第五章大数定律及中心极限定理

P(| ξ Eξ |≥ ε) =
|x k Eξ|≥ε
∑
P(ξ = x k )
(x k Eξ) 2 ≤ ∑ pk 2 ε |x k Eξ| ≥ε
(x k Eξ) 2 pk ≤∑ 2 ε k
Dξ = 2 ε
若ξ是连续型随机变量。 ξ的概率密度为(x)
P(| ξ Eξ |≥ ε) = P(ξ ≤ Eξ ε) + P(ξ ≥ Eξ + ε)
解得 n ≥ 446
二项分布可以看成多个0-1分布之和 当n增加时，它以正态分布为极限。
定理2 (拉普拉斯定理) (1)局部极限定理：当n → ∞时 k np 1 P(ξ=k) ≈ 0 npq npq
(2)积分极限定理：当n → ∞时 P(a < ξ < b) ≈ Φ (b) Φ (a) b np a np = Φ0 Φ0 npq npq
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 切贝谢夫不等式
研究随机变量的离差与方差的关系。
设随机变量ξ有期望值Eξ与方差Dξ。
对任给ε>0,有
Dξ Dξ P(| ξ Eξ |≥ ε) ≤ 2 ε Dξ P(| ξ Eξ |< ε) ≥ 1 2 ε 称为切贝谢夫不等式
P(ξ = x k ) = p k
证：若ξ是离散型随机变量。
例6 10部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3 部机器同时停机的概率。
解：设同时停机的数目为ξ，它服从二项分布
n = 10, p = 0.2 np = 2
npq = 1.265
(1)直接计算
3 P(ξ = 3) = C10 0.230.87 ≈ 0.2013
(2)用局部极限定理 k np 1 1 3 2 P(ξ = 3) = 0 = npq 1.265 0 1.265 npq 1 = 0 (0.79) = 0.2308 1.265 相差较大，这是因为n较小。 一般要求n ≥ 30
1 P(ξ = n + 1) = n
定理1 (切贝谢夫定理)设ξ1 , ξ2 ,..., 是相互独立的随机 变量序列，各有数学期望Eξ1 , Eξ 2 ,...及方差Dξ1 , Dξ2 ,... 并且对于所有i=1,2,...Dξi < M, M与i无关，则任给ε > 0 1 n 1 n lim P ∑ ξi ∑ Eξi < ε = 1 n →∞ n i =1 n i =1
1 n 1 n 解：E ξ = ∑ Eξi = ∑ = n i=1 n i=1
1 n 1 n Dξ = 2 ∑ Dξi = 2 ∑ 8 = 8 n i=1 n i=1 n 8 Dξ 故 P ξ < ε ≥ 1 2 = 1 2 nε ε
(
)
将ε＝4代入得
1 P(| ξ |< 4) ≥ 1 2n
i =1
100
Dξ = ∑ Dξi = 1
i =1
100
ξ近似服从正态分布ξ N(100,1)
ξ 100 ξ 100 P(ξ > 102) = P > 2 = 1 P ≤ 2 1 1 ≈ 1 Φ 0 (2) =0.02275
例2 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命 中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2， 方差为1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹 命中目标的概率。 解：第i次轰炸命中目标的次数为ξi
ξ ∑ ai
i =1
n
σi 2 ∑
i =1
n
N(0,1)
这就是如下的李雅普诺夫定理：
定理1 设ξ1，ξ 2，相互独立，Eξi = a i , Dξi = σi 2 ... 若某个ξi 对总和∑ ξi影响不大，令Sn＝
i=1 n
σi 2 , 则 ∑
i =1
n
1 lim P n →∞ Sn
∑ (ξi a i ) ≤ x = Φ 0 (x) i =1
用切贝谢夫不等式估计：
Eξ = np ＝7000
Dξ = npq ＝2100
P(6800 < ξ < 7200) = P(| ξ 7000 |< 200) 2100 ≈ 0.95 ≥ 1 2002
