度量空间的拓扑性质与连续性

——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授ylyang@ - 8 -
1.2 度量空间的拓扑性质与连续性 1.
2.1 度量空间的拓扑性质
定义1.2.1 邻域
设(,)X d 是度量空间，0x X ∈，0δ>，称集合0(,)O x δ0{|(,),}x d x x x X δ=<∈为以0x 为中心，δ为半径的开球，或0x 的一个δ邻域．如果不特别强调半径，用0()O x 表示0x 的半径；称0(,)O x δ0{|(,),}x d x x x X δ=≤∈为闭球．
定义1.2.2 内点、开集与闭集
设(,)X d 是一度量空间，0x G X ∈⊂，若存在0x 的δ邻域0(,)O x δG ⊂，则称点0x 为G 的内点．如果G 中的每个点均是它的内点，则称G 为开集．并规定空集φ为开集．对于F X ⊂，若C F X F =−是开集，则称F 为闭集．
注1：实数域中的任何开球是开集，闭球是闭集，对于度量空间其结论如何？ 例1.2.1 度量空间(,)X d 的开球0(,)O x δ是开集．
证明 x ∀∈0(,)O x δ,显然0(,)d x x δ<，取*01
((,))2
d x x δδ=−，即*02(,)d x x δδ+=，则对任
何*(,)y O x δ∈，都有*(,)d x y δ<，从而
0(,)d y x 0(,)(,)d y x d x x ≤+*0(,)d x x δ<+δ<．
即*(,)O x δ⊂0(,)O x δ,所以0(,)O x δ是开集．□
图2.1 例1.2.1和例1.2.2证明示意图
例1.2.2 度量空间(,)X d 的闭球0(,)O x δ是闭集．
证明 0((,))C x O x δ∀∈，显然0(,)d x x δ>，取*01
((,))2
d x x δδ=−，即*02(,)d x x δδ+=，则
*(,)y O x δ∀∈，有
*00(,)(,)(,)2(,)d y x d x x d y x d y x δδδ≥−=+−>
可见0(,))C y O x δ∈，即*(,)O x δ⊂0(,))C O x δ，从而0((,))C O x δ为开集，故0,)O x δ为闭集．
例1.2.3 设0(,)X d 是离散度量空间，A 是X 的任意非空子集，证明A 既是开集又是闭集． 证明 0x A ∀∈，取 12δ=
，则{}000011(,)|(,),22O x x d x x x X x A ⎧⎫
=<∈=⊂⎨⎬⎩⎭
，故0x 是A 的
内点，从而A 是开集．由于X A −是X 的子集，故它是开集，从而A 是闭集．□
下面是一些与实数域相类似的开集、闭集性质，仿照相应的证明可证得． 定理1.2.1（开集的性质）度量空间X 中的开集具有以下性质： (1) 空集φ和全空间X 都是开集； (2) 任意多个开集的并集是开集； (3) 有限个开集的交集是开集.
定理1.2.2（闭集的性质）度量空间X 中的闭集具有以下性质： (1) 空集φ和全空间X 都是闭集； (2) 任意多个闭集的交集是闭集； (3) 有限个闭集的并集是闭集. 定义1.2.3 聚点与闭包
设(,)X d 是一度量空间， A X ⊂，0x X ∈，如果在0x 的任意δ邻域0(,)O x δ内含有A 中异于0x 的点，则称0x 是A 的一个聚点或极限点．A 的全体聚点所构成的集合称为A 的导集，记为A ′，称A A ′U 称为A 的闭包，记为．
注2：由聚点的定义知，0x 可以在A 中，也可以不在A 中．0x 是A 的一个聚点的一个等价定义是：0x 的任意一个去心δ邻域与A 的交非空．
定理1.2.3 设(,)X d 是度量空间,0x X ∈,A X ⊂,那么下面的命题成立: (1) 0x A ′∈当且仅当存在{}n x A ⊂，使得0lim n n x x →∞
= ；
(2) A 是闭集；
(3) A 是闭集当且仅当A A =.
