弹性力学总结与复习思考题

（3） 再让 ）
(2-26)
σ x ,σ y ,τ xy满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
（2-18）
l(σ x )s + m(τ xy )s = X m(σ y )s + l(τ xy )s = Y
us = u vs = v
（2-17） ）
（平面应力情形） （2-23） 平面应力情形） （3）边界条件： ）边界条件：
l(σ x )s + m(τ xy )s = X m(σ y )s + l(τ xy )s = Y
（2-18）
3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 直角坐标下 （1） 先由方程（2-27）求出应力函数： ） 先由方程（ ）求出应力函数：
ห้องสมุดไป่ตู้
∂σ x ∂τ xy + + X =0 ∂x ∂y (2-2) ∂τ yx ∂σ y + +Y = 0 ∂x ∂y
（2）相容方程（形变协调方程） ）相容方程（形变协调方程）
∂2 ∂X ∂Y ∂2 2 + 2 (σ x +σ y ) = −(1+ µ) ∂x + ∂y ∂y ∂x
复习要求
一、范围
第 1~ 6
二、试题形式 概念题； 概念题；计算题 三、其它 考试时间： 考试时间： 考试方式： 考试方式： 闭卷
各章节的复习思考题
第一章 绪 论
材料力学）、 结构力学》课程的异同。 ）、《 （1）《弹性力学》与《材料力学）、《结构力学》课程的异同。 ） 弹性力学》 （从研究对象、研究内容、研究方法等讨论） 从研究对象、研究内容、研究方法等讨论） （2）《弹性力学》中应用了哪些基本假定？ ） 弹性力学》中应用了哪些基本假定？ 这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用是什么？ 这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用是什么？ 举例说明哪些使用了这些基本假定？ 举例说明哪些使用了这些基本假定？ （3）弹性力学中应力分量的正负是如何规定的？与材料力学中有何 ）弹性力学中应力分量的正负是如何规定的？ 不同？ 不同？
《弹性力学》课程总结与复习 弹性力学》
一、弹性力学问题研究的基本框架： 弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量 基本原理 5个基本假设； 个基本假设； 个基本假设 15个基本量： ui ,ε ij,σ ij 个基本量： 个基本量
单元体） 平衡原理 （单元体） 能量原理（整体） 整体） 控制微分方程 （15个） 个 平衡微分方程（ 个 平衡微分方程（3个）： 几何方程（ 个 几何方程（6个）： 物理方程（ 个 物理方程（6个）：
弹 性 力 学 问 题
σ ij, j+Xi = 0
2
ε ij= 1 (ui, j + u j,i )
基本方程
1 εij = (1+ µ)σij − µσ kkδij E
边界条件（ 个 应力边界条件（ 个 边界条件（6个） 应力边界条件（3个）： σ ijnj
[
]
= Xi
位移边界条件（ 个 位移边界条件（3个） ： ui = ui —— 数学上构成偏微分方程的定解问题 数学上构成偏微分方程的 构成偏微分方程的定解问题 求解方法
函数解 求解方法
精确解； 精确解； 近似解； 近似解； 如：基于能量原理的解） 基于能量原理的解） （
数值解（如：有限差分法、有限单元法等） 有限差分法、有限单元法等） 实验方法
二、弹性力学平面问题的求解 平面应力与平面应变） （平面应力与平面应变）
1. 平面问题的求解方法 （1）按未知量的性质分： 的性质分： ） 未知量的性质分 按位移求解； 按位移求解； 按应力求解； 按应力求解； 坐标系分 （2）按采用的坐标系分： ）按采用的坐标系 直角坐标解答； 直角坐标解答； 极坐标解答； 极坐标解答； 初等函数解； 初等函数解； 函数类型分 级数解； （3）按采用的函数类型分： 级数解； ）按采用的函数类型 复变函数解； 复变函数解； 半逆解法； 半逆解法； 逆解法； 逆解法；
2. 平面问题按应力求解的基本方程 （1）平衡方程 ）
说明： 说明： （1）对应力边界问题，且为单连 ）对应力边界问题，且为单连 通问题， 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。 是唯一正确解。 （2）对多连通问题，满足上述方 ） 多连通问题， 程外，还需满足位移单值条 程外，还需满足位移单值条 才是唯一正确解。 件，才是唯一正确解。
