度量空间的拓扑性质与连续性

——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授ylyang@ - 8 -

1.2 度量空间的拓扑性质与连续性 1.

2.1 度量空间的拓扑性质

定义1.2.1 邻域

设(,)X d 是度量空间，0x X ∈，0δ>，称集合0(,)O x δ0{|(,),}x d x x x X δ=<∈为以0x 为中心，δ为半径的开球，或0x 的一个δ邻域．如果不特别强调半径，用0()O x 表示0x 的半径；称0(,)O x δ0{|(,),}x d x x x X δ=≤∈为闭球．

定义1.2.2 内点、开集与闭集

设(,)X d 是一度量空间，0x G X ∈⊂，若存在0x 的δ邻域0(,)O x δG ⊂，则称点0x 为G 的内点．如果G 中的每个点均是它的内点，则称G 为开集．并规定空集φ为开集．对于F X ⊂，若C F X F =−是开集，则称F 为闭集．

注1：实数域中的任何开球是开集，闭球是闭集，对于度量空间其结论如何？ 例1.2.1 度量空间(,)X d 的开球0(,)O x δ是开集．

证明 x ∀∈0(,)O x δ,显然0(,)d x x δ<，取*01

((,))2

d x x δδ=−，即*02(,)d x x δδ+=，则对任

何*(,)y O x δ∈，都有*(,)d x y δ<，从而

0(,)d y x 0(,)(,)d y x d x x ≤+*0(,)d x x δ<+δ<．

即*(,)O x δ⊂0(,)O x δ,所以0(,)O x δ是开集．□

图2.1 例1.2.1和例1.2.2证明示意图

例1.2.2 度量空间(,)X d 的闭球0(,)O x δ是闭集．

证明 0((,))C x O x δ∀∈，显然0(,)d x x δ>，取*01

((,))2

d x x δδ=−，即*02(,)d x x δδ+=，则

*(,)y O x δ∀∈，有

*00(,)(,)(,)2(,)d y x d x x d y x d y x δδδ≥−=+−>

可见0(,))C y O x δ∈，即*(,)O x δ⊂0(,))C O x δ，从而0((,))C O x δ为开集，故0,)O x δ为闭集．

例1.2.3 设0(,)X d 是离散度量空间，A 是X 的任意非空子集，证明A 既是开集又是闭集． 证明 0x A ∀∈，取 12δ=

，则{}000011(,)|(,),22O x x d x x x X x A ⎧⎫

=<∈=⊂⎨⎬⎩⎭

，故0x 是A 的

内点，从而A 是开集．由于X A −是X 的子集，故它是开集，从而A 是闭集．□

下面是一些与实数域相类似的开集、闭集性质，仿照相应的证明可证得． 定理1.2.1（开集的性质）度量空间X 中的开集具有以下性质： (1) 空集φ和全空间X 都是开集； (2) 任意多个开集的并集是开集； (3) 有限个开集的交集是开集.

定理1.2.2（闭集的性质）度量空间X 中的闭集具有以下性质： (1) 空集φ和全空间X 都是闭集； (2) 任意多个闭集的交集是闭集； (3) 有限个闭集的并集是闭集. 定义1.2.3 聚点与闭包

设(,)X d 是一度量空间， A X ⊂，0x X ∈，如果在0x 的任意δ邻域0(,)O x δ内含有A 中异于0x 的点，则称0x 是A 的一个聚点或极限点．A 的全体聚点所构成的集合称为A 的导集，记为A ′，称A A ′U 称为A 的闭包，记为．

注2：由聚点的定义知，0x 可以在A 中，也可以不在A 中．0x 是A 的一个聚点的一个等价定义是：0x 的任意一个去心δ邻域与A 的交非空．

定理1.2.3 设(,)X d 是度量空间,0x X ∈,A X ⊂,那么下面的命题成立: (1) 0x A ′∈当且仅当存在{}n x A ⊂，使得0lim n n x x →∞

= ；

(2) A 是闭集；

(3) A 是闭集当且仅当A A =.

注3： 对于度量空间(,)X d , 设A 是X 的非空子集,则A 为闭集的充要条件是A A ′⊂. 如果A φ′≠,那么A 为闭集.

定义1.2.4 边界点与孤立点

设(,)X d 是一度量空间，A X ⊂，

若0x 的任意邻域内既有属于A 的点，也有不属于A 的点，

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则称0x 为A 的边界点．A 的全体边界点所构成的集合，称为A 的边界，记为A ∂．若0x A ∈，但0x 不是A 的聚点，则称0x 为A 的孤立点．

注4：0x 是A 的孤立点的充要条件是：存在0x 的某个δ邻域0(,)O x δ，使得

00(,){}A O x x δ=I ．

注5：A 的边界点不是聚点便是孤立点．

注6：闭包的其他形式表示：{}A A A A A A A ′=∂=∂=o

U U U 的孤立点．其中A o

表示A 的全体内点所构成的集合，称其为A 的内部．

由孤立点的定义可知离散度量空间0(,)X d 中的每个点都是孤立点，由例1.2.3知0(,)X d 的子集A 既开又闭，所以{}A A A A ===o

的孤立点．

对于一般的度量空间X 而言，A X ⊂，A 的内部A o

是由一些聚点和孤立点组成，A 的边界A ∂也是由一些聚点和孤立点组成，且A A φ∂=o

I ．A 的导集A ′是由一些内点和边界点组成，

A 的孤立点要么是边界点要么是内点，且{}A A φ′=I 的孤立点．

1.2.2 拓扑空间

定义1.2.5 拓扑空间

设X 是一个非空集合，如果τ是X 的一个子集族，且满足如下条件： (1)空集φ和X 都属于τ．

(2)τ内任意个集合的并集都仍然会属于τ． (3)τ内任意两个集合的交集也仍然会属于τ．

则称子集族τ为X 的拓扑；(,)X τ为一个拓扑空间，在不引起混乱的情形下简记为X ．τ内的集合称为拓扑空间的开集，X 中的元素称为点．□

对于度量空间(,)X d 而言，若记X 中由度量定义的开集组成的集合为τ，那么容易验证

(,)X τ为一个拓扑空间，称(,)X τ为由距离d 诱导的拓扑．

定义1.2.6 离散拓扑空间

设X 是一个非空集合，τ由X 的所有子集构成，

容易验证τ是X 的一个拓扑，称之为X 的离散拓扑；并且称拓扑空间(,)X τ为一个离散拓扑空间．在离散拓扑空间(,)X τ中，X 的每一个子集都既是开集，又是闭集．□

显然，离散度量空间诱导的拓扑为离散拓扑空间． 定义1.2.7 拓扑空间中的邻域和闭集

设(,)X τ是一个拓扑空间，(1)点x X ∈，V X ⊂，若存在O τ∈，使得x O V ∈⊂，则称V 为x 的邻域．(2)子集F X ⊂，如果c G X F F τ=−=∈，则称F 为拓扑空间X 的闭集．□