按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现

按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现

一、DIT-FFT算法的基本原理

基2FFT算法的基本思想是把原始的N点序列依次分解成一系列短序列，充分利用旋转因子

的周期性和对称性，分别求出这些短序列对应的DFT，再进行适当的组合，得到原N点序列

的DFT，最终达到减少运算次数，提高运算速度的目的。

按时间抽取的基2FFT算法，先是将N点输入序列x(n)在时域按奇偶次序分解成2个N/2点序列

x1(n)和x2(n)，再分别进行DFT运算，求出与之对应的X1(k)和X2(k)，然后利用图1所示的运算流程进行蝶形运算，得到原N点序列的DFT。只要N是2的整数次幕，这种分解

就可一直进行下去，直到其DFT就是本身的1点时域序列。

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图1 DIT-FFT蝶形运算流图

二、DIT-FFT算法的运算规律及编程思想

1•原位计算

对N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。在同一级中，每个蝶的输入数据只对本蝶有用，且输出节点与输入节点在同一水平线上，这就意味着每算完一个蝶后，所得数据可立即存入原输入数据所占用的数组元素(存储单元)，经过M级运算后，原来

存放输入序列数据的N个存储单元中可依次存放X(k)的N个值，这种原位(址)计算的方法可

节省大量内存。

2•旋转因子的变化规律

3

N = 8 = 2时各级的旋转因子:

第一级：L=1, 有1个旋转因

子：

W N=W N/4=W2L J=0

第二级：L=2, 有2个旋转因子：W

N=W

N/2

=w；J=0,1

第三

级：L=3, 有4个旋转因子：W

N=W N=W J L J=0,1,2,3

对于N= 2的一般情况，第L级共有21个不同的旋转因子:

W N=W；L J=0,1,2,…，2L-1- 1

N点DIT—FFT运算流图中，每个蝶形都要乘以旋转因子W N，p称为旋转因子的指数。例如2L=2M X2L-M L-M

故：按照上面两式可以确定第L级运算的旋转因子

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3、同一级中，同一旋转因子对应蝶形数目

第L级FFT运算中，同一旋转因子用在2M-L个蝶形中；

4、同一级中，蝶形运算使用相同旋转因子之间相隔的“距离”

第L级中，蝶距：D=2L；

5、同一蝶形运算两输入数据的距离

在输入倒序，输出原序的FFT变换中，第L级的每一个蝶形的2个输入数据相距：B=2L-1。

6、码位颠倒

输入序列x(n)经过M级时域奇、偶抽选后，输出序列X(k)的顺序和输入序列的顺序关

系为倒位关系。

将十进制顺序数用I表示，与之对应的二进制是用IB表示，十进制倒序数用J表示，与之对

应的二进制是用JB表示。十进制顺序数I增加1,相当于IB最低位加1且逢2向高位进1，即相当于JB最高位加1且逢2向低位进1。JB的变化规律反映到J的变化分为两种情况，若JB的最高位是0 (J

的运算。l=J时不需要交换，只对l

2。

7、蝶形运算的规律

序列经过时域抽选后，存入数组中，如果蝶形运算的两个输入数据相距B个点，应用原位计算，蝶形运算可表示成如下形式：

p=J X2M-L, J=0,1,2,…,2L-1—1

& DIT-FFT程序框图

根据DIT-FFT原理和过程，DIT-FFT的完整程序框图如图2:

(1)倒序:输入自然顺序序列x(n),根据倒序规律，进行倒序处理；

⑵循环层1:确定运算的级数，L=1~M (N=2M);确定一蝶形两输入数据距离B=2L-1

⑶循环层2:确定L 级的B=2L 1个旋转因子；旋转因子指数 p=Jx 2M L , J=0~B-1；

为2L (使用同一旋转因子的蝶形相距的距离 )

(5)完成一个蝶形运算。

送入x(n), M

L = 1M

X(k) X(k) X(k B)W NP X(k B) X(k) X(k B)W NP

图3 DIT-FFT 的完整程序框图

三、程序源代码

设计函数myDitFFT(xn)

完成一个序列的 DIT-FFT 运算:

fun cti on y=myDitFFT(x n)

M=n extpow2(le ngth(x n));

N=2A M; disp('调用fft 函数运算的结果:'),

fftxn=fft(x n, N); if len gth(x n)

xn=[x n,zeros(1,N-le ngth(x n))]; end

for m=0:N/2-1;

%旋转因子指数范围

WN(m+1)=exp(-j*2*pi/Nfm; %计算旋转因子

end

(4)循环层3:对于同一旋转因子，用于同一级

2M-L

个蝶形运算中：k 的取值从J 到N-1，步长 J=0B- 1

p = 2 —Lj

图2数据倒序程序框图

k =J ,N - 1 ,L 2