现代控制理论7-状态反馈[1]

2. 输出反馈对系统性能影响
（1）输出至参考输入的反馈不改变系统的可控 性和可观性。
（2）输出至状态微分的反馈不改变系统的可观 性，但可能改变系统的可控性。
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三、极点配置
控制系统性能
闭环极点 在[S]平面的位置
性能指标 转换成 期望极点 系统设计 极点重新配置
极点配置：
通过选择状态反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰 好配置在[s]平面上所期望的位置，以获得所希望的动 态性能。
用状态反馈进行极点配置的设计方法：
已知期望极点
求状态反馈增 益K
设计步骤：
（1） 分析系统（A,b,c）的可控性； （2） 根据期望极点λi，计算希望特征多项式，
(s − λ1)(s − λ2 )L(s − λn ) = sn + an*−1sn−1 + L + a1*s + a0* = 0
（3） 计算 sI − (A − bk) （4） 两式系数对应相等，求出K
古典控制理论中，根轨迹法是一种极点配置方法：
通过改变一个参数使闭环系统的极点沿着某一 组特定的根轨迹曲线配置。
Root Locus 0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Axis
G(s) = k s(s +1)
k =0→∞
闭环极点S1， S2在[s]上的位置
例 u
5 (s + 5)
1 (s + 1)
1y s
希望极点：λ1,2 = −1± j2 λ3 = −10
四、状态反馈对系统性能影响分析
1 状态反馈对传递函数零点影响：
开环可控可观：
x& = Ax + bu y = Cx
[ ] [ ] ⎡ 0 1 ⎤
A
=
⎢ ⎣
−a0
−
a1
⎥ ⎦
b
=
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
C = c1
古典控制方法，无法实现闭环极点的任意配置。
状态反馈：
x& = Ax + bu y = Cx
设A，b为可控标准型
引入状态反馈： x& = (A − bk)x + bv
⎡0
1
0L
0⎤
⎢ ⎢
0
0
1
⎥ ⎥
A − bk = ⎢ ⎢ ⎢
O
⎥
1
⎥ ⎥
⎢⎣−(a0 + k1) −(a1 + k2 ) L
−(an−1 + kn )⎥⎦
可观
A
−
bk
=
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
−
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
[1
0]
=
⎡0 ⎢⎣0
1⎤ 0⎥⎦
rank[b
(A
+
bk)b]
=
rank
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
=
2
可控
rank
⎡ ⎢⎣c(A
c +
⎤ bk)⎥⎦
=
rank
⎡0 ⎢⎣0
1⎤ 0⎥⎦
=
1
不可观
W(s) = C(sI − A)−1 B
= [0
1]⎢⎣⎡−s1
−1⎤−1 ⎡0⎤
s
⎥ ⎦
⎢⎣1⎥⎦
=
s s2 −1
W′(s) = C[sI − A + BK]−1 B
= [0
1]⎢⎣⎡0s
−1⎤−1 ⎡0⎤ s ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
=
s s2
=
1 s
极点：1、-1 极点：0、0
【结论】
1只要开环系统可控，引入状态反馈后，闭环系统 状态仍可控；
1如果开环系统可观，引入状态反馈后，有可能破 坏系统状态可观性；
特征方程：
开环： 闭环：
sI − A = sn + an−1sn−1 +L + a1s + a0 = 0
sI − (A − bk) = sn + (an−1 + kn )sn−1 + L+ (a1 + k2 )s + (a0 + k1)
=0
（1）
设希望极点： λi (i = 1, 2,L, n)
实数极点或者共轭复 数极点
传递函数矩阵：
GH (s) = C(sI − A + HC)−1B
状态反馈
输出反馈至 参考输入
输出反馈至 状态微分
