4 一维搜索法
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f ( X k + t k Pk ) = min f ( X k + tPk ) = min ϕ (t ) t t X k +1 = X k + t k Pk
若从 X k 出发，沿方向进行一维搜索得极小点 X k +1 = X k + t k Pk 出发， ，则该点处的梯度方向 ∇f ( X k +1 )与搜索方向 Pk 之间应满足
t* = 1 (a + b) 2
1 2
，
(5) 打印 t *，结束． 结束． 说明： 说明：由于每次迭代都取区间 中点，使区间长度缩短一半， 中点，使区间长度缩短一半， 故名曰对分法或二分法。 故名曰对分法或二分法。
4.3 Newton切线法 切线法
第 四 章 一 维 搜 索
基本原理 b 设ϕ : R1 → R1 在已获得的搜索区间 [ a， ] 内具有连续二阶 导数， 导数，求
a = min{t， +1}， b = max{t， +1} tk tk
第 四 章 一 维 搜 索
注意：在加步探索法中， 注意：在加步探索法中，一 般建议α = 2 ．若能估计问题 的最优解的大体位置的话， 的最优解的大体位置的话， 初始点要尽量取接近于问题 的最优解． 的最优解．在具体运用加步 探索法时， 探索法时，有时还要考虑一 些细节问题．例如， 些细节问题．例如，当探索 得到新点处的目标函数值和 出发点处相同时， 出发点处相同时，以及初始 步长应如何选取等， 步长应如何选取等，都需作 适当处理． 适当处理．
加步探索法算法的计算步骤： 加步探索法算法的计算步骤：
第 四 章 一 维 搜 索
+ (1) 选取初始数据．选取初始点 t 0 ∈ [0， ∞)(或t 0 ∈⊂ [0，t max ]) ， 选取初始数据． 计算 ϕ0 = ϕ (t0 ) ．给出初始步长 h0 > 0 ，加步系数 α > 1 ， 令k = 0 ．
要在区间 [0, + ∞] 上选取 t = t k 使 f ( X k +1 ) <
f (X k )
，即
ϕ (t k ) = f ( X k + t k Pk ) < f ( X k ) = ϕ (0)
上面的分析， 上面的分析，实质上是单变量函数 ϕ (t ) 关于变量 t 的 一维搜索选取问题，故通常叫做一维搜索 一维搜索． 一维搜索选取问题，故通常叫做一维搜索．按这种方 最优步长， 又称为最优步长 这种方法的优点是， 法确定的步长 t k 又称为最优步长，这种方法的优点是， 它使目标函数值在搜索方向上下降得最多． 它使目标函数值在搜索方向上下降得最多．
为了简便起见， 为了简便起见，我们用记号
X k +1 = ls ( X k，Pk ) （4.1） ） 表示从点 X k 出发沿 Pk 方向对目标函数 f (X ) 作直线搜索所 得到的极小点是 X k +1 ．
第 四 章 一 维 搜 索
确定的条件下（ ）等价于如下两式： 在目标函数 f (X ) 确定的条件下（4.1）等价于如下两式：
(1) 确定初始搜索区间 [a, b] ，要 求 ϕ '(a) < 0，ϕ '(b) > 0 ． (2) 选定 t 0 ． (3) 计算 t = t0 − ϕ '(t0 ) / ϕ "(t0 ) . (4) 若 | t − t 0 |≥ ε ，则 t 0 = t ，转 ）；否则转 （3）；否则转（5）． ）；否则转（ ）． (5) 打印 t，ϕ (t ) ，结束． 结束．
1 1
定理4.1说明， 定理 说明，经过函数值的 说明 比较可以把单谷区间缩短为一 个较小的单谷区间．换句话说， 个较小的单谷区间．换句话说， 利用这个定理可以把搜索区间 无限缩小， 无限缩小，从而求出极小 以下介绍的几种， 点．以下介绍的几种，一维搜 索方法都是利用这个定理通过 不断地缩短搜索区间的长度， 不断地缩短搜索区间的长度， 来求得一维最优化问题的近似 最优解． 最优解．
a ≤t ≤b
min ϕ (t )
