专题七解析几何之直线与圆的方程

壹

专题七解析几何之直线与圆的方程

【知识概要】

一、直线

●1．直线的方程

（1）直线l 的倾斜角α的取值范围是0απ≤<；平面内的任意一条直线都有唯一确定的倾斜角。

（2）直线l 的斜率tan (0,k ααπ=≤<且2

π

α≠）。

变化情况如下：

倾斜角α

斜率k 变化关系

(0,)2

πα∈

0k >

k 随α的增大而增大 (,)2

παπ∈

0k <

k 随α的增大而增大

2

πα=

k 不存在

任何直线都有倾斜角，

但不一定有斜率

斜率的计算公式：若斜率为k 的直线过点111(,)P x y 与222(,)P x y ，则21

12

21()y y k x x x x -=≠-。 （3）直线方程的五种形式 名称 条件

方程形式

不能表示的直线

特殊情况

点斜式

直线l 的斜率为k ， 且经过点11(,)P x y 11()y y k x x -=-

不能表示垂直于x 轴

的直线

0k =时，

方程为1y y = 斜截式

直线l 的斜率为k ，

在y 轴上的截距为b

y kx b =+

不能表示垂直于x 轴

的直线

0k =时y b =

两点式

直线l 经过两点

111(,)P x y ，222(,)P x y

且12x x ≠，12y y ≠

112121y y x x y y x x --=

-- 不能表示垂直于x 轴

和b 轴的直线

12x x =时，

方程为1x x =；

12y y =时，

方程为1y y =

截距式

直线l 在x 轴和y 轴上的

截距分别为a 和b

（0,0a b ≠≠）

1y x a b += 不能表示垂直于x 轴和y 轴及过原点的直

线

一般式

0Ax By C ++=

（,A B 不同时为

零）

可以表示平面内的

任意直线

贰

●2．两条直线位置关系

（1）设两条直线111:l y k x b =+和222:l y k x b =+，则有下列结论：

1212//l l k k ⇔=且12b b ≠； 12121l l k k ⊥⇔⋅=-。

（2）设两条直线111111:0(,l A x B y C A B ++=不全为0)和2222:0l A x B y C ++=22(,A B ，不全为0)，则有下列结论：

12//l l ⇔12210A B A B -=且12210BC B C -≠或12210A B A B -=且12210AC A C -≠； 12l l ⊥⇔12120A A B B +=。

（3）求两条直线交点的坐标：解两条直线方程所组成的二元一次方程组而得解。 （4）与直线0Ax By C ++=平行的直线一般可设为0Ax By m ++=；

与直线0Ax By C ++=垂直的直线一般可设为0Bx Ay n -+=。 （5）过两条已知直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=交点的直线系：

111222222()0(0)A x B y C A x B y C A x B y C λ+++++=++=其中不包括直线

●3．中点公式：

平面内两点111(,)P x y 、222(,)P x y ，则12,P P 两点的中点(,)P x y 为1212

,22

y y x x x y ++==。

●4．两点间的距离公式：

平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12,P P 两点间的距离为：22121212()()PP x x y y =-+-。

●5．点到直线的距离公式：

平面内点111(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离为：1122||Ax By C d A B

++=

+。

设平面两条平行线12:0,:0,l Ax By C l Ax By D C D ++=++=≠，

12l l 则与的距离为22

C D d A B -=

+。

二、圆

●1．圆的方程

（1）圆的标准方程：222()()(0)x a y b r r -+-=>，其中圆心为(,)a b ，半径为r 。 （2）圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 其中圆心为(,)22D E -

-，半径22142

r D E F =+-。

叁

圆的方程的确定：数形结合是常用的方法，结合圆所具有的平面几何性质常能使解题过程简化；待定系数法也是求圆的方程常用的方法。

① 几何法：若已知圆心坐标或半径，用标准式方程，求,,a b r ； ② 代数法：若已知圆上三个点的坐标，用一般式求,,D E F 。

●2．直线与圆、圆与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系

设直线l ：0Ax By C ++=和圆C ：222()()x a y b r -+-=，圆心(,)a b 到直线l 的距离为d ，则22||

Aa Bb C d A B

++=

+。

①相交22

(Aa Bb C

d r A B ++⇔=<+几何法）或直线与圆的方程组成的方程组，消去y 或x 转

化为一元二次方程，其判别式0∆>；（代数法）

②相切22

(Aa Bb C

d r A B ++⇔=+＝几何法）或0∆=；（代数法） ③相离22

(Aa Bb C

d r A B

++⇔=>+几何法）或0∆<。（代数法） （2）圆与圆的位置关系

设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：

①两圆相交121212||r r OO r r ⇔-<<+；②两圆外切1212OO r r ⇔=+； ③两圆内切1212||O O r r ⇔=-； ④两圆相离1212OO r r ⇔>+。

（3）研究直线与圆、圆与圆的位置关系要紧紧抓住圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系这一关键点，这个过程充分体现了数形结合、分类讨论的思想在解析几何中的应用。 （4）直线被圆截得弦长的求法：

①几何方法：222AB r d =-，d 为弦心距，r 为圆半径。

②代数方法：设直线y kx m =+与圆C ：222:()()C x a y b r -+-=相交于A 、B 两点，将直线方程与圆的方程联立后，整理出关于x 的方程，求出12x x +，12x x ， 则221212(1)[()4]AB k x x x x =++-。（整体运算）

三、对称问题

●1. 点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。

设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--。

●2. 点关于直线成轴对称问题