机械优化设计ppt课件第六章 约束优化的直接搜索法

• 确定初始可行点 方法1）决定性方法 当问题的约束条件
比较简单，可凭判断人为地在可行域内选定 一个初始点。
方法2） 随机投点方法 当问题的约束条
件较为复杂时，靠判断选择初始可行点较困
难，这时可借助计算机中的随机数发生器，
产生随机但可行的初始.点。
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设给定设计变量的上下限值为：
ai≤ xi ≤ bi (i = 1, 2, …, n) 则产生的随机点的各分量为
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• 构造随机搜索方向 利用计算机中的随机数发生器，在区间[-1,1]
上产生一组随机数方法r1 、 r2 、… 、 rn (n 为 变量的维数) ，则随机搜索方向为
e = [e1 e2 … en ]T = [r1 r2 … rn ]T /(∑ ri) 0.5 || e ||=1, e 是一个单位向量。
min f (X )
X∈ Rn
s.t. gj(X ) ≤ 0 (j = 1, 2, …, m)
ai≤ xi ≤ bi (i = 1, 2, …, n)
其基本思想是：在可行域内构造一个具有
K1个顶点的初始复合形. （
n+1≤
Baidu Nhomakorabea
K1≤2n
）， 15
或叫多面体，对该复合形各顶点的目标函数 值进行比较，去掉目标函数值最大的顶点 （或称最坏点），然后按一定的法则求出目 标函数值有下降的可行的新点，并用此点代 替最坏点，构成新的复合形。复合形的形状 每改变一次，就向最优点移动一步，直到逼 近最优点。
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• 计算步骤及算法框图（略）
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§6.3 约束随机方向搜索法
• 基本思想
它是约束优化问题中经常采用的一种直 接求解方法。它适于解决如下数学模型：
min f (X )
X∈ Rn
s.t. gj(X ) ≤ 0 (j = 1, 2, …, m)
其基本思想是：在不破坏约束条件的前提 下，从选定的初始可行点X(0)出发，相继沿着 n个随机产生的搜索方向e(k)(k= 1, 2, …, n)，
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以定步长 0 搜索得到n个试验点Xk (k= 1, 2, …, n)， 然后计算比较n个试验点处的函数值f (Xk)， 找出其中的最小点XL 。
若f (XL) ≥ f (X(0))，则缩短步长0 ，或重 新产生n个随机方向，重复前面的过程。
若f (XL) < f (X(0))，则继续沿方向S = XLX(0) ，并令X(0) = XL，以适当步长向前跨步， 得到新点 X(1) = X(0) + S 。
机械优化设计
太原科技大学 张学良
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第六章 约束优化的直接搜索法
§6.1 概述
数学模型：
min f (X )
X∈ Rn
s.t. gj(X ) ≤ 0 (j = 1, 2, …, m) hk(X ) = 0 (k = 1, 2, …, p)
根据对约束函数处理方法的不同，约束
优化方法可以分为：直接法和间接法。
直接法的特点是：
原理简单、方法实用，但计算量大，收敛
慢、效率低。适于维数低、精度要求不高但目
标函数较复杂的问题。 .
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常用的直接法有：
网格法、约束随机方向搜索法和复合形 法。
• 间接法的基本思想
将约束优化问题中的约束函数进行特殊 的加权处理后，和目标函数结合起来，构成 一个新的目标函数，即将约束优化问题转化 成为一个或一系列的无约束优化问题，再对 新的目标函数进行无约束优化计算，从而间 接地搜索到原约束优化问题的最优解。
若f (X(1) ) < f (XL)，则将新的起始点移到 X(1) ，重复前面的过程进行新一轮搜索。
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若f (X(1) ) > f (XL)，则应缩短步长 ，直 至取得一个好的可行点作为新一轮搜索的起 始点。如此周而复始，当迭代步长 已经很 小时，说明搜索已逼近约束最优点。达到精 度要求时，即可终止迭代计算。
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直接法通常适用于仅含不等式约束的优化 问题，当有等式约束时，该等式约束函数不 能是复杂的隐函数，而且容易实现消元过程。
• 直接法的基本思想
在m个不等式约束条件所确定的可行域
内，选择一个初始点X(0)，然后决定可行搜
索方向S(0) ，且以适当的步长(0) ，沿S(0)
方向进行搜索，得到一个使目标函数值下降
的可行的新点X(1) ，即完成一次迭代，再以
新点为起点，重复上述搜索过程，满足收敛
条件后，迭代终止。
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迭代公式为一般公式：
X (k+1)=X (k) + (k) S(k) (k =0 , 1 , 2 , …)
S(k) 为可行搜索方向， (k)为步长。
可行搜索方向是指：当设计点沿该方向作 微量移动时，目标函数值将下降，且不会超出 可行域。
比较其目标函数值的大小，从中找出目标函数 值最小的网格点。若此网格点之间的距离hj均 小于给定的控制精度j(通常取j=，i=1,2,…, n) ， 则该网格点就是所要求的最优点的近似点X*。 否则，以该点为中心缩小寻优区间，即在该点 附近作较密的网格，继续求目标函数值最小的 网格点。如此循环往复，直至找到满足精度要 求的最优点的近似点X*。网格的划分可以是等 间距的，也可以是非等间距的。
xi(0) =ai +ri(bi-ai) (i = 1, 2, …, n) 其中， ri为[0，1]区间上的随机数。 还需对点X(0)进行可行性检验，即是否满足
gj(X(0)) ≤ 0 (j = 1, 2, …, m)
若满足， X(0)可作为初始点；否则，则应
另取随机数重新产生随机点，直到得到一个
可行的随机点为止。 .
要产生N个随机搜索方向e(k) (k =1, 2, …, N) , 需要产生N组随机数ri(k) (i = 1, 2, …, n; k =1, 2, …, N) 。
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XL S S X(0) XL
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• 计算步骤及算法框图（略）
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§6.4 复合形法
• 基本思想
它是约束优化问题中经常采用的一种重 要的直接求解方法。它适于解决如下数学模 型：
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§6.2 网格法
• 网格法的基本思想
适于解决如下数学模型：
min f (X )
X∈ Rn
s.t. gj(X ) ≤ 0 (j = 1, 2, …, m)
ai≤ x i ≤ bi ( i = 1, 2, …, n) 其基本思想是：在设计变量的界限区域内 作出网格，逐个计算各个网格点上的约束函 数值和目标函数值，然后舍去不满足约束条 件的 网格点 ，对满 足. 约束 条件的网格点 ，6