电磁场与电磁波之静电场分析
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其他导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周围 空间静电场的分布，而空间的电场是由它们共同产生的。
此时，各个导体上的电荷与导体间的电位差的关系为
q1
q1C111C12(12)C1j(1h)C1n(1n) q3 q2 C21(21)C222C2j(2k)C2n(2n)
q2
qn qi Ci1(41)Ciii Cij(i j)Cin(i n)
对于 N 个带电体具有的总能量，也可采用同样的方法进行计算。
系统的总电场能为
We 1 2
dV
V
J
多导体带电系统
1N W e2i1
( i Si
Sid)S1 2iN 1 iqi
当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，
由 d qρdρ V s，d求 S 得ρ 这ld种分l布电荷的带电体总能量为
的等效电容。
1 1 C 1 2 22
C 11
C 22
大地
大地上空的平行双导线
由 N个导1体构成的系统共有 N个(N部分1) 电容。 2
5. 电场能量 已知在静电场的作用下，带有正电荷的带电体会沿电场方向发生运
动，这就意味着电场力作了功。静电场为了对外作功必须消耗自身的 能量，可见静电场是具有能量的。
1
1
n
2
2
n
第二种媒质为导体， C
n
S
例 列出求解区域的微分方程
21 0
22 0
23
3 3
例 两块无限大接地导体平板分别置于 x0和 xa处，在两板之间的
xb处有一面密度为 S 0 的均匀电荷分布，求两导体平板之间的电位和
电场。
解: 分区域建立方程
21 0 (0xb)
y
S0
1(x) 2(x)
对应静电场的基本方程 E0，矢量 A可以表示一个静电场。
3. 电位函数
静电场
E (r E ) 0 ， 根(r 据)矢静量电恒场等的式电，位知函数( Poten0tial)，简称电位
静电场的电场强度矢量等于电位梯度的负值。
在静电场中可先通过求解电位函数， 再利用上式可方便地求得电场强 度 E，式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。
qn Cn1(n1)Cn2(n2)Cnj(nj)Cnnn
式中Cii 称为第 i 个导体的固有部分电容；Cij 称为第 i 个导体与第 j 个导体之间的互有部分电容。
在多导体系统中，把其中任意两个导 体作为电容器的两个电极，设在这两个 电极间加上电压U，极板上所带电荷分
别为 ， q则比值 称q 为/ U这两个导体间
②假定两导体上分别带电荷 q 和 q；
③根据假定的电荷求出 E；
④由
2
E
dl
求得电位差；
1
⑤求出比值 C q 。
U
例 平行双线传输线，导线半径为a，轴距为D。D>> a
设两导线单位长度带电量分别为 和l 。 l
E er
l 2r
E ex2lx2(D l x)
U a D aE (x)e xd x l ln D a a
W e1 2V d V 1 2SS d S1 2lld l
从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间，应 该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以小写英文字母we 表示。
• 静电场的能量密度we
D
We 1 2
(D)d
V
V1 2V[(D ) D ]V d
1 2sD dS 1 2VE D dV
E1n E2n
理想导体表面 D1n S
E2n 0
及 百度文库E
21 1
2 S
2
11
例 已知 A 3 x e x 4 y e y 5 z e z，试判断它能否表示一个静电场？
解：根据静电场的旋度恒等于零的性质
ex
ey
ez
A
x y z
Ax Ay Az
( A y z A z y)e x ( A z x A x z)e y ( A x y A y x)e z 0
设带电体的电量 Q 是从零开始逐渐由无限远处移入的。由于开
始时并无电场，移入第一个微量 dq 时外力无须作功。当第二个dq 移
入时，外力必须克服电场力作功。若获得的电位为 ，则外力必须作
的功为 dq ，因此，电场能量的增量为 dq 。带电体的电位随着电荷
的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量 q 的函数。那么当电量增至
最终值 Q 时，外力作的总功，也就是电量为 Q 的带电体具有的能量
为
We
Q(q) dq
0
孤立导体 q C
电场能量为
We
1 2
q2 C
1q (q)
2
C
双导体系统，导体1带电荷 q，导体2带电荷 q，电位分别为 1 和 2
电场能量为 W e1 2q 11 2( q )21 2q (1 2)12qU12CU2
如果静止带电体在外力作用下由无限远处移入静电场中，外力必须 反抗电场力作功，这部分功将转变为静电场的能量储藏在静电场中， 使静电场的能量增加。
由此可见，根据电场力作功或外力作功与静电场能量之间的转换关 系，可以计算静电场能量。
首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为 Q 的孤立 带电体的能量。
电场强度（球坐标梯度公式）：
(bxa)
E 1 (x ) 1 (x ) e xd d 1 (x )x e x
