 件 ， 简 称 充 要 条 件 。 显 然 ， 如 果 p是 q的 充 要 条 件 ， 那 么 q也 是 p的 充 要 条 件 。
pq
∴ “f (x)=x” 是“f (x)在(-∞，+∞)上为增函数”的充分条件
例3.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q 的充分条件？
（1）若x=1，则x2-4x+3=0； （2）若f (x)=x，则f (x)在(-∞，+∞)上为增函数； （3）若x是无理数，则x2是无理数. （3）p： x是无理数 q： x2是无理数
（1）若x=1，则x2-4x+3=0； （2）若f (x)=x，则f (x)在(-∞，+∞)上为增函数； （3）若x是无理数，则x2是无理数.
解：（1）p：x=1
q： x2-4x+3=0
x 1 x 2 4 x 3 0 ,即 p q
∴“x=1”是“x2-4x+3=0”的充分条件 （2）p：f (x)=x q： f (x)在(-∞，+∞)上为增函数
1.1.3四种命题间的相互关系
四种命题间的基本关系：
原命题 若p，则q
互 否 真 假 无 关
否命题 若﹁ p，则﹁ q
逆命题 若q，则p
互 否 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q，则﹁ p
练习：
1.已 知 xR ,ax21,bx2,cx2x1. 2
求 证 :a,b,c至 少 有 一 个 不 小 于 1
所以我们说， “x>2ab”是“x>a2+b2”成立的必要条件
一般地，对“若p则q”型的命题，如果
pq
则我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件
一般地，对“若p，则q”型的命题，如果p q
则我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件
注意： “若p，则q”是真命题
pq
p是q的充分条件 q是p的必要条件
（ 2） 解 ： p q p是 q的 充 分 条 件 ， q是 p的 必 要 条 件
例2.判断下列说法是否正确： （1）“内错角相等”是“两直线平行”的充分条件； （2）“ac=bc”是“a=b”的必要条件； （3）“整数a能被6整除”不是“a的个位数字为偶数”
（3）p： a>b
q： ac>bc
p¿ q
∴“ac>bc”不是“a>b”的必要条件 ∴“ac>bc” 是“a>b”的不必要条件
小结：
判断充分条件和必要条件的方法：
“ A B ” “ A 是 B 的 充 分 条 件 ” “ B 是 A 的 必 要 条 件 ”
“ A B ” “ A 是 B 的 必 要 条 件 ” “ B 是 A 的 充 分 条 件 ”
如 果 p q ， 那 么 p 与 q 互 为 充 要 条 件
"p是 q的 充 要 条 件 "也 说 成 "p等 价 于 q" 或 "q当 且 仅 当 p"
例5.下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：b=0，q：函数f (x)=ax2+bx+c是偶函数； （2）p：x>0、y>0，q：xy>0； （3）p：a>b，q：a+c>b+c.
的充分条件；
解：（1）∵ “内错角相等” “两直线平行”
∴ “内错角相等”是“两直线平行”的充分条件
（2 ）∵“a=b” “ac=bc”
∴“ac=bc”是“a=b”的必要条件
（3） ∵“整数a能被6整除” “a的个位数字为偶数”
∴“整数a能被6整除”是“a的个位数字为偶数”
的充分条件
例3.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q 的充分条件？
解 ： （ 1）pq
p是 q的 充 要 条 件
（ 2）pq， p¾q
1.2.1 充分条件与必要条件
判断下列命题的真假：
（1）若x>a2+b2，则x>2ab； 真
（2）若a>b>0，则a2>b2； 真
（3）若ac>bc，则a>b；
假
（4）若ab=0，则a=0；
假
一般地，“若p则q”是真命题，则记为:
pq
“若p则q”是假命题，则记为:
p¿ q
思考：对命题“若x>a2+b2，则x>2ab”，下列说法 是否正确？
（1）要使“x>2ab”，只要“x>a2+b2”就够了； （2）若要“x>a2+b2” 成立， 则“x>2ab”一定要成 （立1. ）因为“x>a2+b2”成立就足以推出“x>2ab”成立
所以我们说， “x>a2+b2”是“x>2ab”成立的充分条件
（2）因为“x>2ab”是“x>a2+b2”成立必不可少的条件
四句话是等价的，也就是说这四种说法含义相同．
练习：用、 、 烤、 填空
（1）若p为q的充分条件，则p_____q; （2）若p为q的必要条件，则p_____q;
例1. 指出p是q的什么条件，q是p的什么条件。 （1）p：a>b>0 ，q：a²>b² （2）p：三角形三条边相等，q：三角形的三个角相等
q： x2=y2
x y x 2 y 2 ,即 p q
∴ “x2=y2”是“x=y”的必要条件
（2）p：两个三角形全等 q：这两个三角形面积相等
pq
∴ “两个三角形面积相等” 是“两个三角形全等” 的 必要条件
例4.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p 的必要条件？
（1）若x=y，则x2=y2； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若a>b，则ac>bc.
p¿ q
∴“x是无理数”不是“x2是无理数”的充分条件
即 “x是无理数” 是“x2是无理数”的不充分条件
例4.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p 的必要条件？
（1）若x=y，则x2=y2； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若a>b，则ac>bc.
解：（1）p：x=y
练习：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数， 那么下列说法正确吗？ （1） p是q的充分条件； （2）q是p的必要条件. （3） q是p的充分条件； （4）p是q的必要条件；
一 般 地 ， 如 果 既 有 p q,又 有 q p,就q的 充 分 必 要 条 件 ， 简 称 充 要 条 件 。 显 然 ， 如 果 p是 q的 充 要 条 件 ， 那 么 q也 是 p的 充 要 条 件 。
pq
∴ “f (x)=x” 是“f (x)在(-∞，+∞)上为增函数”的充分条件
例3.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q 的充分条件？
（1）若x=1，则x2-4x+3=0； （2）若f (x)=x，则f (x)在(-∞，+∞)上为增函数； （3）若x是无理数，则x2是无理数. （3）p： x是无理数 q： x2是无理数
（1）若x=1，则x2-4x+3=0； （2）若f (x)=x，则f (x)在(-∞，+∞)上为增函数； （3）若x是无理数，则x2是无理数.
解：（1）p：x=1
q： x2-4x+3=0
x 1 x 2 4 x 3 0 ,即 p q
∴“x=1”是“x2-4x+3=0”的充分条件 （2）p：f (x)=x q： f (x)在(-∞，+∞)上为增函数
1.1.3四种命题间的相互关系
四种命题间的基本关系：
原命题 若p，则q
互 否 真 假 无 关
否命题 若﹁ p，则﹁ q
逆命题 若q，则p
互 否 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q，则﹁ p
练习：
1.已 知 xR ,ax21,bx2,cx2x1. 2
求 证 :a,b,c至 少 有 一 个 不 小 于 1
所以我们说， “x>2ab”是“x>a2+b2”成立的必要条件
一般地，对“若p则q”型的命题，如果
pq
则我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件
一般地，对“若p，则q”型的命题，如果p q
则我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件
注意： “若p，则q”是真命题
pq
p是q的充分条件 q是p的必要条件