（10）何为圣维南原理？其要点是什么？圣维南原理的作用是什么？ ）何为圣维南原理？其要点是什么？圣维南原理的作用是什么？ 如何利用圣维南原理列写边界条件？ 如何利用圣维南原理列写边界条件？ （11）弹性力学问题为超静定问题，试说明之。 ）弹性力学问题为超静定问题，试说明之。 （12）弹性力学问题按位移求解的基本方程有哪些？ ）弹性力学问题按位移求解的基本方程有哪些？ （13）弹性力学平面问题的变形协调方程（相容方程）有哪些形式？ ）弹性力学平面问题的变形协调方程（相容方程）有哪些形式？ 各自的使用条件是什么？ 各自的使用条件是什么？ （14）按应力求解弹性力学问题，为什么除了满足平衡方程、边界条 ）按应力求解弹性力学问题，为什么除了满足平衡方程、 件外，还必须满足变形协调方程（相容方程）？ ）？而按位移求解 件外，还必须满足变形协调方程（相容方程）？而按位移求解 为什么不需要满足变形协调方程？ 为什么不需要满足变形协调方程？ （15）应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件，是否就是问题 ）应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件， 的正确解？为什么？ 的正确解？为什么？ （16）何为逆解法？何为半逆解法？ ）何为逆解法？何为半逆解法？
5. Ritz 法解题步骤： 法解题步骤： （1）假设位移函数，使其满足位移边界条件； ）假设位移函数，使其满足位移边界条件； （2） 计算形变势能 U ； ） 法方程求解待定系数； （3）代入 ）代入Ritz 法方程求解待定系数； （4）回代求解位移、应力等。 ） 代求解位移、应力等。 6. 最小势能原理解题步骤： 最小势能原理解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； ）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算系统的总势能 Π ； ） （3） 由最小势能原理： δ Π=0 ，确定待定系数； 确定待定系数； ） 由最小势能原理： （4）回代求解位移、应力等。 ） 代求解位移、应力等。 在没有给定非零位移边界条件时，应力变分法方程： 在没有给定非零位移边界条件时，应力变分法方程：
位移边界条件： 位移边界条件：
σr ,σθ ,τrθ
为边界上已知位移， ur , uθ为边界上已知位移， kr , kθ 为边界上已知的面力分量。 为边界上已知的面力分量。
三、弹性力学问题求解的能量法
1. 基本概念与基本量 （1）形变势能U ） （1） Ritz 法； ） （2）总势能Π； ） 各量的计算。 各量的计算。 2. 变分方程与变分原理 位移变分方程； 位移变分方程； （1） 虚功方程； ） 虚功方程； 最小势能原理； 最小势能原理； 如何设定位移函数？ 如何设定位移函数？ 如何设定应力函数ϕ ？ 4. 弹性力学两个基本定理 （1）解的唯一性定理； ）解的唯一性定理； （2）功的互等定理； ）功的互等定理； （2）最小势能原理； ）最小势能原理； （3）伽辽金法； ）伽辽金法； 3. 求解弹性力学问题的变分法
第二章 平面问题的基本理论
？（几何 （1）两类平面问题的特点？（几何、受力、应力、应变等）。 ）两类平面问题的特点？（几何、受力、应力、应变等）。 （2）试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。 ）试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。 （3）在建立平面问题基本方程（平衡方程、几何方程）时，作了哪 ）在建立平面问题基本方程（平衡方程、几何方程） 些近似简化处理？其作用是什么？ 些近似简化处理？其作用是什么？ （4）位移分量与应变分量的关系如何？是否有位移就有应变？ ）位移分量与应变分量的关系如何？是否有位移就有应变？ （5）已知位移分量可唯一确定其形变分量，反过来是否也能唯一确 ）已知位移分量可唯一确定其形变分量， 需要什么条件？ 定？需要什么条件？ （6）已知一点的应力分量，如何求任意斜截面的应力、主应力、主 ）已知一点的应力分量，如何求任意斜截面的应力、主应力、 方向？ 方向？ ）、剪应变 ）？如何 （7）什么是线应变（正应变）、剪应变（切应变、角应变）？如何 ）什么是线应变（正应变）、剪应变（切应变、角应变）？ 由一点应变分量求任意方向的线应变、主应变、主应变方向？ 由一点应变分量求任意方向的线应变、主应变、主应变方向？ （8）平面应力与平面应变问题的物理方程有何关系？ ）平面应力与平面应变问题的物理方程有何关系？ （9）边界条件有哪两类？如何列写？ ）边界条件有哪两类？如何列写？
σ y= 0
O x y
