一次函数与二次函数解题技巧

一次函数与二次函数解题技巧

直线与二次函数解题方法闫萧寒博士

提起中考倒数第二道大题——二次函数，很多同学可能就会觉得头疼。二次函数大题

一般二到三问，其中第一问送分题，计算一次函数解析式，或者计算点坐标；第二和第三问，考察学生知识的融合能力，以抛物线为几何载体的代数几何综合能力考察，涉及三角形、四边形的特殊图形动点问题，相似问题，图形判定以及面积计算等。

很多学生从第二问开始，有时候就是老虎吃天，无从下手，知识点，模型记了一大推，结果反而失去了自我思考自我总结的能力，题目稍微一新颖，稍微一灵活，稍微一难，他

们不晓得该从哪个知识点下手了。

本文主要给正在上初三和即将升入初三的同学讲讲一条线的事儿，即直线在解决二次

函数大题时的一些巧妙运用。

希望可以帮助大家，辨真去伪，直抓核心。中考加油！

【一条线的事儿·知识点篇】

那些年，直线不可不知的秘密——精简核心版

2. 斜率和截距 A. 斜率定义：

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用

k 表示。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

B. 斜率计算：

① ()

② 已知直线上任意两点A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则直线斜率为k AB =③

已知直线的一般式：Ax +By +C =0，则 3. 两条直线位置关系（仅仅研究特殊情况：垂直

和平行）

已知直线l 1:y =k 1x +b 1和l 2:y =k 2x +b 2 A ．若两直线垂直，则k 1k 2=-

1 B ．若两直线平行，则k 1=k 2, b 1≠b

2 4. 直线平移（关键）

已知直线l :y =kx +b

则与他平行的直线方程可设为：l ' :y =kx +c

5. 两点距离公式

已知平面内任意两点A (x 1, y 1) ，B (x 2, y

2) ，则d AB =

6. 直线与二次函数交点和韦达定理

y 2-y 1

(x 2≠x 1)

x 2-x 1

B ⎧

x +x =-⎪⎧y =kx +m ⎪12A 2

Ax +Bx +C =0联系化简得，则韦达定理可知：⎨⎨2

C y =ax +bx +c ⎩⎪x x =12⎪⎩A

另外，

① 方程组有两组不同的解时，直线与二次函数有两个交点; ② 方程组只有一组解时，直线与二次函数只有一个交点；③ 方程组无解时，直线与二次函数没有交点

7. 补充知识

两个三角形面积相等：等底等高

三角形面积最大：定底边，令高最大即可。

8. 平行线间的对称（关键）

已知直线l 1:y =kx +b 1和l :y =kx +b

则直线l 1关于直线l 对称的直线l 1的方程为l 2:y =kx +b 2，其中b 2=2b -b 1

【一条线的事儿·应用篇】

面积有关的动点存在性问题：面积最值，面积相等

1. (2019•陕西) 如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥ OA,且OB=2OA,点A 的坐标是

(﹣1，2). （1）求点B 的坐标；

（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的表达式；

（3）连接AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使得S △ABP =S△ABO ．

【解析】第一问考察三角形相似，第二问考察抛物线表达式求解。第三问动点存在性问题，要求面积相等。需要牢记两个三角形面积相等的条件——等底等高。选公用边为底边，过另一点做底边平行线，再对称做一条即可。充分利用直线对称平移的性质，简单题目，简单运用。

解：(1)过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，则AF=2，OF=1 ∵ OA ⊥OB ，

∴∠AOF+∠BOE= 又∵∠OBE+∠BOE= ∴∠AOF=∠OBE

∴Rt △AFO ∽ Rt△OEB ∴

∴BE=4,OE=2 ∴B(4,2)

(2) 设过点A(-1,2)，B(4,2)，O(0,0)的抛物线表达式为

y =ax 2+bx +c

1⎧a =⎪2⎧a -b +c =2⎪

3⎪⎪

∴⎨16a +4b +c =2解得，⎨b =-

2⎪⎪c =0

⎩⎪c =0

⎪⎩

∴抛物线表达式为：y =

123x -x 22

(3)由题意可知，S △ ABP=S△ ABO

又∵S △ ABP=AB ·d ，S △ ABO=AB ·AF 又∵AB//x轴，

∴满足题意的P 点为y=0和y=4这两条直线与抛物线的交点。

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令y=0,即x 2-x =0，得x=0或x=3

22

∴(0.0)， (3,0)

令y=4,即

1233x -x =

4，得x = 222

∴(，4) ， (，4)

2. 如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥ x轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△ DCA的面积最大，求出点D 的坐标．【解析】

第一问求解抛物线解析式，根据所给点，灵活选择设抛物线表达式的形式，两点式，顶点式还是一般式；第二问图形变换，找相似三角形，一般没有指明谁对应谁时，两三角形相似总计六种可能，但题目必然会通过定一角，将相似种类缩少到两种。

第三问便是咱们的一条线的事儿啦，采用三角形底一定，高最大，则面积最大。而高最大的找法就是利用平行于底边的一条线，平移它可以发现，当它与抛物线有且仅有一个交点时，高最大。

解：(1) 设过点A （4，0），B （1，0）的抛物线表达式为y =a (x -1)(x -4) 又∵抛物线过C （0，﹣2）

1∴代入抛物线表达式得a =-

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∴抛物线表达式为y =-x 2+x -2

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（2）存在．

如图，设P 点的横坐标为m ，

∵P 是抛物线AB 段上一动点，∴1＜m ＜4，则P 点的纵坐标为，

当1＜m ＜4时，AM=4﹣m ，．又∵∠COA=∠PMA=90°，∴①当时，△APM

∽△ACO ，即．解得m1=2，m2=4（舍去），∴P （2，1）．②当时，△APM ∽△CAO ，即．