b 上可微， b 同理， 同理，因为ϕ (t ) 在 [ a， ] 上可微，故 ϕ (t ) 在 [ a， ] 上有最小 值，令ϕ ′(t ) = 0 ． b 中经过k次迭代已求得方程 不妨设在区间[ a， ] 中经过 次迭代已求得方程 ϕ ′(t ) = 0 的一个近似根 t k ．过 (t k , ϕ ′(t k )) 作曲线 y = ϕ ′(t ) 的切线， 的切线， 其方程是 y − ϕ ′(t k ) = ϕ ′′(t k )(t − t k ) （4.4）
ϕ (t * ) = min ϕ (t )
0 ≤ t ≤ t max
b + b b 若存在闭区间 [a， ] ⊂ [0， ∞)([a， ] ⊂ [0，t max ]) 使 t * ∈ [a， ] ，则 b 是问题（ 称 [ a， ]是问题（4.3）的搜索区间． ） 搜索区间．
简言之，一个一维最优化问题的搜索区间， 简言之，一个一维最优化问题的搜索区间，就是包含该 问题最优解的一个闭区间．通常，在进行一维搜索时， 问题最优解的一个闭区间．通常，在进行一维搜索时， 一般要先确定出问题的一个搜索区间， 一般要先确定出问题的一个搜索区间，然后在此区间中 进行搜索求解． 进行搜索求解．
ϕ (t0 + h0 ) < ϕ (t0 )
则下一步就从新点 t 0 + h0 出发加大步长，再向前探 出发加大步长， 函数值上升， 索．若目标函数在新点处的 函数值上升，即
ϕ (t 0 + h0 ) > ϕ (t 0 )
则下一步仍以 t 0 为出发点以原步长开始向轴的负方向 同样探索．当达到目标函数上升的点时，就停止探索， 同样探索．当达到目标函数上升的点时，就停止探索， 这时便得到一个搜索区间． 这时便得到一个搜索区间．
(2) 比较目标函数值．令 t k +1 = t k + hk ，计算 ϕ k +1 = ϕ (tk +1 ) ， 比较目标函数值． 若ϕ k +1 < ϕ k ，转(3)．否则转 ．否则转(4)． (3)加大探索步长．令 hk +1 = αhk ，同时，令 t = tk , tk = t k +1 , 加大探索步长． 同时， 加大探索步长 k = k +1 ，转(2)． ． 转换探索方向， （4） 反向探索．若 k = 0 ，转换探索方向，令 hk = −hk , ） 反向探索． t = t k +1 ，转（2）．否则，停止迭代，令 ）．否则 ）．否则，停止迭代， 输出． 输出．
对无约束最优化问题
min f ( X ) n
X ∈R
第 四 章 一 维 搜 索
当已知迭代点 X k 和下降方向 Pk 时，要确定适当的步长 t k 使 f ( X k +1 ) = f ( X k + t k Pk ) 比 f ( X k ) 所下降，即相当于对于 所下降， 参变量 t 的函数
ϕ (t ) = f ( X k + tPk )
下面介绍确定问题搜索区间的法—加步探索法 下面介绍确定问题搜索区间的法 加步探索法
第 四 章 一 维 搜 索
先选定一个初始点和初始步长．然后， 先选定一个初始点和初始步长．然后，沿着轴的正方 向探索前进一个步长，得到新点． 向探索前进一个步长，得到新点．若目标函数在新点 处的值是下降了， 处的值是下降了，即
第一章 Matlab概述 概述
★搜索区间及其确定方法 ★对分法 ★Newton切线法 切线法 ★黄金分割法 ★抛物线插值法
第 四 章 一 维 搜 索
由第一章关于求解优化问题的迭代法知道， 由第一章关于求解优化问题的迭代法知道，从已 知迭代点出发按照基本迭代公式 X k +1 = X k + t k Pk 来求解 最优化问题， 最优化问题，其关键在于如何构造一个搜索方向和确 定一个步长，使下一迭代点处的目标函数值下降， 定一个步长，使下一迭代点处的目标函数值下降， 即．现在我们来讨论，当搜索方向已经确定的情况下， 现在我们来讨论，当搜索方向已经确定的情况下， 如何来确定步长？步长因子的选取有多种方法， 如何来确定步长？步长因子的选取有多种方法，如取 步长为常数，但这样选取的步长并不最好， 步长为常数，但这样选取的步长并不最好，如何选取 最好步长呢？ 最好步长呢？实际计算通常采用一维搜索来确定最优 步长． 步长．
