梁的位移分析与刚度设计

第七章 弯 曲 变 形

1

基本概念及知识要点

1.1 基本概念 挠度、转角、挠曲线、挠曲线近似微分方程、直接积分法、叠加法。

1.2 挠度和转角

梁弯曲变形后，梁轴线将弯曲成一条光滑而连续的曲线，称为挠曲线。以梁在变形前的轴线为x 轴，y 轴向上为正。梁的挠曲线为xy 平面内的一条平面曲线。

梁的弯曲变形用两个基本量来度量：

1 挠度：横截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，用w 表示；向上的挠度为正，反之为负。

2 转角：横截面变形后绕中性轴转过的角度，用θ表示。逆时针转动为正，顺时针转动为负。挠度和转角之间有如下关系：

()

dw x dx

θ=

可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程()w f x =。

1.3 挠曲线近似微分方程

梁弯曲时，曲率和弯矩的关系为

1()

()()

M x x EI x ρ=，式中)(x EI 为梁的抗弯刚度。在小变形的情况下，挠曲线近似微分方程为

22()

d w M x dx EI

= 1.4 梁变形的求解

1 直接积分法

对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程

()()

()dw x M x x dx C dx EI θ=

=+⎰ （a ） 再积分一次，得挠度方程

()

()M x w x dxdx Cx D EI

=++⎰⎰

（b ） 其中C 、D 为积分常数，可利用梁的边界条件和挠曲线连续条件确定。 2 叠加法

在小变形和弹性范围内，梁的挠度与载荷为线性关系，可以用叠加法求梁的挠度：即将梁的载荷分为若干种简单载荷，分别求出各种简单载荷作用下的位移，将它们叠加起来即为原载荷产生的位移。

1.5 梁的刚度条件

梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将变形限制在一定范围内，即满足刚度条件

max max

[]

[]

w w θ

θ≤≤

式中的[]w 和][θ分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。

1.6 简单超静定梁

由于多余约束的存在，某些梁的约束反力只用静力平衡方程并不能完全确定，这种梁称为超静定梁。求解方法之一为变形比较法，主要有以下步骤：

（1）解除多余约束，视此约束反力为未知外力，选取静定基，得到原超静定梁的相当系统； （2）将相当系统的变形与原系统比较，找到变形所应满足的条件，即变形协调方程； （3）由变形协调方程求解未知的约束反力。

多余约束反力解出后，利用平衡方程求解其它约束反力。

1.7 提高梁刚度的措施

从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件、梁截面的惯性矩I 、材料的弹性模量E 有关。故提高梁刚度的措施为：

（1）改善结构形式，减小弯矩M ； （2）增加支承，减小跨度l ；

（3）选用合适的材料，增加弹性模量E ：

（4）选择合理的截面形状，提高惯性矩I ，如工字形截面、空心截面等。

2 重点与难点及解析方法

2.1挠曲线近似微分方程

梁弯曲变形后，曲率和弯矩之间的关系EI

x M x )

()(1=

ρ是弯曲变形的基本方程，可直接用来解决梁的一些变形问题。

解析方法：梁的挠曲线近似微分方程是建立在以梁左端为原点的右手坐标系上的，

求解梁的弯曲变形时应特别注意。

2.2梁变形的求解

1 直接积分法是求解梁的变形的基本方法。

解析方法：应用积分法时，坐标原点一般取在梁的左端，x 轴向右为正，w 轴向上

为正。在列出各段的弯矩方程后，分别对各段挠曲线微分方程进行二次积分，利用边界条件及分界点处的光滑连续性求解各积分常数，即可得到梁各段的转角方程和挠度方程。 2 叠加法

在计算多载荷或变截面梁指定截面的变形值时，采用叠加法较为方便。应用叠加法的技巧性较强，需要特别注意全面考虑梁的变形。

解析方法：叠加法是利用简单静定梁在基本载荷作用下的位移，求解一般梁在复杂

载荷作用下的位移，可分为载荷叠加和变形叠加两种： （1） 载荷叠加：适用于等截面直梁同时受几个载荷作用。

（2）

变形叠加：用于较复杂的梁、弹性支承梁及刚架等。求解时把梁（刚架）分解为几

段简单静定梁，各段梁除受本段梁的载荷外，还应考虑其它段梁所受载荷的影响；不但要考虑各段梁本身的变形，还应考虑相邻梁段的变形（包括弹性支承的变形）所引起该段梁的刚性位移。

3 典型问题解析

例题7.1：

求图7－1所示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求max w 和max

θ，梁的抗弯刚度EI 已

知。 解：

1 求约束反力，列弯矩方程

梁的约束反力及所选坐标系如图所示。因载荷在C 处不连续，应分两段列弯矩方程。

AC 段(

)20l

x ≤≤ ()qlx x M 8

1

1

= CB 段()

l x l ≤≤2 ()2

222181⎪⎭

⎫

⎝⎛--=l x q qlx x M

2 建立挠曲线近似微分方程，并进行积分

21211

8

d w qlx dx EI = ()

20l x ≤≤ （a 1）

图7－1

2

222

111822d w l qlx q x dx EI ⎡⎤

⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

(

)

l x l

≤≤2

（a 2）

()211111

16

dw x qlx C dx EI θ=

=+ （b 1） ()()

322221112166dw l x qlx q x C dx EI θ⎡⎤==--+⎢⎥⎣⎦

（b 2） ()311111

48

w x qlx C x D EI =

++ （c 1） ()()

432221

1124824l w x qlx q x C x D EI

⎡⎤=

--++⎢⎥⎣⎦

（c 2） 3 确定积分常数 根据光滑连续条件

2

l x =处，21θθ=，12w w =

求得21C C =，21D D =

根据边界条件

0=x ，10w =，求得021==D D

l x =，20w =，求得EI

ql C C 38473

21-==

将求得的4个积分常数代回()1b 、()2b 、()1c 、()2c ，求得两段梁的转角和挠度方程。

()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=

32138471611ql qlx EI x θ （d 1） ()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-

⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3

3

2238472611611ql l x q qlx EI x θ （d 2） ()33111748384w x qlx ql x EI ⎡⎤=

-⎢⎥⎣⎦

（e 1） ()()

43321

11724824384l w x qlx q x ql x EI

⎡⎤=

---⎢⎥⎣⎦

（e 2） 4 求最大转角和最大挠度

将0=x 代入式()1d ，得EI

ql A 38473

-=θ顺时针）