x& = (A − BK)x + Bv x& = (A - BFC)x + Bv x& = (A - HC)x + Bu
【说明】
（1） 三种反馈结构的共同点，不增加新的状态 变量，系统开环与闭环同维。
(s − λ1)(s − λ2 )L(s − λn ) = sn + an*−1sn−1 + L + a1*s + a0*
（2）
（1）式和（2）式系数对应相等：
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪
a*0 = a0 + k1 a*1 = a1 + k2
M
⎪⎩a*n−1 = an−1 + kn
ai已知 λi已知，求出 a*i
证明： （1）A，b,C可观，则AT，CT，bT可控 因而可以任意配置 ⎡⎣ AT − CT H T ⎤⎦ 的特征值
（2）[ A − HC]T = ⎡⎣ AT − CT H T ⎤⎦
因此，可以任意配置 A − HC 的极点。
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2. 输出反馈
输出反馈至参考输入：
输出反馈: u = v − Fy F－ r×m输出反馈增益矩阵
x& = Ax + B(v − Fy) y = Cx = (A - BFC)x + Bv
传递函数矩阵： GH (s) = C(sI − A + BFC)−1B
比较
r×n
状态反馈 闭环系统：
Imaginary Axis Imaginary Axis
Root Locus 2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Real Axis
G(s) = k(s + 3) s(s +1)
增加开环零点 z1=-3，可以改变闭 环 极 点 在 [s] 上 的 位 置，从而改善闭环 0 系统动态性能。
对系统 Σ＝(A,B,C)，采用状态反馈能镇定的充 分必要条件是其不可控部分是渐近稳定的。
3 状态反馈对系统稳态性能影响：
开环传函： G(s) = 1 s2
稳态误差： 二型系统，对于阶跃、斜坡输入，其稳态误差都
为0。
引入状态反馈：
开环传函：
G(s)H (s) =
1 s
1 s + k2
k1
一型系统
引入状态反馈有可能改变系统类型。
(3) 引入状态反馈后，输出方程没有变化。
1
对于单输入系统：
K = [k1 k2 L kn ] 实数阵
⎡ x1 ⎤
u = v − Kx = v − [k1
k2
L
k
n
]
⎢ ⎢ ⎢
x2 M
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎣
x
n
⎥ ⎦
= v − ( k1 x1 + k2 x2 + K + kn xn )
x& = (A − bK)x + bv y = Cx
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输出反馈至状态微分：
x& = Ax + Bu - Hy y = Cx = (A - HC)x + bu
[A - HC] －－闭环系数阵
⎡ H1 ⎤
反馈阵H： H
=
⎢ ⎢
H
2
⎥ ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎣
H
n
⎥ ⎦
【定理】：
对系统(A,b,C)，要想通过输出反馈进行任意 配置极点的充要条件是系统可观。
x& = (A − bk)x + bv y = Cx
设A，b为可控标准型
⎡0 1 0 L 0 ⎤
⎢ ⎢
0
01
⎥ ⎥
A=⎢
O
⎥
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
⎢⎣−a0 −a1 L
−an−1 ⎥⎦
⎡0⎤
⎢ ⎢
M
⎥ ⎥
b=⎢ ⎥
⎢⎢ 0
⎥ ⎥
⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎡0
⎢ ⎢
0
A − bK = ⎢
⎢
⎢
⎢⎣−a0
1 0
−a1
0L 1
传递函数矩阵： Gk (s) = C(sI − A + BK)−1B
【说明】
(1) 加入状态反馈后， A
A－BK
[A − BK] 是闭环系统状态方程的系数阵。
即开环系统(A,B,C)与闭环系统((A-BK),B,C).
