边界层分析求解

而该点到壁面之间的距离则是热边界层的厚度,记为
t x
层流：温度呈抛物线 分布
故：湍流换热比层流换热强！
湍流：温度呈幂函数 分布
湍流边界层贴壁处的 温度梯度明显大于层 流
3）速度边界层厚度与热边界层厚度的关系
在同一位置上热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与 流体的普朗特数Pr有关，也就是与流体的热扩散特性和动量 扩散特性的相对大小有关。
当Pr<1时，Pr=υ/a，υ<a，粘性扩散 <热量扩散，速度边 界层厚度<温度边界层厚度。
也可以从公式得出
t x
x
1
Pr
1 3
1.026
u∞ T∞ δt δ
T∞ u∞ δ δt
0
x
0
x
(a)Pr<1
(b)Pr>1
要点：
✓热边界层的边界线将流体的温度场划分为两个区域，只有在
热边界层中才有温度变化，而在热边界层以外可以认为温度梯 度为零，当做等温流动区。
✓对于层流，壁面法线方向热量传递靠导热方式，边界层内温
度分布为抛物线；对于紊流，粘性底层的热量传递靠导热，而 在底层以外的紊流支层，除导热外，主要靠速度脉动引起的对 流混合作用。
✓对于导热系数不高的流体，紊流换热热阻主要取决于粘性底
层的导热过程，边界层的温度梯度在粘性底层最大，而在紊流 支层变化平缓。
(4) 根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的
u 及 t y y0 y y0
c f 和 Nu
课后作业：
⑴常物性、不可压缩流体沿平壁稳定流动边界层动 量积分方程的推导。
x
0
(w
wx
)wxdy
w
⑵常物性、不可压缩流体沿平壁稳定流动边界层能 量积分方程的推导。
d
dx
l 0
(t
t)udy
a
t y
而同时穿过cd面流出的动量为
l u 2dy d ( l u 2dy)dx
0
dx 0
净流出的动量为
u∞ u∞
δ
d ( l u2dy)dx
dx 0
(a)
τw
（2）没有流体穿过固体表面ac。但有流体质点穿过bd面。
根据质量守恒，穿过bd面流入控制容积的质量流量等于流出
cd面与流入ab面的质量流量之差。
边界层厚度=粘性底层+紊流支层
底 =29.4 x 9 w9 1 10 m
紊 =0.37 w x 1 5 4 5 m
紊 x = 0.37 Re1x 5
层 =5.0 xv w 1 2
底 =29.4 x 9 w9 1 10 m
由以上两式可以发现，流体的主流速度w∞越大，层流边 界层厚度δ层以及粘性底层的厚度δ底越薄；x增大时，层流边 界层厚度δ层随x0.5成正比增加，而粘性底层则随x0.1成正比增 加，这表明当x增大时，δ底增加很少。
结果为：
x
5.0
Re
1/ x
2
C f ,x
0.664
Re
1/ x
2
hx
0.332
x
Re1x/ 2
Pr1/ 3
Nux 0.332 Re1x/ 2 Pr1/3
h 0.332 Re1/ 2 Pr1/3
l
式中,Nux=αx/λ为局部努赛尔数，无量纲，其大小反映了局部 换热的程度。
§5-4 边界层积分方程组及其求解
t x
x
1
Pr
1 3
1.026
由此式可以看出，热边界层是否满足薄层性的条件，除了 Re×足够大之外还取决于普朗特数的大小，当普朗特数非常 小时（Pr<<1）,热边界层相对于速度边界层就很厚，反之 则很薄。
普朗特数Pr 的物理意义: 表征流体的热扩散特性和动量扩散特 性的相对大小
当Pr>1时，Pr=υ/a，υ>a，粘性扩散 >热量扩散，速度边 界层厚度>温度边界层厚度。
把边界层从层流过渡到紊流的x值称为临界值，记为xc，
其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即 Re c u xc
