自动控制原理胡寿松第2章 控制系统的数学模型

K
*
i 1
(s p j )
j 1
K
*

b0 a0
称为传递系数或根轨迹增益；
称为传递函数零点；
zi p
j
称为传递函数极点。
C ( s) R( s ) b0 s
m n
传递函数写成因子连乘积的形式（频率法使用）：
G ( s) b1 s
m 1 n 1
bm 1 s bm a n 1 s a n
( x1 0 , x2 0 )
( x 2 x 20 )
( x1 0 , x2 0 )
增量线性方程： y K1 x1 K 2 x 2
2-2 控制系统的复数域数学模型—传递函数
时域中的数学模型 微分方程
特点：
微分方程直观，准确；但不适于高阶系统；系统结构 或参数变化时，需重新编写和求解微分方程，不便于 系统的分析设计。 复数域数学模型 传递函数 特点： 传递函数不仅表征系统动态特性，还可以研究系统结 构或参数变化对性能的影响，使分析和设计工作大为 简化。
2、建立恰当的数学描述 3、非线性环节的处理
四、实际工程应用中建立模型的一般步骤
1、把各部件尽可能地作线性化处理； 2、建立线性化的系统模型（近似模型）； 3、求系统的近似特性； 4、建立更复杂的模型，得到更精确的特性。 五、经典控制理论中控制系统模型描述方法
1、微分方程 1、机理分析法
2、实验辩识法
2、建立输入—输出时间函数描述的方法 ⑴分析系统的工作原理，作合理的假设； ⑵确定系统的输入量和输出量（必要时需考虑扰动 量），并根据需要引入一些中间变量； ⑶根据物理或化学定律写描述系统运动的方程； （常用定律：基尔霍夫定律、牛顿定律、热力学定 律、能量守恒定律） ⑷消去中间变量求出描述系统输入输出关系的微分 方程，即元件的数学模型。
2
f
dx(t ) dt
Kx(t ) F (t )
可以发现，不同类型的元件或系统可具有形式相同
的数学模型。这些系统统称为相似系统。 相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。
建立线性系统的输入—输出时间描述函数
1、建立的目的：确定被控制量与给定输入或扰动之间的 关系，为分析和设计创造条件。
消去中间变量 令以下的参数为：
Tm
m
(iTm K 1 K 2 K 3 K m K t )
(i K 1 K 2 K 3 K m K t )
Kg
K1 K 2 K 3 K m
(i K1 K 2 K 3 K m K t )
Kg
K1 K 2 K 3 K m
(i K1 K 2 K 3 K m K t )
• 速度控制系统的微分方程
R2
R2 R1
ui R
1
m
u2
ua

R1
-k1
u1
C
-Hale Waihona Puke Baidu2
SM
负 载
ut
TG
系统输出 系统输入参考量
ui
控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运
放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机
运放1
运放2 功放
u1 K1 (ui ut ) K1ue
KC
KC
(i K 1 K 2 K 3 K m K t )
整理得控制系统数学模型（微分方程）为：
Tm d dt Kg dui dt K g ui K C M C
3.线性系统的性质：
具有可加性： f 1 ( t ) y 1 ( t )
f 2 (t ) y 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) y1 (t ) y 2 (t )
5. 非线性元件微分方程的线性化
实际的物理元件都存在一定的非线性，例如 弹簧弹性系数 K 实际是位移的函数 K (x) ，并非 常值；电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关， 并非常值；电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会 使运动方程复杂化而成为非线性方程。
y
小偏差线性化法 （切线法） y
将非线性函数在平衡点附近
传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的数学 模型。 频率法、根轨迹法就是以传递函数为基础的。 1、传递函数的定义与性质
定义：线性系统在零状态时，输出量的拉氏变换与输
入量的拉氏变换之比，记为G（s）。
设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：
a0 d dt
n n
c(t ) a1
m
d dt
n 1
A
0
k
y f (x)
展开成泰勒级数，再去掉高
次项便得到线性函数。
x0
x
设连续变化的非线性函数为 A为平衡状态 工作点，对应： y0 f ( x0 ) , 当 有
y f (x)
y f (x)
x x0 x , y y0 y
在平衡状态A点运用泰勒级数展开为:
2 df ( x) 1 d f ( x) (x x ) 2 y f ( x) f ( x 0 ) ( x x0 ) 0 dx x 2! dx 2 x0 0
i(t )dt i (t ) C C
2
duo (t ) dt
LC
d u0 (t ) dt
2
RC
duo (t ) dt
uo (t ) ui (t )
这是一个二阶线性微分方程，也是RLC串联电路的时域 数学模型。
• 弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）机械位移系统
求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动 方程。 设系统已处于平衡状态，相对于初始状态的位 移、速度、加速度分别为：
线性系统的数学模型
控制系统数学模型概述 一、为什么要建立控制系统的数学模型？ 1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要 2、是寻找一个较好的控制规律的需要 二、什么是控制系统的数学模型？ 描述控制系统中各变量之间相互关系的数学表达式 三、如何建立数学模型？
1、提出合理的假设，忽略次要因数，抓住本质。
2、传递函数的零点与极点
传递函数写成因式分解形式（根轨迹法使用）：
G(s) C ( s) R( s ) b0 s
m n
b1 s
m 1 n 1
bm 1 s bm a n 1 s a n (s z i )
n m
a0 s
a1 s

