1.2晶体结构-周期性

若用Γ(x)代表晶格内任一点 x 处的一种物理性 质，则一维布喇菲格子的周期性可用数学式表述为
Γ( x + na ) = Γ( x)
上式表明：原胞中任一处x的物理性质，同另一原 胞相应处的物理性质相同。例如在下图中，距0点x 处的情况同距2点x处的情况完全相同。
x
0 1
x
2 3
* 一维复式格子
设A、B两种原子组成一维无限周期性点阵，原 子 A 形成一个布喇菲格子，原子 B 也形成一个布喇 菲格子。按照晶格周期性的要求，这两个布喇菲格 子具有相同的周期，且两个布喇菲格子互相之间错 开一个距离，如图所示。
z 一维晶格的原胞
简单晶格 复式晶格
z 三维晶格的原胞
简单晶格 复式晶格
一些晶格结构
(a)
(b)
(c)
如何描述晶体中原子排列的有序性？？
布喇菲点阵学说
1.空间点阵学说－布喇菲点阵
晶体内部结构可以看成是一些相同的点子在空间 做规则的周期性无限分布
相关概念：点阵 基元：晶体的基本结构单元
(a)
(b)
金刚石结构是个复式格子，它由两个面心立 方的晶胞沿其空间对角线位移1/4长度套构而成。 原胞的取法同面心立方布喇菲原胞的取法相同， 原胞中包含两个不等同的碳原子。 重要的半导体材料，如单晶锗、单晶硅等的结构 和金刚石的结构相同。立方系的硫化锌也具有与金 刚石类似的结构，其中硫和锌分别组成面心立方的 布喇菲格子而沿空间对角线位移 1/4 长度套构而成。
体心立方格子原胞的基矢选取方法如图所示。 按此取法，原胞的基矢为
a ⎧ ⎪a1 = 2 ( − i + j + k ) ⎪ a ⎪ ⎨a 2 = (i − j + k ) 2 ⎪ a ⎪a3 = (i + j − k ) ⎪ 2 ⎩
原胞的体积为
1 3 Ω = a1 ⋅ (a 2 × a3 ) = a 2
3.金刚石结构 金刚石晶体是由碳原子构成的两个面心立方点阵 沿晶胞立方结构的对角线移动1/4 对角线长度而构 成的，如图所示。
金刚石虽由一种原子构成，但相邻两原子周围的 情况不同。
在一个面心立方原胞内还 金刚石的晶胞如图所示， 有四个原子，分别位于四个空间对角线的1/4处，即 每个原子有四个最邻近的原子，这四个最邻近原子 处在正四面体的顶角上。
1 1 2 2 3 3
式中l1, l2和l3是整数。 上式表明：一个重复单元中任一位置处r 的物 质性质，同另一个重复单元相应处的物理性质相同。
3. **原胞（晶胞）的选取**
下面以立方晶系的三种布拉菲格子为例，说明 原胞的选取方法。
1.简立方格子
简立方格子中的原子分布如 图所示， 原子分布在立方体 的8个顶点上，其它部分没有原 子分布。 由于每个顶点上的格点被邻近 8 个立方体共有，因此，图示的 立方体只包含一个格点，符合固 体物理学原胞的选取要求。
[①结构②物理性质]
* 一维布喇菲格子
一维布喇菲格子是由一种 原子组成的、无限周期性的 点列，所有相邻原子间的距 离均为周期a，如图所示。 原胞：取原子及周围长度为 a 的区域。 基矢：通常用以某原子为起点，相邻原子为终点的 有向线段 a 表示。 由于在基矢两端各有一个同相邻原胞所共有的原 子，因此每个原胞只有一个原子，并且每个原子的 周围情况都一样。 a
* 三维格子
对于三维情况，为了同时反映对称性，结晶 学中常取最小重复单元作为晶胞。 晶胞的边沿着晶轴方向，边长等于该方向上的 一个周期。代表晶胞三个边的矢量称为晶胞的基矢。
原胞： 平行六面体。 基矢：通常用a1、a2 、a3 表示。
设r为重复单元中任一处的位矢，Г代表晶格中 任一物理量，则
Γ(r ) = Γ(r +l a +l a + l a )
基元可以是 化学组成、空间结构、排列取向、周围环境 相同的原子、分子、离子或离子团的集合。
要求：
错误 A B
a. 区分结点和原子 b. 能够从不同的晶体结构 中正确选取基元
空间点阵→ →周期性
z 点阵 z 基元
z 原胞：代表晶格重复性组成规律的最小单元 z 基矢：有方向的若干矢量
2.晶格的周期性
3.面心立方格子
面心方格子中的原子分布如 图所示， 原子除分布在立方 体的8个顶点上外，还有 6 个面 的中心各分布一个原子，故称为 面心立方结构。 由于处于面心的格点被两个面 所共有，所以图示的立方体中包 含了4个格点。
a1
a2 a3
对于面心立方结构，固体物理学原胞的基矢通常 选由任一顶点指向最近邻三个面心的矢量，如图所 示。
第一章. 晶体结构
固体物理学
1.2 百度文库格的周期性
主讲人：张飞鹏 河南城建学院 数理学院·应用物理教研室
本节教学内容
1.
