线代习题答案(1)
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线性代数习题及答案
习题一 （A 类）
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 341782659； (2) 987654321；
(3) n (n -1)…321； (4) 13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2. 【解】
(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;
(3) τ(n (n -1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n -1)=
(1)
2
n n -; (4) τ(13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2)=0+1+…+(n -1)+(n -1)+(n -2)+…+1+0=n (n -1). 2. 求出j ，k 使9级排列24j157k98为偶排列。
解：由排列为9级排列，所以j,k 只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j 的逆序为1，5的逆序数为0，k 的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j 的逆序为0，5的逆序数为1，k 的为4，不符合题意. 所以j=3、k=6.
3. 写出4阶行列式中含有因子2234a a 的项。 解：D 4=1234()
11223344(1)
j j j j j j j j a a a a τ- 由题意有：232,
4.j j ==
故1234141243
243241
j j j j j j ⎧==⎨
⎩ D 4中含的2234a a 项为：(1243)(3241)1122344313223441(1)(1)a a a a a a a a ττ-+- 即为：1122344313223441a a a a a a a a -+
4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？ （1）233142561465a a a a a a ；
解：233142561465142331425665a a a a a a a a a a a a =
因为(431265)6τ=，(431265)6(1)(1)1τ-=-= 所以该项带正号。 （2）324314516625a a a a a a
解：324314516625142532435166a a a a a a a a a a a a = 因为(452316)8τ=，(452316)8(1)(1)1τ-=-= 所以该项带正号。
5. 用定义计算下列各行列式.
(1)
020000103000000
4； (2)12
30
0020
3045
00
1
. （3）0
100
0200
001000
n n
-
【解】(1) D =(-1)τ
(2314)
4!=24; (2) D =12.
（3）由题意知：12231,,112
10
n n
n ij a a a n a n a -=⎧⎪=⎪⎪⎪
⎨=-⎪⎪=⎪=⎪⎩ 其余
所以
12()112233(2341)1223341,11
1(1)(1)(1)
123(1)(231)1
(1)!
n j j j n j j j njn
n n n n n n D a a a a a a a a a n n n n n τττ---=-=-=-⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-=-⋅
6. 计算下列各行列式.
(1)
21
41
3121
1232
5062
-----； (2) ab
ac ae bd cd de bf
cf ef
-------；
(3)100110011001a b c d
---； (4)
1234234134124123
. 【解】(1) 12
50623121
0123250
6
2
r r D
+---=--; (2) 111
4111111
D abcdef abcdef --==------;
210110
111(3)(1)111011001011;b c D a a b cd c c d d d d
abcd ab ad cd --⎡--⎤
=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++
32122113314214
41
210
2341023410234
1034101130113
(4)160.104120222004410
1
2301110004
r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---=
==
=-------
7. 证明下列各式.
(1) 2
2322()1
1
1
a a
b b a
a b b a b +=-；
(2)
222222222
2
2
2
22
22
(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)
(2)
(3)
(1)(2)(3)a a a a b b b b c
c c c
d d d d ++++++=++++++；
(3) 2
3
2
2
322
32
111()111a a a a b
b ab b
c ca b b c c c c =++