注3： 对于度量空间(,)X d , 设A 是X 的非空子集,则A 为闭集的充要条件是A A ′⊂. 如果A φ′≠,那么A 为闭集.
定义1.2.4 边界点与孤立点
设(,)X d 是一度量空间，A X ⊂，
若0x 的任意邻域内既有属于A 的点，也有不属于A 的点，
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则称0x 为A 的边界点．A 的全体边界点所构成的集合，称为A 的边界，记为A ∂．若0x A ∈，但0x 不是A 的聚点，则称0x 为A 的孤立点．
注4：0x 是A 的孤立点的充要条件是：存在0x 的某个δ邻域0(,)O x δ，使得
00(,){}A O x x δ=I ．
注5：A 的边界点不是聚点便是孤立点．
注6：闭包的其他形式表示：{}A A A A A A A ′=∂=∂=o
U U U 的孤立点．其中A o
表示A 的全体内点所构成的集合，称其为A 的内部．
由孤立点的定义可知离散度量空间0(,)X d 中的每个点都是孤立点，由例1.2.3知0(,)X d 的子集A 既开又闭，所以{}A A A A ===o
的孤立点．
对于一般的度量空间X 而言，A X ⊂，A 的内部A o
是由一些聚点和孤立点组成，A 的边界A ∂也是由一些聚点和孤立点组成，且A A φ∂=o
I ．A 的导集A ′是由一些内点和边界点组成，
A 的孤立点要么是边界点要么是内点，且{}A A φ′=I 的孤立点．
1.2.2 拓扑空间
定义1.2.5 拓扑空间
设X 是一个非空集合，如果τ是X 的一个子集族，且满足如下条件： (1)空集φ和X 都属于τ．
(2)τ内任意个集合的并集都仍然会属于τ． (3)τ内任意两个集合的交集也仍然会属于τ．
则称子集族τ为X 的拓扑；(,)X τ为一个拓扑空间，在不引起混乱的情形下简记为X ．τ内的集合称为拓扑空间的开集，X 中的元素称为点．□
对于度量空间(,)X d 而言，若记X 中由度量定义的开集组成的集合为τ，那么容易验证
(,)X τ为一个拓扑空间，称(,)X τ为由距离d 诱导的拓扑．
定义1.2.6 离散拓扑空间
设X 是一个非空集合，τ由X 的所有子集构成，
容易验证τ是X 的一个拓扑，称之为X 的离散拓扑；并且称拓扑空间(,)X τ为一个离散拓扑空间．在离散拓扑空间(,)X τ中，X 的每一个子集都既是开集，又是闭集．□
显然，离散度量空间诱导的拓扑为离散拓扑空间． 定义1.2.7 拓扑空间中的邻域和闭集
设(,)X τ是一个拓扑空间，(1)点x X ∈，V X ⊂，若存在O τ∈，使得x O V ∈⊂，则称V 为x 的邻域．(2)子集F X ⊂，如果c G X F F τ=−=∈，则称F 为拓扑空间X 的闭集．□
定理1.2.4 拓扑空间X 中的闭集具有以下性质： (1) 空集φ和全空间X 都是闭集； (2) 任意多个闭集的交集是闭集； (3) 有限个闭集的并集是闭集. 定义1.2.8 Hausdorff 空间
设(,)X τ是一个拓扑空间，如果X 中任意两个不同的点都有不相交的邻域，则称X 为豪斯道夫(Hausdorff)拓扑空间．□
例1.2.4 度量空间(,)X d 诱导的拓扑空间是Hausdorff 空间． 证明 设00,x y X ∈且00x y ≠，于是00(,)0d x y δ=>，令
0000(,){|(,),}33U O x x d x x x X δδ
==<∈
0000(,){|(,),}33
V O y x d x y x X δδ
==<∈ 显然0U ，0V 分别是00,x y 的邻域，且00U V φ=I ．□
1.2.3 度量空间的连续性
定义1.2.5 连续与一致连续
设11(,)X d ，22(,)X d 是两个度量空间，f 是这两个度量空间之间的一个映射12:f X X →． (1) 关于01x X ∈，如果0ε∀>，0δ∃>，当1x X ∈且10(,)d x x δ<时，有20((),())d f x f x ε<，则称f 在点0x 处连续．若f 在1X 的每一点处都连续，则称映射f 在1X 上的连续．
