悬臂梁在均布荷载作用下有限元分析

悬臂梁承受集中荷载作用问题的弹塑性分析

何方平邹里

（湘潭大学土木工程与力学学院，湖南湘潭411105）

[摘要]本文针对曲杆在水平力作用下的受力性能，结合弹性力学基本方程和塑性力学中Mises屈服条件，得到了弹性阶段应力、位移之间的关系，以及材料发生塑性变形时，处于临界状态点的应力、应变值。同时，利用有限元分析软件ABAQUS，进行了数值模拟，分析结果与理论值吻合较好，证明所建立的有限元模型是合理的。

关键词：悬臂梁；集中荷载

THE ELASTIC-PLASTIC ANALYSIS OF THE CANTILEVER

BEAM UNDER concentrated load

He Fang-Ping Zhou Li

（College of Civil Engineering & Mechanics, XiangTan University,

Xiangtan 411105, China）

【Abstract】This article in view of the force performance of CANTILEVER BEAM UNDER concentrated load, combined with elastic mechanics basic equations and the plastic mechanics Mises yield conditions, obtained the elastic stage between stress and displacement, and the relationship between material happen plastic deformation, a critical state points of stress and strain value. At the same time, the finite element analysis software ABAQUS, the numerical simulation and analysis results and a good agreement with the theoretical value, show that the established finite element model is reasonable.

Keywords: CANTILEVER BEAM concentrated load

题目：试考察应力函数)43(h

2223

y h xy F

-=

φ能满足相容方程，并求出应力分量（不记体力），画出例题3-2图所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。

图1

1 弹性力学解

（1）考察相容条件，将应力函数

)43(h 22

23

y h xy F -=

φ代入相容方程

4

4224442x y y x ∂∂+∂∂∂+∂∂φ

φφ=0显然满足。 （2）体力不计，求得应力分量表达式：

xy h F y 322x 12-=∂∂=φσ 0

=y

σ

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--

=224123h y h F xy

τ

（3）由应力分量求解应变分量

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-+=+==-=-=-=223412)1(6)1(20

)(1

12)(1h y Eh F E E xy

Eh F

E xy xy x y y y x x μτμγμσσεμσσε （4）边界条件：

a. 在

2y h

±

=的主要边界上，应该满足应力边界条件如下：

()

2

y =±=h

y σ

0412322=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--

=h y h

F xy

τ

b.在l x ==,0x 应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件如下：

()

2h 2

,0=⎰-=dy h l

x x σ （a ）

()0

22

==-⎰ydy z h h z σ，

()

Fl

ydy h h l

x x -=⎰-=22

σ (b)

()

F

dy h h l

x xy -=⎰-=22

,0τ (c)

对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变化的水平面合力为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂梁在自由端受集中力作用的问题。

3 塑性解析解

由弹性阶段的应力、应变分量关系可知，矩形截面偏压柱中纵向截面中任意一点的应力状态和应变状态都是相同的。材料为理想弹塑性材料，0.3μ=，屈服应力为10000MPa 。根据Mises 屈服条件，有：

当构件变形进入塑性阶段后，屈服条件：

2222122331()()()20s σσσσσσσ-+-+--=

在平面应力状态下，有一个主应力为零，假定30σ= 则Mises 屈服条件变为：

22

21122s σσσσσ-+=

在直角坐标系中：

122

x y

σσσ+=

，弹性解析解中：y σ=0