弹塑性三维各向异性分形表面的接触分析

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图１固体表面形貌
（）、具有８重对称性，尽管下文的图３图３（都无特ａｂ）定的方位角结构．
本文分析三维各向异性分形表面特征，将分形维，区分弹、塑性数推广到三维的一般情况（２＜Ｄ＜３）接触时单峰的实际接触面积（都用ａ表示）．
ｍ π Ｍ））），代入式（得３７２将式（～式（ α ｍ＝Ｇｚ（ｘ，ｙ）＝ＬＬ
（）７
（）槡
Ｄ－２
ｌｎ（ γ Ｄ３）ｎｃｏｓ γ －｛ Φｍ，ｎ－ ∑ ∑ Ｍｍ＝１ｎ＝０
Ｍ
ｎｍａｘ
ｎ２２ｘ２＋ｙｍ π γ 槡［（｝ｃｏｓｃｏｓａｒｃｔａｎｙ－ π ）＋Φｍ，ｎ］ＬｘＭ（）８
２２ｘ＋ｙ ρ＝槡ｒｃｔａｎｙ θ＝ａｘ
（）３（）４
２－Ｄ
Ａｍ＝Ａ＝２ π
（）
２ π Ｇ
（）５（）６
图３ＷＭ函数模拟隆起部状表面
２ｋ＝ π Ｌ
第３等弹塑性三维各向异性分形表面的接触分析４卷第１期田红亮，
采用如图１所示的固
体１维表面形貌首次提出机械结构固定结合部虚拟材料的动力学建模方法，将２种配对材料的微观接触
收稿日期：２０１１１０２０－－）基金项目：国家自然科学基金资助项目（５１０７５２３４
，：通信作者：田红亮（男，讲师，博士，主要研究方向为赫兹接触．１９７３－）Ｅ－ｍａｉｌｔｈｌ１９７３２００３＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ
２三维各向异性分形表面特征
更起作用通用的单变量标量ＷＭ函数模拟加权、随机重叠的隆起部状表面．单变量标量ＷＭ函
７］数［为
ｎｌｎ（）ｉ γ ＡｉｋｃｏｓｎＤ３－ γρ θ α Φ ｍ］ｍ，ｎ（［１－ｅｅｋ γ ）－ｍ ∑ ∑ Ｍｍ＝１ｎ＝－∞
７０
三峡大学学报（自然科学版）０１２年２月２
出相对误差．因此该方法存在以下１个缺陷：虚拟的各向同性材料假设不能完全反映实际工程材料的特征，事实上，实际工程材料大多为各向异性（沿不同方向力学性能不同的材料）．
第３４卷第１期２０１２年２月
自然科学版）三峡大学学报（（）ＪｏｆＣｈｉｎａＴｈｒｅｅＧｏｒｅｓＵｉｖ．ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓｇｎ
Ｖｏｌ．３４Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２０１２
图２表面经验功率谱的等高线
Ｍ
＋∞
Ｗ（ ρ）＝
槡
－５、当γ＝１．５、Ｍ＝１０、Ｇ＝１．３６×１０ｍ Φｍ，ｎ＝０ μ
）时，式（模拟各向异性表面如图３所示．８
（）１其一个三维分形表面在各平面方向显示随机性，）高度函数可用式（的实部表示１ｌｎ γ ＡｎＤ３ｋ γ ）－ × ｍ ∑ ∑（Ｍｍｎ＝－∞ ＝１ｎ｛［（｝（）ｃｏｓｏｓｋｃｏｓ２ Φｍ， γρ θ－α ＋Φｍ，ｎ－ｃｍ）ｎ］式中， γ＞１为决定轮廓空间频 ρ 和θ 为平面极坐标；
［１］
凹凸部分看成一种虚拟的各向同性材料（认为无论沿，固体的力学性能都是相同的）首先，通过任何方向，
［］２６－
传统的结合部方法采用弹簧－阻尼器
一些理论的方法得到该虚拟材料的弹性模量、Ｐｏｉｓ－厚度和密度；然后，将这些参数嵌入到有限元ｓｏｎ比、软件中，可将整个机械结构的动力学特性通过分形维、数Ｄ（分形粗糙度Ｇ、近似理论模态等参１＜Ｄ＜２）数表现出来；最后，为验证虚拟材料参数是否具有工可将Baidu Nhomakorabea似理论模态与实程实际可操作性及是否有效，验模态进行比较，例如将两者的相似振型进行定性比较，将两者相应的固有频率、阻尼比进行定量比较，给
弹塑性三维各向异性分形表面的接触分析
田红亮赵春华朱大林秦红玲
（）三峡大学机械与材料学院，湖北宜昌４４３００２摘要：随机重叠的隆起部状表面，该函数是更起作用通Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓａｎｄｅｌｂｒｏｔ函数能模拟加权、－Ｍ用的单变量标量．给出三维各向异性分形表面高度函数的推导过程，分析三维各向异性分形表面特征．将分形维数推广到三维的一般情况，给出弹性、完全塑性接触时单峰的实际接触面积与单峰的横截面积之间的不同关系．理论分析易适用于解释各向异性分形表面与不同材料行为．关键词：三维各向异性分形表面；弹塑性；接触分析；单变量标量ＷＭ函数：：）中图分类号：文献标识码文章编号ＴＨ１１３．１Ａ１６７２９４８Ｘ（２０１２０１００６９０５－－－
］的１个缺陷１文献［１
（ｓｒｉｎ－ｐｇ），ｄａｍｅｒ模型该模型能模拟结合部两侧零件的相对ｐ运动，但该模型的一个缺点是理论预测结果与实验数据相差较大．为克服弹簧－阻尼器模型的缺陷，进一步提高理田红亮和李斌等论预测精度，