b l
τ
x
σ y= f (y)
O
σ y= xf (y)
x
γg
γgy
α
σ y= 0
ρg
ϕ(x, y) =
y
2 2 3
ax + bx y + cxy + dy
3
第四章 平面问题的极坐标解答
（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？ ）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？ 圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等） （圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等） （2）极坐标下弹性力学平面问题的基本方程？ ）极坐标下弹性力学平面问题的基本方程？ 平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程） （平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程） （3）极坐标下弹性力学平面问题的相容方程？ ）极坐标下弹性力学平面问题的相容方程？ （用应变表示的、用应力函数表示的相容方程等） 用应变表示的、用应力函数表示的相容方程等） （4）极坐标下应力分量与应力函数 ϕ 间关系？ 间关系？ ） 边界条件的列写？ （5）极坐标下弹性力学平面问题边界条件的列写？ ）极坐标下弹性力学平面问题边界条件的列写 应力分量、位移分量的特点？ （6）极坐标下轴对称问题应力函数ϕ 、应力分量、位移分量的特点？ ） 力偶、 作用下， 的形式、 （7）楔形体在力偶、集中力、边界分布力作用下，应力函数ϕ 的形式、 ）楔形体在力偶 集中力、边界分布力作用下 应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？
极坐标下 （1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数 ） 由问题的条件求出满足式（ － ）
2 2 2 4
ϕ(r,θ )
（4－6） － ）
∂ 1∂ 1 ∂ ∇ ϕ = 2 + ∂r r ∂r + r2 ∂θ 2 ϕ = 0
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量： ） 由式（ － ）求出相应的应力分量：
∂U∗ =0 ∂Am
四、有限单元法
1. 基本概念 2. 求解步骤 （1）单元分析 ）
（2）整体分析 ）
五、其它问题
（1）一点应力状态分析； ）一点应力状态分析； （2）一点应变状态分析； ）一点应变状态分析； （3）应力边界条件的列写； ）应力边界条件的列写； 圣维南原理的应用） （圣维南原理的应用）
第三章 平面问题的直角坐标解答
（1）直角坐标解答适用于什么情况？ ）直角坐标解答适用于什么情况？ （2）应力函数是否是唯一的？它可确定什么程度？ ）应力函数是否是唯一的？它可确定什么程度？ （3）用应力函数法求解弹性力学问题的基本步骤？ ）用应力函数法求解弹性力学问题的基本步骤？ （4）常体力下应力函数与应力分量间的（直角坐标）关系如何？ ）常体力下应力函数与应力分量间的（直角坐标）关系如何？ 材料力学的结果推出应力函数 的形式？ （5）如何利用材料力学的结果推出应力函数 ϕ 的形式？ ）如何利用材料力学的结果 量纲分析法（ 楔形体问题应力函数 （6）如何利用量纲分析法（因次分析法）确定楔形体问题应力函数 ）如何利用量纲分析法 因次分析法）确定楔形体 ϕ 的幂次数？ 的幂次数？
σr ,σθ ,τrθ
1 ∂ϕ 1 ∂2ϕ + 2 σr = r ∂r r ∂θ 2
（3） 将上述应力分量 ）
∂2ϕ σθ = 2 ∂r
∂ 1 ∂ϕ （4－5） － ） τ rθ = − ∂r r ∂θ
满足问题的边界条件： 满足问题的边界条件：
(ur )s = ur , (uθ )s = uθ l(σr )s + m(τ rθ )s = kr 应力边界条件： 应力边界条件： 位移单值条件） （位移单值条件） l(τ rθ )s + m(σθ )s = kθ
ϕ(x, y)
（2） ）
∂4ϕ ∂4ϕ ∂4ϕ 4 +2 2 2 + 4 = 0 (2-27) ∇ ϕ =0 4 ∂x ∂x ∂y ∂y 代入式（ 然后将 ϕ(x, y) 代入式（2-26）求出应力分量： σ x ,σ y ,τ xy ）求出应力分量：
(
)
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ σx = 2 − Xx σ y = 2 −Yy τ xy = − ∂x∂y ∂y ∂x