流体平行流过平板的 临界雷诺数大约是
Re c 5 105
对于管内的流动运 动，取临界雷诺数 2300
粘性底层：在紊流边界层内，由于紧贴壁面处那一层薄层内 粘滞力甚大，流体仍具有层流的特征。 紊流支层：粘性底层上方称为紊流支层，在该层内粘滞力较 小，流体具有紊流的特点。
u=0.99u∞以内的区域，存在明显速度梯度，称
为边界层区。
热线风速仪
流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性， 在流体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向 上会从壁面处的零速度逐步变化到来流速度。
t∞ u
δt δ
tw
0
x
普朗特通过观察发现，对于低黏度的流体，如水和空气等， 在以较大的流速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发生显 著变化的流体层是非常薄的。
小：空气外掠平板，
u=10m/s：x100mm 1.8mm; x200mm 2.5mm
理论关系式为 ：
层 =5.0 xv w 1 2
层
x =5.0 w x
1 2
5.0 u x
1 2
=5.0
Rex1
2
0
t∞ u
δt δ
tw
x
x
x
5.0 w x
1 2
5.0
Re
1 2
要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度(即 x x)，也1
p dp
x dx
（u u v u ) p 2u
x y x y2
由上式：
dp dx
u
du dx
p ~ 0( )
y
可视为边界层的又一特性
u v 0 x y
u
u x
v
u y
1
dp dx
2u y 2
u
t x
v
t y
a
2t y 2
层流边界层对流 换热微分方程组：
3个方程、3个未
知量：u、v、t， 方程封闭
u v 0
(a)
x y
1
1
（u
u x
v
u ) y
p x
(
2u x 2
2u y 2
)
(b)
1（1 1 1 ） 1
（1 1 ）
12 2
（u
v x
v
v y
)
p y
(
2v x 2
2v y 2
)
(c)
1（1 ） 1
（2
12
） 2
u v 0 x y
（u
u x
v
u y
)
p x
2u y 2
边界层厚度： ~ 0( ); t ~ 0( )
b.其他量的数量级导出
x 与 l 相当，即： x ~ l ~ 0(1);
0 y y ~ 0( ) u沿边界层厚度由0到u: u ~ u ~ 0(1) 由连续性方程： v u ~ u ~ 0(1)
y x l
v ~ 0( )
注意：0(1)、0()表示数量级为1和 ，1>> 。 “~” — 相当于
l
流入ab面的质量流量为: udy 0
流出cd面的质量流量:
l
udy
d
(
l
udy)dx
0
dx 0
于是穿过bd面流入控制容积的质量流量为:
d
(
l
udy)dx
dx 0
相应带入控制体的动量（略去u∞ 沿x变化引入的高阶导数项）为
udx
d dx
(
l 0
udy)
(b)
根据动量定律，在x方向上的动量 变化必须等于x方向上作用在控制 体表面上外力的代数和。
惯性力
指当物体加速时，惯性会使物体有保持原有运动状态的 倾向，若是以该物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相 反的力作用在该物体上，因此称之为惯性力。因为惯性力实 际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因 此惯性力又称为假想力。
惯性系:相对于地球静止或作匀速直线运动的物体. 非惯性系:相对地面惯性系做加速运动的物体.