例3 若ξ1 ,..., ξ n是n个相互独立，同分布的随机变量， 1 n Eξi = , Dξi = 8,(i = 1, 2,..., n)。对于ξ＝ ∑ ξi , 写出ξ所 n i=1 满足的切贝谢夫不等式，并估计P(|ξ-|<4)
1 n 此定理表明n个独立随机变量的平均值 ∑ ξi n i=1 1 n 依概率收敛于其数学期望 ∑ Eξi n i=1
也称为切贝谢夫大数定律。 它有如下重要的推论。
定理2 (贝努里大数定律)在独立试验序列中， ξ 当试验次数n无限增加时，事件A的频率 依 n 概率收敛于A发生的概率P(A)=p ξ lim P p < ε = 1 即 对任给ε>0 n →∞ n
§2 大数定律
1 例1 掷一枚硬币，出现正面的概率为 2 1 掷的次数很多时，出现正面的频率接近 2 这种现象为频率的稳定性。
例2 测量一个长度a，一次测量，结果未必等于a 测量多次，结果的计算平均值未必等于a 测量次数很大时，算术平均值接近于a 这种现象为平均结果的稳定性 大量随机现象中的平均结果与每一个别随机 现象无关，几乎不再随机。
例4 某大型商场每天接待顾客10000人，设某位顾客 的消费额(元)服从[100,1000]上的均匀分布，且顾客 的消费额是独立的，试求该商场的销售额在平均销 售额上、下浮动不超过20000元的概率。 解：第i位顾客消费额位ξi，商场销售额为ξ
ξ＝ ∑ ξi
i＝1
10000
Eξi = 550
1 9002 Dξi = (1000 100) 2 = 12 12
即ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n的算术平均值依概率收敛于a 实际应用中，对某一量a，在不变条件下重复测量 n次，得到观察值x1,…,xn
1 n 当n充分大时，可用 ∑ x i作为a的近似值。 n i=1
§3 中心极限定理
钉板试验
研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以 正态分布为极限，这一类定理称为中心极限定理。 一般地，若某项偶然因素对总和的影响是均匀的、 微小的，即没有一项起特别突出的作用，则这些大 量独立偶然因素总和的随机变量近似服从正态分布。
例5 计算机在进行加法时，每个加数取整数(四舍五入)， 设所有取整误差是相互独立的，且它们都在[-0.5，0.5] 上服从均匀分布。(1)若将1500个数相加，问误差总和 的绝对值超过15的概率是多少？(2)最少几个数相加在 一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率不超过90％？ 解： ξ = ξ1 + ξ2 + ... + ξ1500 (1) Eξi = 0
Dξ Dξi =
1 12
Eξ = 0
Dξ = 125
15 |ξ0| ≤ P(| ξ |> 15) = 1 P(| ξ |≤ 15) = 1 P 125 125 = 1 (2Φ 0 (1.34) 1) =0.18024
(2)设有n个数相加 ξ = ξ1 + ξ 2 + ... + ξ n , Eξ = 0 Dξ = n 12 |ξ0| 10 P(| ξ |< 10) = P < n n 12 12 10 1 = 2Φ 0 ≤ 0.9 n 12 10 10 即 Φ0 ≤ 0.95 ∴ ≤ 1.64 n n 12 12
n
例1 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两， 标准差是0.1两。求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量 超过10.2斤的概率。
解：设第i个螺丝钉重量为ξi，一盒重量为ξ＝∑ ξi
ξ1,...,ξ100相互独立，Eξi = 0.1, Dξi＝0.12
i＝1 100
Eξ = ∑ Eξi = 100(两)
设ξ1 , ξ 2 ,...相互独立，Eξi = a i , Dξi＝σi 2
若每个ξi 对总和ξ＝∑ ξi影响不太大，则当n很大时，
i=1 n
ξ近似服从正态分布。
由于Eξ = ∑ Eξi = ∑ a i , Dξ = ∑ Dξi = ∑ σi 2
i =1 i =1 i =1 i =1
n
n
n
n