晶体结构
—简单晶格结构 —周期性
上节课回顾
z 常见的晶格结构
•简立方
•体心立方
•面心立方
•六角密排
z 复杂晶体结构 z 致密度
本节 内容
z 空间点阵学说 z 周期性
结构、性能 矢量表示、原胞+基矢
显然，对于简立方格子，固体物理学原胞的基矢 应取为
a = ai
1
a = aj
2
a = ak
3
原胞的体积为
Ω =a
3
a3 a1 a2
简立方体格子的原胞和基矢 选取，如图所示。
2.体心立方格子
立心方格子中的原子分布如 图所示， 原子除分布在立方 体的8个顶点上外，还有一个原 子分布在立方体的中心，故称为 体心立方结构。 通过体心立方结构沿对角线的 平移，可知顶角和体心上原子周 围的情况相同。 图示的立方体中包含了两个格点，其固体物理学 原胞通常采用下图所示的选取方法。
(c)
点阵的特点
对晶体结构的一个数学抽象 每个结点均有相同的周围环境 一维、二维、三维点阵分别称为直线点阵、
平面点阵和空间点阵 从点阵中任何一点去观察，粒子的排列都 是一样的
基元的特点

一个基元对应一个结点； 基元（结点）周围的环境相同（等效性）； 基元内部有结构，可以由一种或数种原子构成。
另外，许多重要的化合物半导体，如锑化铟、砷 化镓、磷化铟等与金刚石结构相同，这样的结构统 称闪锌矿结构。
小结
z z z
布拉菲点阵学说 晶格周期性 一维晶格的原胞
简单晶格（单原子） 复式晶格（双原子）
z
三维晶格的原胞
简单晶格（简立方、体心立方、面心立方） 复式晶格（单原子复式晶格、多原子复式晶格）
z
a
A B
a
复式格子的原胞，既可以如左图所示，在原胞 的两端各有一个原子A，也可以如右图所示，在原 胞的两端各有一个原子B。这两种表示的基矢均为 a，原胞中各含一个A原子和一个B原子；
在由同一种原子构成的晶体中，原子周围的情 况并不一定完全相同，这样的晶格是复式格子（金 刚石）。 对于一维复式格子，每个原胞内部及其周围的 情况相同，一维布拉菲格子周期性公式仍能概括晶 格物理性质的周期性。 Γ ( x + na ) = Γ( x )
按此取法，原胞的基矢为
a ⎧ ( ) = + a j k 1 ⎪ 2 ⎪ a ⎪ ⎨a 2 = (i + k ) 2 ⎪ a ⎪a3 = (i + j ) ⎪ 2 ⎩
原胞的体积为
1 3 Ω = a1 ⋅ (a 2 × a3 ) = a 4
三维立方晶系的复式格子
1.氯化钠结构
氯化钠的晶胞如图所示。 显然，Na离子和Cl离子均构成面心立方格子，这两 个面心立方点阵交错排列而构成氯化钠结构。 如以钠离子位置为原点 取原胞，则氯离子位置在原 胞中心a(i+j+k)/2处。所以， 这个原胞中包含一个Na离子 和一个Cl离子。（相应简单 晶胞的原胞） 如果按氯离子的面心立方格子选基矢，会得同 样的结果。
2.氯化铯结构
氯化铯型结构是复式格子，它由两个简立方布 喇菲格子沿立方体空间对角线位移1/2长度套构而 成。 在晶胞立方体的顶角上 是Cl离子，而在体心上是Cs 离子。 如以氯离子位置为原点 取原胞，则铯离子位置在原 胞中心a(i+j+k)/2处。 由格点构成的最小重复单元为简立方，因此称 氯化铯结构为简立方结构。
周期性的内涵及表示
几何周期性、性能的周期性 矢量表示、原胞+基矢