数值积分-计算方法

数值积分

第1章 理论依据

逼近论——构造一个简单函数p(x)近似表示f(x),然后对 p(x)求积分得到 f(x)的积分的近似值。基于插值原理，推导出数值积分的基本公式。

§1插值求积公式

为了用数值方法求

b a

I(f)=f(x)dx

⎰

，对被积函数f(x)在给定的n+1个节点

上作Lagrange 插值，用插值函数Pn(x)代替f(x)，就可用I （Pn(x)）构造求积公式，近似地计算定积分I(f(x))。

§2Newton —Cotes 公式

§2.1Newton —Cotes 公式的推导

当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton —Cotes 公式。

将区间[a,b]n 等分，

b a

h n -=

，n+1个节点为

x k =a+kh (k=0,1,…,n)

在节点上对f(x)的Lagrange 插值多项式是：

0()()()

n

n j n k k j k j

j k

x x p x f x x x ==≠-=-∑∏

用P n (x)代替f(x)构造求积公式：

0()()()n

n

b

b j

n n k a

a

k j k

j

j k

x x I p x dx f x dx

x

x ==≠-==-∑∏⎰⎰

记，(k=0,1,…,n)

作代换x=a+th 带入上式，变为：

()

00()n n n n k k

j j k

b a t j A dt b a C n k j

=≠∆

--==--∏⎰

其中： (k=0,1,…,n) （1-1）

这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。只要确定n 就能计算出系数。

于是得到称为Newton —Cotes 公式的求积公式：

()0

()n

n n k k

k I b a C y ==-∑ （1-2）

其中称为Newton —Cotes 系数。如表1所示。

§2.2Newton —Cotes 公式误差和稳定性

在积分公式中用插值多项式Pn(x)代替f(x)的插值误差是

(1)0

()()()()()(1)!n n

n n k k f R x f x p x x x n ξ+==-=-+∏

因此，Newton —Cotes 公式的截断误差是

(1)0

()()()(1)!n n

b

k a

k f R f x x dx n ξ+==-+∏⎰

（1-3）

讨论舍入误差对计算结果产生的影响，设（1-2）式近似计算()b a

f x dx

⎰

其中计算函数值f(xn)有误差值（k=0,1,2, …,n ）。在（1-2）式中令

⇒

设计算无误差，舍入误差也忽略，则，由（1-2）式

计算时引式的误差为

()

()()()

0000()[()(())()(...)

n

n

n n n n n k

k k k n n n k k e b a C

f x C f x b a C C εεε===--+=--++∑∑ 如果皆为正，并设，则

，故

有

界，即引起的误差受控制，不超过()b a ε-倍。保证了数值计算的稳定性。

但当n ≥8时，将出现负数，这时，数值计算的稳定性不能保证，所以节点超过8时Newton —Cotes 公式不能用。

当n 为偶数时，Newton —Cotes 积分公式具有n+1次代数精度。

§2.3经典Newton —Cotes 公式

当n=4,5点公式称为经典Newton —Cotes 公式

01234()()0

(7()32()12()32()7())90

()()(()1,()11

n

n

n n k k n k

k n k k k b a

C f x f x f x f x f x y f x I b a C y R f x p x

C ==-=

++++==-≡=⇒=∑∑

其中 (k=0,1,…,4)，它具有5次代数精度。

§3 Gauss-Legendre 求积公式

在积分区间[a,b]内对积分节点不作限制，不取等距，积分节点和求积系数都作为待定未知量。通过适当选择节点和求积系数，能构造更有效的高精度求积公式。

§3.1计算()b

a

f x dx

⎰n 阶求积公式

()

n

n i i i I A f x ==∑

若n I 有m 次代数精度，对k

x (k=0,1,…)应有

而110

n

b

m m i i i a

i A x x dx

++=≠∑⎰。

§3.2 Gauss 求积公式的基本原理

更一般形式：()()()b

a I f x f x dx

ρ=⎰ （2-1）

()x ρ为权函数，设()x ρ>0，且在[a,b]上可积，构造n 阶求积公式：