第四节 傅里叶变换

T
T
1 cn = ∫ f (x) exp(− j2πnu0 x)dx T0
T
是离散求和 离散求和的形式，表明: 离散求和
（1）一个随时间或空间变化的周期函数(信号) f(x),可 1 ), 以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠加。 各简谐波分量的频率为u，u=nu0, 是离散的; 取值为 0, ; ±u0, ± 2u0, ± 3u0,… ; u=0 为直流分量，± u0为基 频，其余为高次谐波分量。
0
∞
g(r) = 2π ∫ ρG(ρ)J0 (2πρ r)dρ
0
∞
圆对称函数的FT FT和逆FT FT的运算形式相同，常称为 FT FT 傅里叶—贝塞耳变换(Fourier-Bessel transform)
圆孔
圆 孔 的 夫 琅 和 费 衍 射 图 样
1.3- FT存在及应用条件 存在及应用条件(Requirements) 1.3-3 FT存在及应用条件(Requirements)
∞ ∞
−∞−∞
∫ ∫ f (x, y) dxdy < ∞
(b) 在任一有限区域，f(x,y)必须有有限个间断点 在任一有限区域， 必须有有限个间断点 和有限个极大和极小点。 和有限个极大和极小点。 (c) f(x,y)没有无穷大间断点 没有无穷大间断点
说明： （1）物理上的可能性是保证FT存在的充分条 件，即物理上实际存在的物理量（如各种随 时间或空间变化的函数），其FT总是存在的。
∞ 2π
f (r cosθ, r sin θ ) = ∫ ∫ F(ρ cosϕ, ρ sin ϕ)exp[ j2πρ cos(ϕ −θ )] ρdρdϕ r
0 0
g(r,θ ) = f (r cosθ, r sin θ )
∞ 2π
G(ρ,ϕ) = F(ρ cosϕ, ρ sin ϕ)
g(r,θ ) = ∫ ∫ ρG(ρ,ϕ) exp[ j2πρ r cos(ϕ −θ )]dρdϕ
（2）exp(j2πux) 是其中的某一简谐波成分；系数cn
是该简谐波成分的权重，它是频率u的函数，称之为傅 里叶频谱(简称频谱)----- Fourier Spectrum
二、傅里叶积分(F Integral)和傅里叶变换( FT) (F Integral)和 (
若 f(x) 为非周期函数，在 x 的整个区间内满足 狄里赫里条件,则 f(x) 可用叠加积分表示为：
物理上所用到的函数都存在FT。
（2）物理上，为了数学描述的方便，常引入一 些理想化的函数（物理上不能严格实现）。尽 管它们的经典意义的FT FT不存在，但可引入广义 FT FT。引入广义FT FT后，不仅在理论上成立、自 FT FT 洽，在应用上也能得出符合实际的结果。
1.4-4 广义 广义FT (极限意义下的 ，及δ函数的 极限意义下的FT， 函数的FT) 极限意义下的
exp (− x n ) exp (− j 2πux )dx
0 −∞
+ ∫ − exp ( x n ) exp (− j 2πux )dx = 1 1 + j 2πu n − 1 1 − j 2πu n
(3) Fn(u)的极限即为sgn(x)的FT
FT {sgn( x )} = lim Fn (u )
可见：
1, for x > 0 sgn ( x ) = lim f n ( x ) = 0, for x = 0 n→∞ − 1, for x < 0
fn(x)
(2) 求 fn(x)的FT:
Fn (u ) = =
∫
∞
−∞
f n ( x ) exp (− j 2πux )dx
∫
∞
0
1.4 傅里叶变换 (Fourier Transform--FT） Transform--FT --FT
1.41.4-1 1.41.4-2
1.41.4-3 1.41.4-4 1.4-5 傅里叶级数、傅里叶积分、 傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换 二维傅里叶变换(2D二维傅里叶变换(2D-FT) (2D FT存在及应用条件(Requirements) FT存在及应用条件(Requirements) 存在及应用条件 广义FT (极限意义下的FT， 函数的FT) 极限意义下的FT 广义FT (极限意义下的FT，及δ函数的FT) 广义FT计算举例 广义FT计算举例 FT
