菱形(培优)

龙文教育学科导学案
教师: 学生: 年级 日期: 10. 星期: 时段:
学情分析
课 题 菱形 学习目标与 考点分析 1、菱形的概念；
2、菱形的性质及判定；
3、能够利用菱形的性质和判定解决简单问题。

学习重点 重点：菱形的性质和判定定理 难点：菱形性质的灵活应用 学习方法
讲练结合
学习内容与过程 知识点一：菱形的性质
【例1】 ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为
⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是
【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，
则
1∠= 度．
图2
1
C
B
A
⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______．
E F D
B
C
A
【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，
证明：AB 与EF 互相平分．
P H
F
E D
C
B
A
【例4】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的
周长为24，则OH 的长等于 ．
图1
H
O D
C B
A
【巩固】 如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为
【例5】 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为
【巩固】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）
A ．5
B ．10
C ．6
D ．8
图2
D
C
B
A
【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，
则FPC ∠=（ ）
A ．35︒
B ．45︒
C ．50︒
D ．55︒
图3
E D
P C
F B
A
【例6】 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪
口与折痕所成的角α的度数应为（ ）
A ．15︒或30︒
B ．30︒或45︒
C ．45︒或60︒
D ．30︒或60︒
【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于
．
【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚
线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A ．210cm
B ．220cm
C ．240cm
D ．280cm
图1
D
C
B
A
【例7】 已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是
【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC
和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．
图2
O
D
C B A
【例9】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．
F
E
D
C
B
A
知识点二：菱形的判定
【例10】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是
．
D
C
A
B
【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四
边形BEDF 是菱形
F
E
D
C
B
A
【巩固】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .
求证：四边形AFCE 是菱形.
O
D
E
F
C
A
B
【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落
在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．
C'D
C
B A E
【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，
证明：AB 与EF 互相平分
A
B C
D
E
F P P
F E
D
C B A
【巩固】 ☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点
E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．
G
F E D
C
B
A
【例14】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，
DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．
P
M
F E D
G C
B
A
【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，
交AD 于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．
H
F D
E
C
B
A
【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M
移动到点'M 的位置
⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；
⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？
M'
M
D
C B
A
知识点三、与菱形相关的几何综合题 【例16】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .
⑴求证四边形AEPM 为菱形
⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？
M
P
F
A
B
C
D
E
课内练习与训练
1、如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。

2、如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且∠B ＝∠EAF ＝60°，若∠BAE ＝20°，求∠CEF 的度数。

3、如图，AD 是△ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：四边形AEDF 是菱形。

4、如图，在ABCD 中，BC ＝2AB ，AE ＝AB ＝BF ，且点E 、F 在直线AB 上， 求证：CE ⊥DF 。

H G
F
E
D
C B
A F E
D
C
B A
F
E
D
C B
A
N
M
F
E D C
B
A F
E D
C
B
A
5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，又点F 在DE 的延长线上，且AF ＝CE ，求证：四边形ACEF 是菱形。

6、菱形两邻角的比为1∶2，边长为2，求该菱形的面积。

7、已知4
4
4
4
4a b c d abcd +++=，判定以a 、b 、c 、d 为边的四边形的形状。

8、如图，过ABCD 的对角线交点O ，作互相垂直的两条直线EG 、FH 与ABCD 各边分别相交于点E 、F 、G 、H ，求证：四边形EFGH 是菱形。

9、如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4，求：（1）∠ABC 的度数；（2）菱形ABCD 的面积。

O H
G
F
E D
C B A
E
D
C B A
P
E D
C
B
A
10、如图，菱形ABCD 的边长为4cm ，且∠ABC ＝120°，E 是BC 的中点，在BD 上求点P ，使PC ＋PE 取最小值，并求这个最小值。

11、如图，在ABCD 中，AB ＝2BC ，BE ⊥AD 于E ，F 为CD 中点，设∠DEF ＝α，∠EFC ＝β，求证：β＝3α
12、如图，有一矩形纸片ABCD ，AB ＝6，BC ＝8，将纸片沿EF 折叠，使点B 与D 重合，求折痕EF 的长。

13、如图，四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AC ＝CB ，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，且∠DEA ＝∠ACB ＝45°，BG ⊥AE 于G ，求证：（1）四边形AFGD 是菱形；（2）若AC ＝BC ＝10，求菱形的面积。

F E D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
G
F E
D
C
B
A
菱形ABCD 的对角线交于O ，AO =1，且∠ABC ∶∠BAD =1∶2，∠ABO =300，则下列结论：①．∠ABC =600；②．AC =2；③．BD =4；④．S ABCD =23；⑤菱形ABCD 的周长是8，其中正确的有（ ）
A ．①②③④⑤
B ．①②④⑤
C ．②③④⑤
D ．①②③⑤ 菱形的两条对角线分别是12cm 、16cm ，则菱形的周长是（ ） A ．24cm B ．32cm C ．40 cm D ．60cm
学生收获
你这次课一定有不少收获吧，请写下来： 教学反思
本次课后作业
学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字： 教师评定：
1、 学生上次作业评价： ○ 非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化
2、 学生本次上课情况评价：○非常 好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化 教师签字：
学科组长签字：
龙文教育教务处
A B
C
D
O。