二次函数的基础知识和经典练习题

二次函数

（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线

a

b

x 2-

=.

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线c bx ax y ++=2的解析式化为()k h x a y +-=2

的形式，得

到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.其中a

b a

c k a b h 4422

-=-=，.

（3）运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对

称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.. 3．用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）两点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 4.抛物线与x 轴的交点

设二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程

02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来

判定：

（1）240b ac ->⇔抛物线与x 轴有两个交点；

（2）240b ac -=⇔抛物线与x 轴有一个交点（顶点在x 轴上）； （3）240b ac -<⇔抛物线与x 轴没有交点. 5.二次函数的应用

一、c bx ax y ++=2

的性质

1．已知二次函数772

--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 。 解：

2．二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限。 理由：

3.二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图，试判断a 、b 、c 和∆的符号。 解：

4.二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图，下列结论（1）c ＜0；（2）b ＞0；（3）4a+2b+c ＞0；（4）（a+c ）2

＜0，其中正确的是：（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 理由：

5． 二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，

值为正数的有（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个 理由：

6． 已知直线b ax y +=的图象经过第一、二、三象限，那么12

++=bx ax y 的图象为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．已知函数42

12

--=

x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＞－2 D ．－2＜x ＜4

8．二次函数y ＝a (x ＋k )2

＋k ，当k 取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( )

A ．y ＝x

B ．x 轴

C ．y ＝－x

D ．y 轴

9．已知二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象如右图所示，则( )

A ．a ＞0，c ＞0，b 2

－4ac ＜0 B ．a ＞0，c ＜0，b 2

－4ac ＞0

C ．a ＜0，c ＞0，b 2－4ac ＜0

D ．a ＜0，c ＜0，b 2

－4ac ＞0

10．已知二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象如下图所示，则( )

A ．b ＞0，c ＞0，＝0

B ．b ＜0，c ＞0，＝0

C ．b ＜0，c ＜0，＝0

D ．b ＞0，c ＞0，＞0

11．二次函数y ＝mx 2

＋2mx －(3－m )的图象如下图所示，那么m 的取值范围是( )

A ．m ＞0

B ．m ＞3

C ．m ＜0

D ．0＜m ＜3

12．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2

和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )

13．函数x

ab

y b ax y =

+=22

1,(ab ＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( )

14．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )

A ．h ＝m

B ．k ＞n

C ．k ＝n

D ．h ＞0，k ＞0

15．已知二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a ＋b ＋c ＝2；2

1

>a ③；④b

A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．③④

16．下列命题中，正确的是( )

①若a ＋b ＋c ＝0，则b 2

－4ac ＜0；

②若b ＝2a ＋3c ，则一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根；

③若b 2－4ac ＞0，则二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；

④若b ＞a ＋c ，则一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0，有两个不相等的实数根． A ．②④ B ．①③ C ．②③ D ．③④

二、c bx ax y ++=2的最值

1． 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 和提出概念所用的时间x （单位：分）之间大体满足函数关系式：

436.21.02++-=x x y （0≤x ≤30）。y 的值越大，表示接受能力越强。试根据关系式回答：

（1） 若提出概念用10分钟，学生的接受能力是多少

（2） 概念提出多少时间时学生的接受能力达到最强

2． 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端

A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示。图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系是

4

5

22+

+-=x x y 。请回答下列问题： （1） 柱子OA 的高度是多少米

（2） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米

（3） 若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落

在池外

3． 体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线212

12

++-=x x y 的一部分，根据关系式回答：