0 0
圆对称函数的FT FT的极坐标表示 FT
傅里叶—贝塞耳变换 傅里叶 贝塞耳变换 圆 对 称 函 数 , 有 : g(r,θ ) = g(r)
G(ρ,ϕ) = FT{g(r,θ )} = FT{g(r)} 2π ∫ exp[− j2πρ r cos(ϕ −θ )]dθ dr = ∫ rg(r) 0 0
（2） exp(j2πu x) 是其中某一简谐波成分；F(u) 是 该简谐波成分的权重，它是频率u的函数，称之为 的傅里叶频谱(Fourier pectrum)，简称频谱。
f ( x) = ∫ F(u) exp( j2πux)du f ( x) = FT
−∞ −1
∞
{F(u)}
称为 F(u) 的逆FT (IFT)，IFT 常用算符FT -1{⋅} 表示 ⋅
0 0
G(ρ,ϕ) = F(ρ cosϕ, ρ sin ϕ)
∞ 2π
g(r,θ ) = f (r cosθ, r sin θ )
G(ρ,ϕ) = ∫ ∫ rg(r,θ ) exp[− j2πρ r cos(ϕ −θ )]drdθ
0 0
f ( x, y) =
Hale Waihona Puke Baidu
∞ ∞
−∞−∞
∫ ∫ F(u, v)exp[ j2π(ux + vy)]dudv
函数 g(x,y) 的2D傅里叶变换式等于两个1D傅里叶变 换式的乘积
三、平面极坐标系下的2D-FT 平面极坐标系下的2
傅里叶—贝塞耳变换 傅里叶 贝塞耳变换 空域中
( x, y) →(r,θ ) x = r cosθ y = r sin θ
频域中
(u, v) →(ρ,ϕ) u = ρ cosϕ v = ρ sin ϕ
f (x) = ∫ F(u) exp( j2πux)du F(u) =
−∞ ∞
∞
−∞
∫ f (x)exp(− j2πux)dx
是连续求和，是叠加积分；这表明 （1）一个随时间或空间变化的非周期函数(信号)， 1 可以看作是许多不同频率的基元简谐波信号的叠加积 分。各简谐波分量的频率为u，频率的取值是连续分 布的。
n →∞
1 1 = lim − n →∞ 1 1 − j 2πu + j 2πu n n 1 当u ≠ 0 = jπu 0 当u = 0

二、 δ函数的FT
据δ函数广义函数下的定义: δ 函数的FT 为: 可得 δ(x)函数的 函数的
∫ δ (x ) f (x ) = f (0)
F(u) =
∞
F(u) = FT{ f ( x)}
称为 f(x) 的FT，FT常用
−∞
∫ f (x)exp(− j2πux)dx
函数f(x) 和它的频谱 F(u) 构成一个傅里叶 变换对，表示为：
算符FT {⋅} 表示 ⋅
f ( x) ⇔ F(u)
在电信号处理、通信中，一般是1D 1D时间信 1D 号，经常用到一维傅里叶级数和傅里叶变换。
f(x,y) 可实可复；F(u,v) 是空间频谱，也可 实可复，由f(x,y)的特性决定。
二、可分离变量函数的FT: 可分离变量函数的FT:
一个2D函数可表示两个一维函数的乘积，则称 此函数在此坐标系中是可分离的，即
g( x, y) = gx ( x)gy ( y)
则有
F{g( x, y)} = Fx {gx ( x)}Fy {gy ( y)}
−∞
∞
FT [δ ( x )] = ∫ δ ( x ) exp(− j 2πux )dx
∞
= exp(− j 2πu ⋅ 0) = 1
−∞
即δ函数的FT是常数1, δ
FT {δ ( x )} = 1
那么 FT-1{1} = δ(x) 是否成立呢? 据δ(x) 函数的广义定义, 只要证明 FT-1{1}在积分 中的作用相当于δ(x) 函数即可。 证明: 证明 设有一个函数 f(x), 它在 x=0 处连续, 并且其FT存 在, 即有： F(u) = FT{ f(x) },
1.41.4-1
傅里叶级数、傅里叶积分、 傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换
一、傅里叶级数(Fourier Series) (Fourier
周期函数 f(x),
u0,
T=1/u0
满足狄里赫里条件 在一个周期内仅有有限个极值 狄里赫里条件: 狄里赫里条件 点和第一类间断点(在该间断点附近，函数值有限， 其左、右极限存在， 无无穷大间断点).