S 0 (a b ) 0 a
E 2(x) 2(x) e xdd 2(x) xe x
S0 b 0 a
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系 数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得
§3.1 静 电 场 分 析
1. 基本方程 （静电场是有源无旋场）
积分形式
微分形式
SDdSVdV
lEdl 0
D
E0
2. 边界条件
两种电介质分界面
e n ( E 1 E 2)0
en(D 1D 2)S
E1 E2
D1nD2nS
理想介质表面
S 0 en(D 1D 2)0 D1n D2n
1E1n2E2n 1 2
例 半径为 a的球形空间均匀分布着体电荷密度为ρ的电荷，试求电场能量。
解 可以通过二种途径获得相同结果
①由高斯定理求电场强度，代入能量公式
E1
er
r 30
ra
a3 E2 er 30r2 ra
W e1 2V1 0E12d
V 1
2V2
0E2 2d
V 245 2a 052920a5
415 20 a5
②由电位定义求电位，代入能量公式
电容与电容器上所带电量无关，完全由电容器本身的几何形状、 尺寸及周围电介质的特性参数决定。
电容的计算思路： 设 Q E U E dl CU Q
例 试求球形电容器的电容。
解：设内导体的电荷为 q，则 SDdSq
q
D4r2er,
q
E40r2er
同心导体间的电压
U bE dq r (11)qb a
C lU l lnD [ a ()/a ]ln D /(a ) F /m
例 已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为b，内外导体之间
填充介质的介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电容。
a
b
解 由于电场强度一定垂直于导体表面， 因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向 方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。
由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的
电位差 U 的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容，即电
容为
C q
U
电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地球的孤立导体的电
容只有 0.708103F。实际中，通常取F（微法）及pF（皮法）作
为电容单位。
1 μ F 1 6 0 F1 ,p F 1 1 0 F 2
只要电荷分布在有限区域内，而闭合面无限扩大时→点电荷电场
1
r
Dr12
D
1 r3
S r2
1 2sD dS r1 3r21 rr 0
则
We
1 2
EDdV
V
能量密度
1 we 2 E D
对于各向同性的线性介质， D ，E 代入后得
we
1E2
2
J/m3
此式表明，静电场能量与电场强度平方成正比。因此，能量不符合叠 加原理。虽然几个带电体在空间产生的电场强度等于各个带电体分别产 生的电场强度的矢量和，但是，其总能量并不等于各个带电体单独存在 时具有的各个能量之和。事实上，这是因为当第二个带电体引入系统中 时，外力必须反抗第一个带电体对第二个带电体产生的电场力而作功， 此功也转变为电场能量，这份能量通常称为互有能，而带电体单独存在 时具有的能量称为固有能。
qi rri'
C
(r)41V'
dq rr'
C
• 在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即
(x,y,z)C
当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。 E线垂直于等位面，且总是指向电位下降最快的方向。
在直角坐标系中：E (r ) ( xe x ye y ze z)
• 物理意义
设内导体单位长度内的电量为q，围绕 内导体作一个圆柱面作为高斯面S，则
q
S EdS
E
er
q
2πr
ab
同轴线
那么内外导体之间的电位差 U 为 U abEdr2qlnba
因此同轴线单位长度内的电容为
C q 2
U ln b a
• 部分电容 多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，还与
到电位的解；再由 E (r ) (r )得到电场强度 E(r)的分布。
• 电位与电场强度的关系
E (r ) (r )
• 电位定义式
(p)
Edl
p
()0
点电荷的电位
(r)
40qr
r'
• 静电位的边界条件
1 2
1n12n2 S
分界面上不存在自由电荷，S 0
1
1
n
2
2
n
第二种媒质为导体， C
n
S
• 静电位的微分方程
泊松方程
2(r)(r)
拉普拉斯方程 2 0
例 计算均匀带电球面电场中的电势分布。球半径为R、总电量为q。
解：根据高斯定理求出电场的分布
r<R
E１＝0
qR
r>R
E2
q
4 0r2
o P1
P2
r
设U∞＝0
Up a Edr
r＞R时 r＜R时
Up
r E2dr
q
r 4r2
d
r q
4r
R q