∇f ( X k +1 ) T Pk = 0
(4.2)
原因：作直线搜索，搜 原因：作直线搜索， 索方向和梯度方向刚好 正交。 正交。
4.1 搜索区间及其确定方法 设一维最优化问题为
第 四 章 一 维 搜 索
0≤t ≤t max
min ϕ (t )
（4.3） ）
下面引入如下的搜索区间概念. 下面引入如下的搜索区间概念 1 1 * * t + t 定义4.1 设 ϕ：R → R ， ∈ [0， ∞)(t ∈ [0，max ]) ，并且 定义
迭代步骤
ϕ 表达式， 已知ϕ (t ) ， ′(t ) 表达式，终止限ε ．
第 四 章 一 维 搜 索
(1) 确定初始搜索区间 [a, b] ，要 求 ϕ '(a) < 0，ϕ '(b) > 0 ． (2) 计算 [a, b] 的中点 c = (a + b) ． (3) 若 ϕ ′(c) < 0 ，则 a = c ，转(4)； ； 若 ϕ ′(c) = 0 ，则 t * = c，转(5)； ； 若 ϕ ′(c) > 0 ，则 b = c ，转(4)． ． (4) ，则 转(5)；否则转 ． ；否则转(2)． 若 | a − b |< ε
4.2 对分法 基本原理
第 四 章 一 维 搜 索
min ϕ (t )
确定一个有限搜索区间 [ a， ] b
a ≤t ≤b
min ϕ (t )
b 设 ϕ：R1 → R1 在已获得的搜索区间 [ a， ] 内具有连续的 一阶导数． 一阶导数．
因为可导
连续
有最小值
令 ϕ ′(t ) = 0，总可求得极小点 t *．
然后用这条切线与横轴交点的横 坐标 t k +1 作为根的新的近似 ,令 令 y = 0 可解出 ϕ ′(t k ) t k +1 = t k − 切线法迭代公式 ϕ ′′(t k ) —Newton切线法迭代公式
迭代步骤
第 四 章 一 维 搜 索
ϕ 表达式， 已知ϕ (t ) ， ′(t ) Hale Waihona Puke Baidu达式，终止限ε ．
有关说明 如果初始点选得适当， 切线法收敛速度很快， 如果初始点选得适当， Newton切线法收敛速度很快， 切线法收敛速度很快 通常只需几次迭代就可以得到满足一般精度要求的结 但其也有缺点． 果，但其也有缺点． 第一，需要求二阶导数．若是多维优化， 第一，需要求二阶导数．若是多维优化，还要涉及 Hesse矩阵． 矩阵． 矩阵 第二，当曲线有较复杂的弯曲时，这种方法也往往失 第二，当曲线有较复杂的弯曲时， 效． 第三，即使曲线比较正常，初始点的选取也必须适当． 第三，即使曲线比较正常，初始点的选取也必须适当．
t 上是单减函数； 不妨设ϕ (t ) 在 (a，* )上是单减函数； * b 上是单增函数． 在 (t ， )上是单增函数．则
ϕ t 当 t ∈ (a，* ) 时， ′(t ) < 0 ，故 ϕ ′(a) < 0；
b 当 t ∈ (t *，) 时， ′(t ) > 0 ，故 ϕ ′(b) > 0 ； ϕ
单谷区间与单谷函数
第 四 章 一 维 搜 索
b 定义4.2 设 ϕ：R 1 → R1 ，闭区间 [a， ] ⊂ R ．若存在 定义 * b t * 上严格递减， b 点 t * ∈ [a， ]，使得 ϕ (t ) 在 [a， ]上严格递减，在 [t ， ]上 b 严格递增， 单谷区间， 严格递增，则称 [ a， ] 是函数ϕ (t ) 的单谷区间， ϕ (t ) 是 [ a， ]上单谷函数． b 单谷函数．
1
对单谷区间和单谷函数的理解 （1）图形特征； ）图形特征； （2）连续形； ）连续形； （3）单谷区间一定是搜索区间。 ）单谷区间一定是搜索区间。
单谷区间和单谷函数有如下有用的性质： 单谷区间和单谷函数有如下有用的性质：
第 四 章 一 维 搜 索
[ b 定理4.1 设 ϕ：R → R ，a， ] 是 ϕ (t )的单谷区间，任取 的单谷区间， 定理 t1，2 ∈ [a，] 并且 t 2 < t1． t b t1 的单谷区间． （1）若有ϕ (t 2 ) ≤ ϕ (t1 ) ，则 [a， ] 是 ϕ (t ) 的单谷区间． ） b 的单谷区间． （2）若有ϕ (t 2 ) ≥ ϕ (t1 ) ，则 [t 2， ] 是 ϕ (t ) 的单谷区间． ） 证明略