则周期函数 f(x)可展成: :
a0 ∞ f ( x) = + ∑[an cos(2πnu0 x) + bn sin (2πnu0 x)] 2 n=1
三角傅里叶级数
f ( x) = ∑cn exp( j2πnu0 x)
n=0
∞
指数傅里叶级数
离散求和形式
傅里叶系数为
2 an = ∫ f (x) cos(2πnu0 x)dx T0 2 bn = ∫ f (x)sin (2πnu0 x)dx T0
∞ 1⋅ exp( j 2πux )du f ( x )dx ∫∞FT {1}f (x )dx = ∫−∞ ∫−∞ −
−1
∞
∞
∞ f ( x ) exp ( j 2πux )dx du =∫ ∫ −∞ −∞ ∞ f ( x ) exp [− j 2π (− u )x ]dx du =∫ ∫ −∞ −∞
在光学中，多数情况下研究的对象是2D 2D或 2D 3D图像处理或成像，一般是二维或三维空间分 3D 布（可表示为二维或三维空间函数）。
1.41.4-2 二维傅里叶变换(2D-FT) 2D一、直角坐标系下的2D-FT 2D
f ( x, y) =
∞ ∞
f ( x, y) = FT
F(u, v) =
∞ ∞
FT { f ( x )} = lim FT {g n ( x )} = lim Gn (u )
n →∞ n →∞
例如：sgn(x)的FT
sgn(x)无经典意义下的 无经典意义下的FT 无经典意义下的
(1) 可先定义一个函数序列
exp(− x n ), for x > 0 f n ( x ) = 0, for x = 0 n = 1,2,L, ∞ − exp( x n ), for x < 0
−∞−∞
∫ ∫ F(u, v)exp[ j2π(ux + vy)]dudv
−1
{F(u, v)}
F(u, v) = FT{ f ( x, y)}
−∞−∞
∫ ∫ f (x, y)exp[− j2π(ux + vy)]dxdy
f ( x, y) ⇔ F(u, v)
(x, y)是空域坐标，(u, v)是空间频域坐 标，u和v分别是x和y方向的空间频率。
对于具有 圆对称性 的函数， 采用极坐 标形式比 较方便
F(u, v) =
∞ ∞
−∞−∞
∫ ∫ f (x, y)exp[− j2π (ux + vy)]dxdy
∞ 2π
F(ρ cosϕ, ρ sin ϕ) = ∫ ∫ f (r cosθ, r sin θ ) exp[− j2πρ cos(ϕ −θ )] rdrdθ r
应用条件： 应用条件：存在系统和信号
系统条件：线性性、时间或空间不变性、 系统条件：线性性、时间或空间不变性、无记忆性 信号条件： 信号条件：绝对可积及狄里赫里条件
信号条件
表示， 信号用函数 f(x,y)表示，则其满足以下三个条件 表示 (a) f(x,y)在整个 平面绝对可积 在整个xy平面绝对可积 在整个
∞
= 2π ∫ rg(r)J0 (2πρ )dr r
0
∞
2πJ0 (a) = ∫ exp[− jacos(ϕ −θ )]dθ
0
2π
贝塞耳函数关系式
J0(⋅) 是第一类零阶贝塞耳函数, 与ϕ无关，表明圆对称 , 函数的FT 和IFT 仍为圆对称函数，可表示为：
G(ρ) = 2π ∫ rg(r)J0 (2πρ r)dr
一、 极限意义下的FT f(x) 无经典意义下的FT。但f(x)和一个函数序列gn(x), n=1, 2, 3, …, 具有下列关系：
f ( x ) = lim g n ( x )
n →∞
函数序列中的每一个gn(x) ，存在Gn(u) = FT [ gn(x) ], 且当n→∞时， Gn(u) 的极限存在。则定义：