U prE 1drRE 2dr 4 0 R
r＝R时
Up
q
R
4. 导体系统的电容 电容器广泛应用于电子设备的电路中：
在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频 等作用。
通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路。 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能 的损失和提高电气设备的利用率。
点 电荷的r电 1r势'：rE r (rrr)''34πq ε0 rE r( r rr)'' 3 4 0q r r ' (r )
(r)40qrr' C
d :( r q ) d V ,S ( r ) d S ,l ( r ) d l
点电荷系
连续分布电荷
(r)410
N i1
22 0 (bxa)
通解
1(x)C 1xD 1 2(x)C2xD 2
边界条件 x0
1(0) 0
xa 2(a)0
xb
1(b)2(b)
[2x(x)1x(x)]xbS00
O
b ax
解得
C1S0(a 0ab) D10
C2S00ab D2S00b
电位：1(x)ε0Sa0 (ab)x
(0xb)
2(x)εS00ab(ax)
电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。
• 静电位的微分方程 （在均匀、线性和各向同性的电介质中）
E (r ) (r )
D (r)ρ(r)
E ( r ) E ( r ) E ( r )
DεE
常数
( r ) ( r )
2(r)(r)
静电位满足的标量泊松方程
0 2 0 静电位满足的标量拉普拉斯方程
• 静电位的边界条件
设点1与点2分别位于分界面的两侧，其电位分别为 1和 2。
其间距 l0
12l1 i2m 12E dl ll im 0(E1n 2lE2n 2l) 0
12 介质分界面两侧电位连续
又
en(D 1D 2)S
D εE
1n12n2 S 分界面上不存在自由电荷，S 0
E (r )d l ( r )d l
Q
(r)dl d(r)
Q
l
Q
pE d l pd(r)(p )(Q )
物理意义：把一个单位正电荷从点 P沿任意路径移动到点 Q的过程中， 电场力所做的功。
• 设 Q为电位参考点 (Q)0
(p)
Q Edl
p
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；
a
4 π0εab 4 π0εab
球形电容器的电容
C q 4πε0ab U ba
当 b时，C40a （孤立导体球的电容）
• 双导体的电容 传输线：纵向尺寸远大于横向尺寸。平行板线、平行双线、同轴线 可作为平行平面电场（二维场）来研究，只需计算传输线单位长度电容。 计算步骤如下：
①根据导体的几何形状，选取合适的坐标系；
此时，各个导体上的电荷与导体间的电位差的关系为
q1
q1C111C12(12)C1j(1h)C1n(1n) q3 q2 C21(21)C222C2j(2k)C2n(2n)
q2
qn qi Ci1(41)Ciii Cij(i j)Cin(i n)
对于 N 个带电体具有的总能量，也可采用同样的方法进行计算。
系统的总电场能为
We 1 2
dV
V
J
多导体带电系统
1N W e2i1
( i Si
Sid)S1 2iN 1 iqi
当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，
由 d qρdρ V s，d求 S 得ρ 这ld种分l布电荷的带电体总能量为
的等效电容。
1 1 C 1 2 22
C 11
C 22
大地
大地上空的平行双导线
由 N个导1体构成的系统共有 N个(N部分1) 电容。 2
5. 电场能量 已知在静电场的作用下，带有正电荷的带电体会沿电场方向发生运
动，这就意味着电场力作了功。静电场为了对外作功必须消耗自身的 能量，可见静电场是具有能量的。
1
1
n
2
2
n
第二种媒质为导体， C
n
S
例 列出求解区域的微分方程
21 0
22 0
23
3 3
例 两块无限大接地导体平板分别置于 x0和 xa处，在两板之间的
xb处有一面密度为 S 0 的均匀电荷分布，求两导体平板之间的电位和
电场。
解: 分区域建立方程
21 0 (0xb)
y
S0
1(x) 2(x)
对应静电场的基本方程 E0，矢量 A可以表示一个静电场。
3. 电位函数
静电场
E (r E ) 0 ， 根(r 据)矢静量电恒场等的式电，位知函数( Poten0tial)，简称电位
静电场的电场强度矢量等于电位梯度的负值。
在静电场中可先通过求解电位函数， 再利用上式可方便地求得电场强 度 E，式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。
qn Cn1(n1)Cn2(n2)Cnj(nj)Cnnn
式中Cii 称为第 i 个导体的固有部分电容；Cij 称为第 i 个导体与第 j 个导体之间的互有部分电容。
在多导体系统中，把其中任意两个导 体作为电容器的两个电极，设在这两个 电极间加上电压U，极板上所带电荷分
别为 ， q则比值 称q 为/ U这两个导体间
②假定两导体上分别带电荷 q 和 q；
③根据假定的电荷求出 E；
④由
2
E
dl
求得电位差；
1
⑤求出比值 C q 。
U
例 平行双线传输线，导线半径为a，轴距为D。D>> a