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n n 2 ξ N ∑ a i , ∑ σi i =1 i=1
9002 Eξ = 5500000, Dξ = 10000 × 12
P(5500000 20000 < ξ < 5500000 + 20000)
20000 ξ 5500000 = P ≤ 100 × 900 100 × 900 12 12
= 2Φ 0 (0.77) 1
≈ 0.56
解法二： 正态分布的线性函数也是正态分布 1 48 Eξ = ∑ Eξi ＝ 1 ＝0.5 48 i＝1 2 1 48 Dξ = 2 ∑ Dξi ＝ 1 ＝ 1 48 i＝1 576 242 2 1 ∴ξ N 0.5, 24
ξ 0.5 0.4 0.5 P(ξ < 0.4) = P < 1 1 24 24 = Φ 0 (2.4) =0.008158
例2 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯 的概率都是0.7，而假定开、关事件彼此独立，估计夜 晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。
解：令ξ表示夜晚同时开着的灯的数目。
ξ B(10000, 0.7)
P(6800 < ξ < 7200) =
7199 k =6801
∑
k C10000 0.7 k 0.310000k
=∫
≤∫ ≤∫
Eξε
∞
(x)dx + ∫
+∞
Eξ+ε
(x)dx
Eξε
∞ +∞
2 +∞ (x Eξ) (x Eξ) 2 (x)dx + ∫ (x)dx 2 2 Eξ+ε ε ε
∞
(x Eξ) 2 (x)dx 2 ε
=
Dξ ε2
例1 设ξ是掷一颗骰子所出现的点数，若给定 ε＝1，2，实际计算P(|ξ-Eξ|≥ ε),并验证切贝 谢夫不等式成立。 1 解：P(ξ = k) = , k = 1, 2,..., 6 6 7 35 Eξ Eξ = Dξ Dξ = 2 12 2 1 7 7 P ξ ≥ 1 = P ξ ≥ 2 = 2 2 3 3 Dξ 35 2 ε = 1时， 2 = > ε 12 3 1 Dξ 35 > ε = 2时， 2 = 3 ε 48
100次轰炸命中目标的次数ξ＝∑ ξi
i＝1
100
Eξ = ∑ Eξi＝200
i＝1
100
Dξ = ∑ Dξi＝169
i＝1
100
Dξ = 13
ξ N(200,132 ) | ξ 200 | 20 P(180 ≤ ξ ≤ 220) = P ≤ 13 13 ＝2Φ 0 (1.54) 1 ＝0.87644
例3 设ξ1，，ξ 48相互独立，都是 [ 0，上均匀分布。 ... 1] 1 48 记ξ＝ ∑ ξi , 求P(ξ<0.4) 48 i＝1 1 1 解法一：Eξi = , Dξi = 2 12
记ξ＝∑ ξi ,Eξ = 24, Dξ = 4 ξ N(24, 22 )
i＝1
48
1 因为ξ＝ ξ 48 1 P(ξ < 0.4) = P ξ < 0.4 = P(ξ < 19.2) 48 ξ 24 19.2 24 = P < = Φ 0 (2.4) 2 2 = 1 Φ 0 (2.4) =0.008158
定义1 若存在常数a，使对于任何ε>0，有 lim P(|ξ n a|<ε)=1 称随机变量序列{ξn }依概率收敛于a
例3 设ξ n为两点分布 1 1 P ξ = = 1 n n
n →∞
1 对任给ε>0,n充分大时，必有n+1>ε且 < ε n 1 = lim P ξ = lim P(| ξ n 0 |< ε) n →∞ n →∞ n 1 = lim 1 =1 n →∞ n 即{ξn }依概率收敛于0
大量重复试验中，事件发生的频率接近于概率。 若P(A)很小，则A发生的频率也很小 如P(A)=0.001,约在1000次试验中，A发生一次 在一次试验中认为A几乎不可能发生。 这称为小概率事件的实际不可能性原理。
定理3 (辛钦大数定律)如果ξ1 , ξ 2 ,...是相互独立 有相同分布的随机变量,有Eξi = a(i = 1, 2,...)则 对任意给定的ε>0，有 1 n lim P ∑ ξi a < ε = 1 n →∞ n i=1