(2) 状态反馈的引入并不增加系统的维数，但是通过 K的选择，可以自由的改变闭环系统的特征值。
状态反馈：
将系统的每一个状态变量乘以相应的系数，反馈到 输入端，与参考输入相减形成控制律，作为受控系统的 输入。
状态反馈中系统的控制量U：
u = v − Kx
其中：v－r维参考输入向量 K－r×n状态反馈增益矩阵
x& = Ax + Bu 状态反馈 y = Cx
x& = (A − BK)x + Bv y = Cx
输出——参考输入 反馈闭环系统
⎩⎨y = Cx
m<n
u = v FCx
r×m
¾K相当于FC；H的选择自由度远小于K； ¾输出反馈只相当于一部分状态反馈； ¾输出反馈效果低于状态反馈，但方便实现。
输出反馈至状态微分：
H－ n×m反馈增益矩阵
x& = Ax + Bu - Hy y = Cx = (A - HC)x + bu
x& (t
)
=
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
x(t)
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
u(t
)
y(t) = [0 1] x(t)
[ ] 引入状态反馈后：k = 1 0 判断闭环系统的可控可观性。
rank[b
Ab]
=
rank
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
=
2
可控
rank
⎡c⎤ ⎢⎣cA⎥⎦
=
rank
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 1⎥⎦
=
2
c2
K = k1 k2
开环：
G(s)
=
C [sI
−
]A −1
b
=
s2
c2s + c1 + a1s + a0
闭环：
G(s) = C [sI − (A − bk ]) −1 b =
c2s + c1 s2 + (a1 + k2 )s + (a0 + k1)
【说明】
引入状态反馈后只改变闭环极点，不影响系统零 点位置。闭环系统零点与开环系统零点相同；
O
L
0⎤
⎥ ⎡0
⎥⎢
⎥−⎢
1
⎥ ⎥
−an−1 ⎥⎦
⎢ ⎢⎣k1
O 0
k2 L
⎤
⎥
⎥
⎥
kn
⎥ ⎦
⎡0
1
0L
0⎤
⎢ ⎢
0
0
1
⎥ ⎥
=⎢
O
⎥
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
⎢⎣−(a0 + k1) −(a1 + k2 ) L
−(an−1 + kn )⎥⎦
A − bK 阵仍然是友阵。[A − bK],b 仍然是可控标准型。
例
（2） 反馈增益阵都是常矩阵，反馈为线性反馈。
（3）状态反馈与输出反馈都可以改变状态的系 数矩阵，从而改变闭环系统的特征值(闭环极点)， 使系统获得所要求的性能，但是输出反馈只相当 于部分状态反馈。
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二、反馈结构对系统性能的影响
1. 引入状态反馈对系统可控、可观性影响
x& = Ax + bu 状态反馈K y = Cx
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模型 反馈
设计
经典控制理论 传递函数 输出 校正
【问题】 状态变量：
可测量的 不可测量的
现代控制理论 状态空间描述 输出、状态 综合
传感器测量 状态观测器
一、线性定常系统的反馈结构
1. 状态反馈
x& = Ax + Bu y = Cx
其中：x－n维，u－r维，y－m维 A－n×n, B－n×r, C－m×n,
四、输出反馈
输出反馈至参考输入：
输出反馈: u = v − Fy
x& = Ax + B(v − Fy) y = Cx = (A - BFC)x + Bv
【定理】：
对完全可控的单输入单输出系统（A，b，c）， 不能采用输出反馈来实现闭环系统极点的任意配置。
闭环传函：
GH
(s)
=
C
(sI
−
A
+
bFC)−1b
=
1
Go (s) + FGo (s)
其中：
Go (s) = C(sI − A)−1b
根轨迹方程Go(s)已知时，以F为参变量，可求得闭环系统的一 组根轨迹。那么，不管怎样选择F，也不能使根轨迹落在 那些不属于根轨迹的期望极点上。
不能实现极点的任意配置，是输出线性反馈的弱点。 为了克服这个弱点，在经典控制理论中，采取附加校正网 络，通过增加开环零、极点来改变根轨迹走向，从而使其 落在指定的期望位置上。
2 状态反馈对系统稳定性影响：
系统稳定是控制系统正常工作的必要条件。状态 反馈和输出反馈都能影响的稳定性。
系统镇定：
是对被控系统 Σ＝(A,B,C)通过反馈使其极点都具 有负实部，保证系统渐近稳定，则称系统镇定。如果 通过状态反馈能使系统渐近稳定，则称系统是状态反 馈能镇定的。
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【定理】
求出对应的状态反馈： k = [k1 k2 L kn ]
任意选择k实现极点任意配置的充分必要条件：
开环系统可控。
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期望极点的选取：
1 对一个n维控制系统，必须给定n个期望极点；
2 n个期望极点可以是实数或者复数，但是如 果为复数时，必须以共轭复数出现，及物理上 是可以实现的；
3 选取期望极点，要根据极点对系统品质的影 响，以及它们与零点分布情况来考虑。