设两导线单位长度带电量分别为 和l 。 l
E er
l 2r
E ex2lx2(D l x)
U a D aE (x)e xd x l ln D a a
W e1 2V d V 1 2SS d S1 2lld l
从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间，应 该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以小写英文字母we 表示。
• 静电场的能量密度we
D
We 1 2
(D)d
V
V1 2V[(D ) D ]V d
1 2sD dS 1 2VE D dV
E1n E2n
理想导体表面 D1n S
E2n 0
及 百度文库E
21 1
2 S
2
11
例 已知 A 3 x e x 4 y e y 5 z e z，试判断它能否表示一个静电场？
解：根据静电场的旋度恒等于零的性质
ex
ey
ez
A
x y z
Ax Ay Az
( A y z A z y)e x ( A z x A x z)e y ( A x y A y x)e z 0
设带电体的电量 Q 是从零开始逐渐由无限远处移入的。由于开
始时并无电场，移入第一个微量 dq 时外力无须作功。当第二个dq 移
入时，外力必须克服电场力作功。若获得的电位为 ，则外力必须作
的功为 dq ，因此，电场能量的增量为 dq 。带电体的电位随着电荷
的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量 q 的函数。那么当电量增至
最终值 Q 时，外力作的总功，也就是电量为 Q 的带电体具有的能量
为
We
Q(q) dq
0
孤立导体 q C
电场能量为
We
1 2
q2 C
1q (q)
2
C
双导体系统，导体1带电荷 q，导体2带电荷 q，电位分别为 1 和 2
电场能量为 W e1 2q 11 2( q )21 2q (1 2)12qU12CU2
如果静止带电体在外力作用下由无限远处移入静电场中，外力必须 反抗电场力作功，这部分功将转变为静电场的能量储藏在静电场中， 使静电场的能量增加。
由此可见，根据电场力作功或外力作功与静电场能量之间的转换关 系，可以计算静电场能量。
首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为 Q 的孤立 带电体的能量。
电场强度（球坐标梯度公式）：
(bxa)
E 1 (x ) 1 (x ) e xd d 1 (x )x e x
S 0 (a b ) 0 a
E 2(x) 2(x) e xdd 2(x) xe x
S0 b 0 a
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系 数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得
§3.1 静 电 场 分 析
1. 基本方程 （静电场是有源无旋场）
积分形式
微分形式
SDdSVdV
lEdl 0
D
E0
2. 边界条件
两种电介质分界面
e n ( E 1 E 2)0
en(D 1D 2)S
E1 E2
D1nD2nS
理想介质表面
S 0 en(D 1D 2)0 D1n D2n
1E1n2E2n 1 2
例 半径为 a的球形空间均匀分布着体电荷密度为ρ的电荷，试求电场能量。
解 可以通过二种途径获得相同结果
①由高斯定理求电场强度，代入能量公式
E1
er
r 30
ra
a3 E2 er 30r2 ra
W e1 2V1 0E12d
V 1
2V2
0E2 2d
V 245 2a 052920a5
415 20 a5
②由电位定义求电位，代入能量公式
电容与电容器上所带电量无关，完全由电容器本身的几何形状、 尺寸及周围电介质的特性参数决定。
电容的计算思路： 设 Q E U E dl CU Q
例 试求球形电容器的电容。
解：设内导体的电荷为 q，则 SDdSq
q
D4r2er,
q
E40r2er
同心导体间的电压
U bE dq r (11)qb a
C lU l lnD [ a ()/a ]ln D /(a ) F /m
例 已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为b，内外导体之间
填充介质的介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电容。
a
b
解 由于电场强度一定垂直于导体表面， 因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向 方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。
由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的
电位差 U 的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容，即电
容为
C q
U
电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地球的孤立导体的电
容只有 0.708103F。实际中，通常取F（微法）及pF（皮法）作
为电容单位。
1 μ F 1 6 0 F1 ,p F 1 1 0 F 2