b0 ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) a 0 ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
当增量很小时，略去高次幂：
df ( x) y y 0 f ( x) f ( x 0 ) ( x x0 ) dx x0
y K x
具有两个自变量的非线性函数的线性化
f ( x1 , x 2 ) y f ( x1 , x 2 ) f ( x10 , x 20 ) x1 f ( x1 , x 2 ) x 2 ( x1 x10 )
2、传递函数
六、建立控制系统数学模型的一般方法
学习本课程，不必过分追求数学论证上的严密性，但 一定要注意数学结论的准确性与物理概念的明晰性。
第2章 控制系统的数学模型
本章主要内容与重点 控制系统的时域数学模型 控制系统的复域数学模型 控制系统的结构图
本章主要内容
本章介绍了建立 控制系统数学模型和 简化的相关知识。包 括线性定常系统微分 方程的建立、非线性 系统的线性化方法、 传递函数概念与应用、 方框图及其等效变换、 梅逊公式的应用等。
n 1
c(t ) a n 1
m 1
d dt
c(t ) a n c(t ) d dt
b0
d dt
m
r (t ) b1
d dt
m 1
r (t ) bm 1
r (t ) bm r (t )
在零初始条件下，由传递函数的定义得：
G( s) C (s) R( s) b0 s
du0 (t ) dt
u0 (t ) ui (t )
零初始条件下，对方程两边进行拉氏变换：
( LCs RCs 1)U 0 ( s ) U i ( s )
2
G( s)
U 0 ( s) U i ( s)

1 LCs RCs 1
2
传递函数的性质
（1）因果系统的传递函数是s 的有理真分式函数， 具有复变函数的性质。 （2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与 输入信号的形式无关也不反映系统内部的任何信息。
2-1 控制系统的时域数学模型
本节着重研究线性、定常、集总参数控制系统的 微分方程建立和求解。
1.线性元件的微分方程 电气元件组成的系统（电路系统）
L
ui
R
i（t）
C
uo
由基尔霍夫定律有：
L
di (t ) dt
1
i (t )dt Ri (t ) u (t ) C
i
1
uo (t )
本章重点
通过本章学习，应 着重了解控制系统数学 模型的基本知识，熟练 掌握建立线性定常系统 微分方程的建立、传递 函数的概念和应用知识 、控制系统方框图的构 成和等效变换方法、典 型闭环控制系统的传递 函数的基本概念和梅逊 公式的应用。
要电路分析或设计自动控制系统，首先需建 立系统的数学模型。 所谓数学模型，就是描述系统各变量之间相 互关系的数学表达式。如时域中的微分方程 控制系统数学模型形式较多，时域中常用的 有微分方程、差分方程；复数域中有传递函数、 结构图；频域中有频率特性。
m n
b1 s
m 1 n 1
bm 1 s bm a n 1 s a n

M ( s) N ( s)
a 0 s a1 s
例1：试求：P6 RLC 串联无源网络的传递函数：
G ( s)
2
U 0 (s) U i (s)
LC
d u0 (t ) dt
2
RC
du1 dt
,
K1
R2 R1
K2 R2 R1
u 2 K 2 (
u1 )
,
R1C ,
u a K 3u 2
Tm d m dt m K mua K C M C
直流电动机
减速器（齿轮系） 测速发电机

1 i
m
ut K t
ut u1 u 2 ua
F 2 kx ( t )
是弹簧弹力。
整理得其数学模型为： 2 d x dx m f Kx F 2 dt dt
比较 R-L-C电路运动方程与 S-M-D机械系统运动方程
LC d u0 (t ) dt
2
2 2
RC
du0 (t ) dt
u0 (t ) ui (t )
m
d x(t ) dt
均匀性（齐次性）： f ( t ) y ( t ) 1 1
Af 1 ( t ) Ay 1 ( t )
4.线性定常微分方程求解方法
直接求解法：通解+特解 自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应） 变换域求解法：Laplace 变换方法
拉氏变换法求解线性微分方程步骤： ⑴考虑初始条件，对微分方程每一项进行拉氏变换， 将微分方程转换为变量s的代数方程； ⑵由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式； ⑶对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的 时域表达式，即为所求微分方程的解。
2.控制系统微分方程的建立
基本步骤：
（1）由系统原理图画出系统方框图，直接确定系统中
各个基本部件（元件）；
（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注 意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载 效应； （3）消去中间变量,整理，合并得出系统的输出量（被
控量）和输入量（参据量+扰动）之间的微分方程。
R(s )
G(s)
C (s )
（3）传递函数与微分方程可相互转换。
d dt
s
（4）传递函数
应
g (t )
G (s ) 的Laplace反变换是系统的脉冲响
。
1 1 1 1
g ( t ) L [ C ( s )] L [ G ( s ) R ( s )] L [ G ( s ) 1 ] L [ G ( s )]
dx ( t ) x ( t )、 d x (t ) 、 dt
2
dt
2
。
F (t )
k
m
x(t )
f
根据牛顿第二定律有：
m
d x(t ) dt
2
2
F (t ) F1 (t ) F2 (t ) dx (t ) dt kx(t )
F (t ) f
f
为阻尼系数，F1 f v f dx / dt 是阻尼力；