u∞ δ
τw
由于在边界层内y方向上的流 速很小，因此推导中只考虑x 方向上的动量变化，不引入 流速v。
u∞ u∞
δ
图中给出了速度的分布曲线。
τw
在距壁面y处流速为u，在y≥δ
处u=u∞。
先计算单位时间内出入控制容积的动量之差。为此计算以 下各项：
（1）穿过控制面ab进入控制容积的动量为
l u 2dy 0
就是所R说e的边1界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够的
大,即
因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷 诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或 在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。
3) 临界雷诺数
随着x的增大，δ（x）也逐步增大，同时黏性力对流场的
控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。
一.用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想
(1) 建立边界层积分方程 针对包括固体边界及边界层外 边界在内的有限大小的控制容积；
(2) 对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函数 形式为多项式；
(3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将
速度分布和温度分布带入积分方程，解出 和 的计t 算式；
如果配上相应的 定解条件，则可 以求解
dp dx
u
du dx
若 du 0，则dp 0
dx
dx
三、外掠平板层流换热边界层微分方程式分析解简述
微分方程：
u v 0 x y
边界条件：
(u u v u ) 2u
x y
y2
c p
u
t x
v
t y
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2t y 2
u |y0 0, v |y0 0,t |y0 tw u |y u,t |y t u const
2. 热（温度）边界层（Thermal boundary layer）
1）定义
当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t∞不相等
时，在壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为 热边界层。
Tw
2）热边界层厚度
当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的
0.99倍时，即 (tw t) /(tw t， )此位0.9置9就是边界层的外边缘，
流型：层流和紊流
3.引入边界层概念的意义
缩小计算区域。对对流换热问题的研究可集中在边界 层区域内 边界层内的流动与换热可以利用边界层的特点进一步 简化
二、数量级分析与边界层微分方程
1.数量级分析(order of magnitude)
1)定义:比较方程中各量或各项的量级的相对大小；保留量 级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化
§15-3 边界层微分方程组的解
边界层的概念是1904年德国科学 家普朗特提出的。 （Boundary layer） 一. 边界层
1.流动边界层
1）定义
垂直于壁面的方向上流体 流速发生显著变化的流体 薄层定义为流动边界层。
在离平壁前端x处用热线风速仪，测得沿壁面
方向方向上各点的流速，这一分布呈现类似抛 物线型。在u=0.99u∞ 处以外的流体，可以认为 不受流体粘性的影响，称其为主流区。而
|y0
二、边界层动量积分方程
边界层动量积分方程是把动量定律应用于一个控制容积导 出的。取常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对流为对象 作分析。
在流体中划出如图的控制容 积，包括dx一段边界层，而 z方向为单位长度。控制容 积左侧面为ab，右侧面为 cd，顶面为bd，底面为壁 面的ac部分，即取 ac为dx。
4) 要点
• (1) 边界层厚度δ 与壁的定型尺寸L相比极小，δ << L • (2) 边界层内存在较大的速度梯度 • (3) 边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁面 处仍有层流特征，粘性底层（层流底层） • (4) 流场可以划分为边界层区与主流区（纵向） • 层流边界段：Re数很小，粘性力占优势，忽略惯性力 • 过度边界段： Re数处于之间，粘性力和惯性力相当 • 紊流边界段：Re数很大，惯性力主导，忽略粘性力
0
t∞ u
δt δ
tw
x
其一是边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共 同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是势流区，这里 流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想流体流动， 也就是势流流动。
2）边界层的厚度
当速度变化达到 u u 时0.9的9空间位置为速度边界层的外边
缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度 x
2)实例分析 例：二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力的 对流换热为例
u v 0 x y
(u
u x
v
u y
)
p x
(
2u x2
2u y 2
)
(u
v x
v
v y
)
p y
(
2v x2
2v y 2
)
cp u
t x
v
t y
2t x2
2t y 2
a.定义5个基本量的数量级
主流速度：u ~ 0(1); 温度： t ~ 0(1); 壁面特征长度： l ~ 0(1);
c（p u
t x
v t ) y
(
2t x 2
2t y 2
)
(d)
1（1 1 1
1） （ 1
12
1）
2
c（ p u
t x
v
t y
)
2t y 2
p ~ 0( )
y
p ~ 0(1) x
表明：边界层内的压力梯度仅沿 x 方向变化，而边界层
内法向的压力梯度极小。
边界层内任一截面压力与 y 无关而等于主流压力
边界层内：平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大 满足牛顿粘性定律：
w y
式中：τ——粘滞力，N/m2; μ——动力粘度, kg/(m·s)
在速度边界层内存在较大的速度梯度，因此粘滞力也 较大。由于粘滞力的牵制，在这一边界层内流体微团只 能沿着壁面平行地分层流动，称为层流边界层。
流体流过固体壁面的流场就 人为地分成两个不同的区域。