只要电荷分布在有限区域内，而闭合面无限扩大时→点电荷电场
1
r
Dr12
D
1 r3
S r2
1 2sD dS r1 3r21 rr 0
则
We
1 2
EDdV
V
能量密度
1 we 2 E D
对于各向同性的线性介质， D ，E 代入后得
we
1E2
2
J/m3
此式表明，静电场能量与电场强度平方成正比。因此，能量不符合叠 加原理。虽然几个带电体在空间产生的电场强度等于各个带电体分别产 生的电场强度的矢量和，但是，其总能量并不等于各个带电体单独存在 时具有的各个能量之和。事实上，这是因为当第二个带电体引入系统中 时，外力必须反抗第一个带电体对第二个带电体产生的电场力而作功， 此功也转变为电场能量，这份能量通常称为互有能，而带电体单独存在 时具有的能量称为固有能。
qi rri'
C
(r)41V'
dq rr'
C
• 在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即
(x,y,z)C
当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。 E线垂直于等位面，且总是指向电位下降最快的方向。
在直角坐标系中：E (r ) ( xe x ye y ze z)
• 物理意义
设内导体单位长度内的电量为q，围绕 内导体作一个圆柱面作为高斯面S，则
q
S EdS
E
er
q
2πr
ab
同轴线
那么内外导体之间的电位差 U 为 U abEdr2qlnba
因此同轴线单位长度内的电容为
C q 2
U ln b a
• 部分电容 多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，还与
到电位的解；再由 E (r ) (r )得到电场强度 E(r)的分布。
• 电位与电场强度的关系
E (r ) (r )
• 电位定义式
(p)
Edl
p
()0
点电荷的电位
(r)
40qr
r'
• 静电位的边界条件
1 2
1n12n2 S
分界面上不存在自由电荷，S 0
1
1
n
2
2
n
第二种媒质为导体， C
n
S
• 静电位的微分方程
泊松方程
2(r)(r)
拉普拉斯方程 2 0
例 计算均匀带电球面电场中的电势分布。球半径为R、总电量为q。
解：根据高斯定理求出电场的分布
r<R
E１＝0
qR
r>R
E2
q
4 0r2
o P1
P2
r
设U∞＝0
Up a Edr
r＞R时 r＜R时
Up
r E2dr
q
r 4r2
d
r q
4r
R q
U prE 1drRE 2dr 4 0 R
r＝R时
Up
q
R
4. 导体系统的电容 电容器广泛应用于电子设备的电路中：
在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频 等作用。
通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路。 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能 的损失和提高电气设备的利用率。
点 电荷的r电 1r势'：rE r (rrr)''34πq ε0 rE r( r rr)'' 3 4 0q r r ' (r )
(r)40qrr' C
d :( r q ) d V ,S ( r ) d S ,l ( r ) d l
点电荷系
连续分布电荷
(r)410
N i1
22 0 (bxa)
通解
1(x)C 1xD 1 2(x)C2xD 2
边界条件 x0
1(0) 0
xa 2(a)0
xb
1(b)2(b)
[2x(x)1x(x)]xbS00
O
b ax
解得
C1S0(a 0ab) D10
C2S00ab D2S00b
电位：1(x)ε0Sa0 (ab)x
(0xb)
2(x)εS00ab(ax)
电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。
• 静电位的微分方程 （在均匀、线性和各向同性的电介质中）
E (r ) (r )
D (r)ρ(r)
E ( r ) E ( r ) E ( r )
DεE
常数
( r ) ( r )
2(r)(r)
静电位满足的标量泊松方程
0 2 0 静电位满足的标量拉普拉斯方程
• 静电位的边界条件
设点1与点2分别位于分界面的两侧，其电位分别为 1和 2。
其间距 l0
12l1 i2m 12E dl ll im 0(E1n 2lE2n 2l) 0
12 介质分界面两侧电位连续
又
en(D 1D 2)S
D εE
1n12n2 S 分界面上不存在自由电荷，S 0
E (r )d l ( r )d l
Q
(r)dl d(r)
Q
l
Q
pE d l pd(r)(p )(Q )
物理意义：把一个单位正电荷从点 P沿任意路径移动到点 Q的过程中， 电场力所做的功。
• 设 Q为电位参考点 (Q)0
(p)
Q Edl
p
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；
a
4 π0εab 4 π0εab
球形电容器的电容
C q 4πε0ab U ba
当 b时，C40a （孤立导体球的电容）
• 双导体的电容 传输线：纵向尺寸远大于横向尺寸。平行板线、平行双线、同轴线 可作为平行平面电场（二维场）来研究，只需计算传输线单位长度电容。 计算步骤如下：
①根据导体的几何形状，选取合适的坐标系；