第8章 梁的位移分析与刚度设计

第8章

梁的位移分析与刚度设计

工程力学学习指导

第8章 梁的位移分析与刚度设计

8.1 教学要求与学习目标

1. 正确理解弯曲变形与位移的基本概念：

1) 微段变形。

2) 整体变形与微段变形之间的关系。

3) 横截面的位移与变形之间的关系。

4) 挠度、转角及其相互关系。

5) 挠度曲线。

2. 正确理解小挠度微分方程的的建立过程，以及微分方程的积分、根据约束条件确定积分常数的方法。

3. 熟练掌握确定梁挠度和转角的叠加方法。

4. 正确理解静定与超静定的概念，掌握求解简单超静定梁的基本方法，理解超静定结构的特性。

8.2 理 论 要 点

8.2.1弯曲时梁的微段变形

对于细长杆件，忽略剪力的影响，弯矩M 引起的微段变形由下式确定： 1

M EI

ρ＝ 式中，ρ为M 引起的微段中性面的曲率半径，EI 为杆件对中性轴(形心主轴)的弯曲刚度。

弹性范围内，梁微段变形的另一种形式的表达式为

d d M x EI

θ＝ 式中，d θ为微段d x 两截面绕中性轴相对转过的角度。

8.2.2梁的总体变形与位移

1. 梁的弹性曲线

梁在弯矩（M y 或M z ）的作用下发生弯曲变形，为叙述简便起见，以下讨论只有一个方向的弯矩作用的情形，并略去下标，只用M 表示弯矩，所得到的结果适用于M y 或M z 单独作用的情形。

图8-1a 所示的梁的变形，若在弹性范围内加载，梁的曲线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线，如图8-1b 所示。这一连续光滑曲线称为弹性曲线，或挠度曲线，简称弹性线或挠曲线。

2. 梁的挠度和转角

梁在弯曲变形后，其横截面的位移包括三部分：

挠度w ——横截面形心处的铅垂位移；

转角θ ——横截面相对于变形前的位置绕中性轴转过的角度； 水平位移u ——横截面形心沿水平方向的位移。

在小变形情形下，上述位移中u 与w 相比为高阶小量，故通常不予考虑。

3. 梁的小挠度微分方程

在小变形条件下，挠度与转角存在下列关系

θ=x

w d d 在小变形情形下，有

EI M x

w ±=22d d 此即确定梁的挠度和转角的微分方程，称为小挠度微分方程。

式中的正负号与坐标取向有关（参见图8-2）。

本课程采用w 向下、x 向右的坐标系如图8-2b 所示，故上式应取为负号。

图8-1梁的弹性曲线与梁的位移

EI M x

w −=22d d 4. 小挠度微分方程的积分

对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M (x )，代入上式后，分别对x 作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程，即

()C x EI x M x w l

+−=∫d d d ()D Cx x x EI x M w l l

++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛

−=∫∫d d 式中，C 、D 为积分常数。

5. 积分常数的确定 约束条件与连续条件

积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定：约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：

O 在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w =0;

O 在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w =0，θ＝0。

连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w 1= w 2，θ1＝θ2，等等。

8.2.3工程中计算梁位移的叠加法

在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式—一列出，简称为挠度表。

基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。

8.2.4梁的刚度设计准则

图8-2 不同的w 坐标取向

对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度设计准则，即

[]w

w≤

max

[]θ

θ≤

max

上述二式中[]w和[]θ分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。

8.2.5简单的超静定问题

1. 超静定问题的基本概念

在静力学问题中，若未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程数目，则仅由平衡方程即可解出全部未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称为静定结构。

若未知力的个数多于独立的平衡方程的数目，则仅由平衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问题或超静定问题，相应的结构则称为超静定结构或超静定结构。

所有超静定结构，都是在静定结构上再加上一个或几个约束，这些约束对于特定的工程要求是必要的，但对于保证结构平衡和几何不变性却是多余的，故称为多余约束。

未知力个数与平衡方程数之差，称为超静定次数或超静定次数。超静定次数即为求解全部未知力所需要的补充方程的个数。

2. 求解超静定问题的基本方法

由于多余约束的存在，使问题由静力学可解变为静力学不可解，这只是问题的一个方面。问题的另一方面是，由于多余约束对结构位移或变形有着确定的限制，而位移或变形又是与力相联系的，因而多余约束又为求解超静定问题提供了条件。

根据以上分析，求解超静定问题，除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程,并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程。将这二者联立才能找到求解超静定问题所需的补充方程。

可见，求解超静定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等三方面，这就是求解超静定问题的基本方法。

8.3 学 习 建 议

1.要认真理解整体变形是微段变形累加的结果, 严格区分变形与位移的概念，有变形不一定处处有位移，有位移不一定有