若从 X k 出发，沿方向进行一维搜索得极小点 X k +1 = X k + t k Pk 出发， ，则该点处的梯度方向 ∇f ( X k +1 )与搜索方向 Pk 之间应满足
t* = 1 (a + b) 2
1 2
，
(5) 打印 t *，结束． 结束． 说明： 说明：由于每次迭代都取区间 中点，使区间长度缩短一半， 中点，使区间长度缩短一半， 故名曰对分法或二分法。 故名曰对分法或二分法。
4.3 Newton切线法 切线法
第 四 章 一 维 搜 索
基本原理 b 设ϕ : R1 → R1 在已获得的搜索区间 [ a， ] 内具有连续二阶 导数， 导数，求
a = min{t， +1}， b = max{t， +1} tk tk
第 四 章 一 维 搜 索
注意：在加步探索法中， 注意：在加步探索法中，一 般建议α = 2 ．若能估计问题 的最优解的大体位置的话， 的最优解的大体位置的话， 初始点要尽量取接近于问题 的最优解． 的最优解．在具体运用加步 探索法时， 探索法时，有时还要考虑一 些细节问题．例如， 些细节问题．例如，当探索 得到新点处的目标函数值和 出发点处相同时， 出发点处相同时，以及初始 步长应如何选取等， 步长应如何选取等，都需作 适当处理． 适当处理．
加步探索法算法的计算步骤： 加步探索法算法的计算步骤：
第 四 章 一 维 搜 索
+ (1) 选取初始数据．选取初始点 t 0 ∈ [0， ∞)(或t 0 ∈⊂ [0，t max ]) ， 选取初始数据． 计算 ϕ0 = ϕ (t0 ) ．给出初始步长 h0 > 0 ，加步系数 α > 1 ， 令k = 0 ．
要在区间 [0, + ∞] 上选取 t = t k 使 f ( X k +1 ) <
f (X k )
，即
ϕ (t k ) = f ( X k + t k Pk ) < f ( X k ) = ϕ (0)
上面的分析， 上面的分析，实质上是单变量函数 ϕ (t ) 关于变量 t 的 一维搜索选取问题，故通常叫做一维搜索 一维搜索． 一维搜索选取问题，故通常叫做一维搜索．按这种方 最优步长， 又称为最优步长 这种方法的优点是， 法确定的步长 t k 又称为最优步长，这种方法的优点是， 它使目标函数值在搜索方向上下降得最多． 它使目标函数值在搜索方向上下降得最多．
为了简便起见， 为了简便起见，我们用记号
X k +1 = ls ( X k，Pk ) （4.1） ） 表示从点 X k 出发沿 Pk 方向对目标函数 f (X ) 作直线搜索所 得到的极小点是 X k +1 ．
第 四 章 一 维 搜 索
确定的条件下（ ）等价于如下两式： 在目标函数 f (X ) 确定的条件下（4.1）等价于如下两式：
(1) 确定初始搜索区间 [a, b] ，要 求 ϕ '(a) < 0，ϕ '(b) > 0 ． (2) 选定 t 0 ． (3) 计算 t = t0 − ϕ '(t0 ) / ϕ "(t0 ) . (4) 若 | t − t 0 |≥ ε ，则 t 0 = t ，转 ）；否则转 （3）；否则转（5）． ）；否则转（ ）． (5) 打印 t，ϕ (t ) ，结束． 结束．
1 1
定理4.1说明， 定理 说明，经过函数值的 说明 比较可以把单谷区间缩短为一 个较小的单谷区间．换句话说， 个较小的单谷区间．换句话说， 利用这个定理可以把搜索区间 无限缩小， 无限缩小，从而求出极小 以下介绍的几种， 点．以下介绍的几种，一维搜 索方法都是利用这个定理通过 不断地缩短搜索区间的长度， 不断地缩短搜索区间的长度， 来求得一维最优化问题的近似 最优解． 最优解．
a ≤t ≤b
min ϕ (t )
