2007统计学第五章

第五章 概率与概率分布

§1 随机事件及其概率

一、随机事件的几个基本概念

确定现象：在一定条件下必然出现某种结果。

随机现象：在一定条件下，可能出现的结果不止一种，且不能事断定会出现那种

结果。

随机试验：对客观随机现象的观察，满足三个条件：

（1） 相同条件下可重复；

（2） 所有可能的结果已知，且不止一种结果； （3） 试验前，不能断定哪种结果出现。

基本事件：随机试验的每一种可能的结果。 样本空间：所有基本事件构成的集合，记为Ω.

事件： Ω的子集。由若干基本事件构成的集合，记为A,B,C,….

不可能事件：Φ

必然事件： Ω

注意不可能事件和概率为0的事件的区别，必然事件和概率为1的事件的区别。

事件可以运算，且运算律与集合相同。

对立事件：如果Ω⊆A ，则A A \Ω=称为A 的对立事件。 不相容事件：如果Φ=⋂B A ，则称A 与B 互为不相容事件。

二、事件的概率

概率是对事件发生的可能性大小的一种测度，记为)(A P . 古典定义：

事件的个数

样本空间所包含的基本数

所包含的基本事件的个事件A A P =

)(

该定义对随机试验有两个基本假定： （1） 样本空间有限；

（2） 基本事件发生的可能性完全相同。

如抛掷均匀的骰子，均匀的硬币等。

统计定义（试验概率）

在可进行重复试验的条件下，用试验中各种结果出现的频率来估计对应事件的概率。如，产品合格率。

主观概率

人们利用知识或经验对一个事件发生的可能性大小的判断。如对第二天股市大盘走势的判断。个股的涨跌等。

概率的数学定义：设E 是随机试验，Ω是它的样本空间。对于E 的每一事件，赋予一个实数，记为)(A P 。如果集合函数)(•P 满足下列条件： 1） 对每一事件A ，有0)(≥A P ； 2） 1)(=ΩP ；

3） 设Λ,,21A A 两两互不相容，则有 ΛΛ++=⋃)()()(2121A P A P A A P ， 则称)(A P 为事件A 的概率。

三、关于概率计算的几个例子

例5.1 某钢铁公司所属三个厂的职工人数如下表：

某钢铁公司所属企业职工人数 单位：人

从该公司中随机抽取一人，问： （1） 该职工为男性的概率？

（2） 该职工为炼钢厂职工的概率？

例5.2 某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该月的第一天用电量超过指标的概率。

例5.3 在例5.2中若第二个月采取了节措施，预计超过用电指标的概率将大大降低。因此上一个月超过用电指标的概率就不适用了。要预计下一个月第一天用电量超过指标的概率要请该厂管理用电的工程师根据采用节电措施后的情况进行预测。该工程师根据该厂过去的用电情况和采用节电措施后可以节电的程度判断，用电超过指标的概率为10%，这就属于主观概率。

§2 概率的性质与运算规则 一、概率的性质：见数学定义

二、概率的运算规则：与集合运算律相同，略。

例5.4利用例5.1的资料，随机抽取一名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂的概率。

)()()(B P A P B A P +=⋃

例5.5 设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读，问成年人中有百分之几至少读一种报纸。

)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃

三、条件概率与相互独立事件

条件概率：一个事件发生条件下另一事件发生的概率，记为)|(A B P .

例5.6 100件产品中，有80件正品，20件次品；而80件正品中有50件一等品，30件二等品。现从这100件产品中任取1件，用A 表示“取到一等品”，B 表示“取到正品”，求

P （A ）及P （A|B ）。 条件概率的数学定义：)

()

()|(A P AB P A B P =

概率的乘法公式：)()|()()|()(B P B A P A P A B P AB P ==

例5.7 设有1000件产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，2件都是次品的概率是多少？

相互独立事件：设A,B 为两个随机事件，如果

)()()(B P A P AB P =

则称A,B 相互独立。

实际工作中，往往先根据专业知识确定两个事件是否有关系（独立），然后利用上式计算两个事件的交的概率。

如 A: 男同学

B: 来自信管一班 则)()()(B P A P AB P =

例5.8 某工人同时看管三台机床，每单位时间（如30分钟）机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8， 丙机床为0.85。若机床是自动机床且独立工作（三台机床能同时进行工作），求：（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率；（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，而丙机床需要看管的概率。

四、全概率公式及贝叶斯公式

1． 全概率公式

设n 个事件n A A A Λ,,21互不相容，0)(>i A P ，,,,2,1n i Λ=且

n A A A B ⋃⋃⋃⊂Λ21，则

∑==n

i i i A P A B P B P 1

)()|()(

例5.9 某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床的次品率分别为：5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总产量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

B:次品 1A :甲车床 2A :乙车床 3A :丙车床

2． 贝叶斯公式

设n 个事件n A A A Λ,,21互不相容，0)(>i A P ，,,,2,1n i Λ=且

n A A A B ⋃⋃⋃⊂Λ21，则

∑==

n

i i

i

i i i A P A B P A P A B P B A P 1

)

()|()

()|()|(.

贝叶斯公式的用途是：如果导致事件B 发生的所有可能原因有n A A A Λ,,21，则在事件B 发生后，可用该公式帮助人们确定引起事件B 发生的最可能原因。

例5.10 在例5.9中，如果取到的一件产品是次品，分别求这一次品是由甲、乙、丙生产的概率。

B:次品 1A :甲车床 2A :乙车床 3A :丙车床

§3 离散型随机变量及其分布

一、随机变量的概念

前面我们已经将到什么是随机试验。

随机试验的例子随处可见，如从某厂生产的袋装白糖中任意抽取一袋，检测其重量；从一批同种产品中随机抽取一件，检测其是否合格；抛掷一枚硬币，观察是出现正面还是反面。

随机试验的结果可能是数值，也可能不是数值，如： 从一批产品中随机抽取一件，结果可能是：正品或次品； 抛掷一枚硬币，结果可能是：正面或反面；

掷一枚骰子，可能出现的点数为：1，2，3，4，5，6；

检测一袋标重为500克的白糖，实际重量可能介于490到510克之间。