(2) 如果0ε∀>，0δ∃>，1,x y X ∀∈，当1(,)d x y δ<时，有2((),())d f x f y ε<，则称f 在1X 上一致连续． □
注7：显然，由一致连续可以推出连续． 定理1.2.4 连续的等价条件
设11(,)X d ，22(,)X d 是两个度量空间，12:f X X →,01x X ∈,则下列各命题等价． (1) 映射f 在0x 点连续；
（2）对于0()f x 的任一邻域0((),)O f x ε，都存在0x 的一个邻域0(,)O x δ使得
]00(,)((),)f O x O f x δε⎡⊂⎣；
（3）对于X 中的任意点列{}n x X ⊂，若0()n x x n →→∞，则有
0()()()n f x f x n →→∞．（即00lim lim ()()n n n n x x f x f x →∞
→∞
=⇒=）
证明 （1）⇒(2)
由f 在0x 处连续的定义知，
任给0ε>,存在0δ>，当10(,)d x x δ<时，有20((),())d f x f x ε<.注意10(,)d x x δ<即0(,)x O x δ∈,而20((),())d f x f x ε<即0()((),)f x O f x ε∈．所以]00(,)((),)f O x O f x δε⎡⊂⎣．
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（2）⇒（3）
由（2）知，0ε∀>，0δ∃>，使得]00(,)((),)f O x O f x δε⎡⊂⎣．根据假设0n x x →得，对于此0δ>,存在N ,当n N >时，0(,)n x O x δ∈.即0()((),)n f x O f x ε∈，于是20((),())n d f x f x ε<,因此0()()n f x f x →．
（3）⇒（1）
反证法．假设f 在0x 不连续，则必存在某个正数0ε，使得对于每一个1
n n
δ=，其中1,2,n =L ，有n x 满足101
(,)n d x x n
<
,但200((),())n d f x f x ε≥，显然这与0()()n f x f x →相矛盾．□
图2.2 连续映射示意图
定理1.2.5 连续的充要条件
设(,)X d ，(,)Y ρ是两个度量空间，那么映射:f X Y →是连续映射的充分必要条件是，对
Y 中的任一开集G ，其原象{1(), ()}f G x x X f x G −=∈∈是开集．
证 必要性⇒，不妨设1()f G −非空．任取10()x f G −∈，即0()f x G ∈．因为G 是开集，故存在0ε>，使0((),)O f x G ε⊂．由于f 连续，所以对0ε>，有0δ>,使得00((,))((),)f O x O f x G δε⊂⊂．即10(,)()O x f G δ−⊂．说明0x 是1()f G −的内点，故1()f G −是开集．
充分性⇐：任取0x X ∈，对任意的0ε>，取开集0((),)G O f x ε=，则10(),x f G −∈由假设1()f G −是开集，因而存在0δ>，使10(,)()O x f G δ−⊂,故00((,)((),)f O x G O f x δε⊂=，即f 在0
x 连续． □
注8：由上述定理知，在连续映射下，开集的原象是开集，那么开集的象一定是开集吗？不一定．例如：()sin :f x x R R =→是连续映射，f 将(0,2)π映射为[1,1]−．
例1.2.4 设(,)X d 是度量空间，*x X ∈，那么*()(,):f x d x x X R =→是度量空间X 上的连续映射．
证 任取0x X ∈，对于x X ∈而言，由
**00(,)(,)(,)d x x d x x d x x −≤及**00(,)(,)(,)d x x d x x d x x −≤
可得**00(,)(,)(,)d x x d x x d x x −≤．
0ε∀>，2
εδ∃=
,当0(,)2
d x x εδ<=
时，就有
**000()()(,)(,)(,)2
f x f x d x x d x x d x x εδε−=−≤<=
<
因此,*
d x x是X上的连续映射．□
(,)。