Matlab学习系列27. 多目标规划

27. 多目标规划

一、线性规划的局限性

1. 线性规划要求所求解问题必须满足全部的约束，而实际问题中并非所有约束都需要严格的满足；

2. 线性规划只能处理单目标的优化问题，从而对一些次目标只能转化为约束处理，而实际问题中，目标和约束是可以相互转化的，处理时不一定要严格区分；

3. 线性规划在处理问题时，将各个约束（也可看成目标）的地位看成同等重要，实际问题中，各个目标的重要性有层次上的差别，在同一层次也可能有不同权重；

4. 线性规划寻找最优解，而许多实际问题只要找到满意解就可以了。

例1 (线性规划——生产安排问题) 某企业生产甲、乙两种产品，需要用到A,B,C三种设备，每天产品盈利与设备使用工时及限制如下表：

问：该企业应如何安排生产，能使总利润最大？

解：设甲乙产品的产量分别为x 1, x 2，建立线性规划模型：

12121212max 200300 s. t. 2212 416 515 ,0

z x x x x x x x x =++≤≤≤≥

用Lingo 可求得最优解：x 1=3, x 2=3, z *=1500.

但实际上，企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面，比如：增加下列因素（目标）

（1） 力求使利润不低于1500元；

（2） 考虑市场需求，甲乙两种产品的产量比应尽量保持1:2； （3） 设备A 位贵重设备，严格禁止超时使用；

（4）设备C 可以适当加班，但要控制，设备B 既要求充分利用，又尽可能不加班，在重要性上，设备B 是设备C 的3倍。

这就需要用目标规划。

二、目标规划的基本概念

1. 设置偏差变量

偏差变量——表示实际值与目标值之间的差异；

d +——表示超出目标的差值，称为正偏差变量；当实际值超过目标值时，有d - = 0，d + > 0;

d -——表示未达到目标的差值，称为负偏差变量；当实际值未达到目标值时，有d + = 0，d - > 0.

注：若实际值与目标值一致，有d - = d + = 0.

2. 统一处理目标与约束

目标规划中，约束有两类，一类是对资源有严格限制的，用严格的等式或不等式约束来处理（同线性规划），例如，例1中设备A 禁止超时使用，则有刚性约束：

122212x x +≤

另一类约束是可以不严格限制的，连同原线性规划的目标，构成柔性约束，例如，例1中希望利润不低于1500元，则目标可表示为

12min{}

2003001500

d x x d d --+

⎧⎨+++=⎩ 甲乙两种产品产量尽量保持1:2的比例，则目标可表示为

12

min{}

20d d x x d d +--+

⎧+⎨-+-=⎩ 设备C 可以适当加班，但要控制，则目标可表示为

2min{}

515

d x d d +-+

⎧⎨+-=⎩ 设备B 要求充分利用，又尽可能不加班，则目标可表示为

1min{}

416

d d x d d +--+

⎧+⎨+-=⎩ 结论：若希望不等式保持大于等于，则极小化负偏差；若希望不等式保持小于等于，则极小化正偏差；若希望保持等式，则同时极小化正负偏差。

3. 目标的优先级与权系数

目标规划中，目标的优先分为两个层面，第一个层面是目标分成不同的优先级，在求解目标规划时，必须先优化优先级高的目标，再

优化优先级低的目标；通常用P 1, P 2, …表示不同的因子，并规定P k >>P k+1.

第二个层面是目标处于同一优先级，但两个目标的权重不同，此时应两目标同时优化，但用权重系数的大小来表示目标重要性的差别。

目标规划建模中，除刚性约束必须严格满足外，对所有目标约束均允许有偏差。其求解过程要从高到低逐层优化，中不增加高层次目标的偏差值的情况下，逐次使低层次的偏差达到极小。

例1按目标规划的方法可建立如下目标规划模型：设备A 是刚性约束，其余是柔性约束；首先，最重要的指标是企业的利润，故将其优先级列为第一级；其次，甲乙两种产品的产量保持1:2的比例，列为第二级；再次，设备C ，B 的工作时间要有所控制，列为第三级。中第三级中，设备B 的重要性是设备C 的3倍，因此其权重不一样，设备B 前的系数是C 前系数的3倍，于是得到：

1122233341212111222133244min ()(33)

s. t. 2212

2003001500 20 416 515

z Pd P d d P d d d x x x x d d x x d d x d d x d d -+-+-+

-+-+-+-+=++++++≤+++=-+-=+-=+-=12 ,,,0, 1,2,3,4

i i x x d d i -+≥=

三、目标规划模型的一般形式：

设, 1,,j x j n =是目标规划的决策变量，共有m 个刚性约束（等式或不等式约束），有l 个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为

,, 1

,,j j d d j l +-

=，有个q 优先级别，分别为1,,q P P ，在同一个优先级k

P

中有不同的权重，分别记为,, 1,...,kj kj w w j l +-

=，则目标规划模型的一般

形式为：

1

1

11

min ()

s. t. (,) , 1,

, () , 1,

, () 0,q

l

k kj j kj j k j n

ij j i j n

ij j i i i j j z P w d w d a x b i m c x d d g i l x --++

===-+==+≤=≥=+-==≥∑∑∑∑刚性约束柔性约束 1,

, ,0, 1,

,i i j n

d d i l

-+=≥=

注：建立目标规划模型时，需要确定目标值、优先等级、权系数等，这些具有一定的主观性和模糊性，可以用专家评定法予以量化。

序贯式算法是求解目标规划的一种早期算法，其核心是根据优先级的先后次序，将目标规划问题分解成一系列的单目标规划问题，然后再依次求解。

/~jxie/lindo 例1模型的求解： Lingo 代码：