b 上可微， b 同理， 同理，因为ϕ (t ) 在 [ a， ] 上可微，故 ϕ (t ) 在 [ a， ] 上有最小 值，令ϕ ′(t ) = 0 ． b 中经过k次迭代已求得方程 不妨设在区间[ a， ] 中经过 次迭代已求得方程 ϕ ′(t ) = 0 的一个近似根 t k ．过 (t k , ϕ ′(t k )) 作曲线 y = ϕ ′(t ) 的切线， 的切线， 其方程是 y − ϕ ′(t k ) = ϕ ′′(t k )(t − t k ) （4.4）
ϕ (t * ) = min ϕ (t )
0 ≤ t ≤ t max
b + b b 若存在闭区间 [a， ] ⊂ [0， ∞)([a， ] ⊂ [0，t max ]) 使 t * ∈ [a， ] ，则 b 是问题（ 称 [ a， ]是问题（4.3）的搜索区间． ） 搜索区间．
简言之，一个一维最优化问题的搜索区间， 简言之，一个一维最优化问题的搜索区间，就是包含该 问题最优解的一个闭区间．通常，在进行一维搜索时， 问题最优解的一个闭区间．通常，在进行一维搜索时， 一般要先确定出问题的一个搜索区间， 一般要先确定出问题的一个搜索区间，然后在此区间中 进行搜索求解． 进行搜索求解．
ϕ (t0 + h0 ) < ϕ (t0 )
则下一步就从新点 t 0 + h0 出发加大步长，再向前探 出发加大步长， 函数值上升， 索．若目标函数在新点处的 函数值上升，即
ϕ (t 0 + h0 ) > ϕ (t 0 )
则下一步仍以 t 0 为出发点以原步长开始向轴的负方向 同样探索．当达到目标函数上升的点时，就停止探索， 同样探索．当达到目标函数上升的点时，就停止探索， 这时便得到一个搜索区间． 这时便得到一个搜索区间．
(2) 比较目标函数值．令 t k +1 = t k + hk ，计算 ϕ k +1 = ϕ (tk +1 ) ， 比较目标函数值． 若ϕ k +1 < ϕ k ，转(3)．否则转 ．否则转(4)． (3)加大探索步长．令 hk +1 = αhk ，同时，令 t = tk , tk = t k +1 , 加大探索步长． 同时， 加大探索步长 k = k +1 ，转(2)． ． 转换探索方向， （4） 反向探索．若 k = 0 ，转换探索方向，令 hk = −hk , ） 反向探索． t = t k +1 ，转（2）．否则，停止迭代，令 ）．否则 ）．否则，停止迭代， 输出． 输出．
对无约束最优化问题
min f ( X ) n
X ∈R
第 四 章 一 维 搜 索
当已知迭代点 X k 和下降方向 Pk 时，要确定适当的步长 t k 使 f ( X k +1 ) = f ( X k + t k Pk ) 比 f ( X k ) 所下降，即相当于对于 所下降， 参变量 t 的函数
ϕ (t ) = f ( X k + tPk )
下面介绍确定问题搜索区间的法—加步探索法 下面介绍确定问题搜索区间的法 加步探索法
第 四 章 一 维 搜 索
先选定一个初始点和初始步长．然后， 先选定一个初始点和初始步长．然后，沿着轴的正方 向探索前进一个步长，得到新点． 向探索前进一个步长，得到新点．若目标函数在新点 处的值是下降了， 处的值是下降了，即
第一章 Matlab概述 概述
★搜索区间及其确定方法 ★对分法 ★Newton切线法 切线法 ★黄金分割法 ★抛物线插值法
第 四 章 一 维 搜 索
由第一章关于求解优化问题的迭代法知道， 由第一章关于求解优化问题的迭代法知道，从已 知迭代点出发按照基本迭代公式 X k +1 = X k + t k Pk 来求解 最优化问题， 最优化问题，其关键在于如何构造一个搜索方向和确 定一个步长，使下一迭代点处的目标函数值下降， 定一个步长，使下一迭代点处的目标函数值下降， 即．现在我们来讨论，当搜索方向已经确定的情况下， 现在我们来讨论，当搜索方向已经确定的情况下， 如何来确定步长？步长因子的选取有多种方法， 如何来确定步长？步长因子的选取有多种方法，如取 步长为常数，但这样选取的步长并不最好， 步长为常数，但这样选取的步长并不最好，如何选取 最好步长呢？ 最好步长呢？实际计算通常采用一维搜索来确定最优 步长． 步长．
∇f ( X k +1 ) T Pk = 0
(4.2)
原因：作直线搜索，搜 原因：作直线搜索， 索方向和梯度方向刚好 正交。 正交。