７１
可以看出，分形维数Ｄ越大，表面形貌越光滑．（））图３中表面高、低频率组分的幅值比大于图３（ｂａ中表面的情况．）当Ｍ＝１，则ｍ＝１时，式（退化为８
ＴｉａｎＨｏｎｌｉａｎｈａｏＣｈｕｎｈｕａｈｕＤａｌｉｎｉｎＨｏｎｌｉｎＺＺＱｇｇｇｇ
（，，）ＣｏｌｌｅｅｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌ＆ＭａｔｅｒｉａｌＥｎｉｎｅｅｒｉｎＣｈｉｎａＴｈｒｅｅＧｏｒｅｓＵｎｉｖ．Ｙｉｃｈａｎ４４３００２，ＣｈｉｎａｇｇｇｇｇＡｂｓｔｒａｃｔｍｏｒｅｕｓｅｆｕｌｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｕｎｉｖａｒｉａｔｅｓｃａｌａｒＷｅｉｅｒｓｔｒａｓｓａｎｄｅｌｂｒｏｔｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓａｗｅｉｈＡ－Ｍ－ｇｇ，ｔｅｄｒａｎｄｏｍｓｕｅｒｏｓｉｔｉｏｎｏｆｓｕｃｈｒｉｄｅｌｉｋｅｓｕｒｆａｃｅｓ．Ｔｈｅｈｅｉｈｔｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆａｔｈｒｅｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌａｎｉｓｏｔｒｏｉｃ－－ｐｐｇｇｐｓｕｒｆａｃｅｉｓｄｅｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅｔｈｒｅｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌａｎｉｓｏｔｒｏｉｃｆｒａｃｔａｌｓｕｒｆａｃｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｉｓａｎａｌｚｅｄ．Ｆｒａｃｆｒａｃｔａｌ－－ｐｙｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｉｓｅｘｔｅｎｄｅｄｔｏｔｈｅｔｈｒｅｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｕｎｉｖｅｒｓａｌｉｔ．Ｔｈｅｒｅａｒｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｒｅｌａｔｉｏｎｓｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｍｉ－－ｙｃｒｏｃｏｎｔａｃｔｒｅａｌａｒｅａｉｎｅｌａｓｔｉｃａｎｄｆｕｌｌｌａｓｔｉｃｃｏｎｔａｃｔｓｔａｔｅａｎｄｔｈｅｔｒｕｎｃａｔｅｄａｒｅａｏｆｔｈｅｍｉｃｒｏｃｏｎｔａｃｔ．Ｔｈｅｙｐｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌａｎａｌｓｉｓｃａｎｂｅｅａｓｉｌａｌｉｅｄｔｏａｃｃｏｕｎｔｆｏｒａｎｉｓｏｔｒｏｉｃｆｒａｃｔａｌｓｕｒｆａｃｅｓａｎｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｍａｔｅｒｉａｌｂｅ－ｙｙｐｐｐｈａｖｉｏｒｓ．；；；Ｋｅｗｏｒｄｓｈｒｅｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌａｎｉｓｏｔｒｏｉｃｆｒａｃｔａｌｓｕｒｆａｃｅｌａｓｔｏｌａｓｔｉｃｉｔｏｎｔａｃｔａｎａｌｓｉｓｎｉｖａｒｉａｔｅｔ－ｅｃｕｐｐｙｙｙｓｃａｌａｒＷＭｆｕｎｃｔｉｏｎ
ＣｏｎｔａｃｔＡｎａｌｓｉｓｏｆＥｌａｓｔｏｌａｓｔｉｃＴｈｒｅｅＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＡｎｉｓｏｔｒｏｉｃＦｒａｃｔａｌＳｕｒｆａｃｅｓ－ｙｐｐ
Ｍ
＋∞
ｚ（ｅＷ（ θ）＝Ｒ ρ）＝ ρ，
槡
率密度的参数；Ｍ为构造表面重叠隆起部的个数；Ａｍ为控制表面几何各向异性的量值；ｉ＝槡－１；ｋ为与采样长度Ｌ有关的波数；ｎ为频率指数；２＜Ｄ＜３为表面的分形维数； α ｍ为在方位角的方向偏置隆起部的任意角度；且 Φｍ，ｎ为均匀分布的随机相位，
式中，Ｇ为分形粗糙度；ｎｍａｘ为与６晶格距离截止长度且Ｌｓ有关的频率指数上限，（／ＬＬＬｌｎｓ）（）ｌｏｎｍａｎｔｎｔ９ｇ＝ｉ γ ｘ＝ｉＬｌｎｓ γ ）的表面经验功率谱对应的等高线示意图如８式（
（
）
图２所示，其中ｋｋｙ轴方向的空间频ｘ、ｙ分别为沿ｘ、－１率，单位是ｍ．可以看出，功率谱的等高线明显表明