4.1 搜索区间及其确定方法 设一维最优化问题为
第 四 章 一 维 搜 索
0≤t ≤t max
min ϕ (t )
（4.3） ）
下面引入如下的搜索区间概念. 下面引入如下的搜索区间概念 1 1 * * t + t 定义4.1 设 ϕ：R → R ， ∈ [0， ∞)(t ∈ [0，max ]) ，并且 定义
迭代步骤
ϕ 表达式， 已知ϕ (t ) ， ′(t ) 表达式，终止限ε ．
第 四 章 一 维 搜 索
(1) 确定初始搜索区间 [a, b] ，要 求 ϕ '(a) < 0，ϕ '(b) > 0 ． (2) 计算 [a, b] 的中点 c = (a + b) ． (3) 若 ϕ ′(c) < 0 ，则 a = c ，转(4)； ； 若 ϕ ′(c) = 0 ，则 t * = c，转(5)； ； 若 ϕ ′(c) > 0 ，则 b = c ，转(4)． ． (4) ，则 转(5)；否则转 ． ；否则转(2)． 若 | a − b |< ε
4.2 对分法 基本原理
第 四 章 一 维 搜 索
min ϕ (t )
确定一个有限搜索区间 [ a， ] b
a ≤t ≤b
min ϕ (t )
b 设 ϕ：R1 → R1 在已获得的搜索区间 [ a， ] 内具有连续的 一阶导数． 一阶导数．
因为可导
连续
有最小值
令 ϕ ′(t ) = 0，总可求得极小点 t *．
然后用这条切线与横轴交点的横 坐标 t k +1 作为根的新的近似 ,令 令 y = 0 可解出 ϕ ′(t k ) t k +1 = t k − 切线法迭代公式 ϕ ′′(t k ) —Newton切线法迭代公式
迭代步骤
第 四 章 一 维 搜 索
ϕ 表达式， 已知ϕ (t ) ， ′(t ) Hale Waihona Puke Baidu达式，终止限ε ．
有关说明 如果初始点选得适当， 切线法收敛速度很快， 如果初始点选得适当， Newton切线法收敛速度很快， 切线法收敛速度很快 通常只需几次迭代就可以得到满足一般精度要求的结 但其也有缺点． 果，但其也有缺点． 第一，需要求二阶导数．若是多维优化， 第一，需要求二阶导数．若是多维优化，还要涉及 Hesse矩阵． 矩阵． 矩阵 第二，当曲线有较复杂的弯曲时，这种方法也往往失 第二，当曲线有较复杂的弯曲时， 效． 第三，即使曲线比较正常，初始点的选取也必须适当． 第三，即使曲线比较正常，初始点的选取也必须适当．
t 上是单减函数； 不妨设ϕ (t ) 在 (a，* )上是单减函数； * b 上是单增函数． 在 (t ， )上是单增函数．则
ϕ t 当 t ∈ (a，* ) 时， ′(t ) < 0 ，故 ϕ ′(a) < 0；
b 当 t ∈ (t *，) 时， ′(t ) > 0 ，故 ϕ ′(b) > 0 ； ϕ
单谷区间与单谷函数
第 四 章 一 维 搜 索
b 定义4.2 设 ϕ：R 1 → R1 ，闭区间 [a， ] ⊂ R ．若存在 定义 * b t * 上严格递减， b 点 t * ∈ [a， ]，使得 ϕ (t ) 在 [a， ]上严格递减，在 [t ， ]上 b 严格递增， 单谷区间， 严格递增，则称 [ a， ] 是函数ϕ (t ) 的单谷区间， ϕ (t ) 是 [ a， ]上单谷函数． b 单谷函数．
1
对单谷区间和单谷函数的理解 （1）图形特征； ）图形特征； （2）连续形； ）连续形； （3）单谷区间一定是搜索区间。 ）单谷区间一定是搜索区间。
单谷区间和单谷函数有如下有用的性质： 单谷区间和单谷函数有如下有用的性质：
第 四 章 一 维 搜 索
[ b 定理4.1 设 ϕ：R → R ，a， ] 是 ϕ (t )的单谷区间，任取 的单谷区间， 定理 t1，2 ∈ [a，] 并且 t 2 < t1． t b t1 的单谷区间． （1）若有ϕ (t 2 ) ≤ ϕ (t1 ) ，则 [a， ] 是 ϕ (t ) 的单谷区间． ） b 的单谷区间． （2）若有ϕ (t 2 ) ≥ ϕ (t1 ) ，则 [t 2， ] 是 ϕ (t ) 的单谷区间． ） 证明略