线代习题一答案 周勇朱砾版 新版

0 0 -a-b-c
2c
b-a-c 2c
a+b+c 2b r1 / (a+b+c) c-a-b
（ a+b+c ）
111 2b b-a-c 2b 2c 2c c-a-b
r2 -2br1 r3 -2cr1
111 0 -a-b-c 0 =（a+b+c）3 0 0 -a-b-c
-2 2 -4 0 4 -1 3 5 （ 6 ） 3 1 -2 -3 2051
由对应项系数相等可知：
−(x1 + x2 + x3 ) = 0，
即
x1 + x2 + x3 = 0，
因此
x1 x2 x3
x1 +x2 +x3 x1+x2 +x3 x1+x2 +x3
x3 x1 x2 r1 +r2 +r3 x3
x1
x2 =0
x2 x3 x1
x2
x3
x1
（2）在此四阶行列式中，能出现 x3 的因子的项只有 a12a21a33a44 ，由于行标排列已是自然
［（1324）=1，［（,1342）=2，所以含有 a11 a23 的项分别为- a11 a23 a32 a44 和 a11 a23 a34 a42 。
4、 解： （1）
4 12 1 20 10 5 2 0 11
4
0 -7 2 -4
-7 2 -4
2 r1-4r2 1 2Leabharlann Baidu
0
2 按第一列展开 - -15
r2 − r1 rn − r1
n
∑ xi − m x2 ... xn
i =1
n
0 − m ... xn ... ... ... ...
∑ = (−m)n−1( i=1 xi − m)
0 0 ... − m
1 2 3 ... n-1 n 1 -1 0 ... 0 0
n(n +1) 2 3 ... n-1 n 2 0 -1 0 ... 0 0
习题一
《线性代数》（周勇）习题详解
1、
2
（1）
1 == 2× 2 −1×（−1）= 5;
−1 2
x −1 （2） x2
x2
1 +x
+1
=
(
x
−1) (x2
+
x
+ 1)
−1
x2
=
x³
−
x²
−1；
ab
(3)
a2
b2 = ab² − a²b ；
111 (4) 3 1 4 = 1×1× 5 +1× 4×8 +1× 3× 9 −1×1× 8 −1× 3× 5 − 4× 9×1 = 5
231
2、 解：
（1）对排列 34215 而言，3 与 2,1 分列构成一个逆序，4 与 2,1 也分别构成一个逆序，2 与
1 也构成一个逆序，所以τ（34215）= 5 .
（2）对排列 4312 而言，4 与 3,1,2 分别构成一个逆序，3 与 1,2 也分别构成一个逆序，所
以τ（4312）= 5 .
895
0 a 0 (5) b 0 c =0× 0 × 0+a× c× 0+b× d × 0-0× 0 × 0-a× b × 0-c× d× 0=0
0 d 0
1 2 3 (6) 3 1 2 =1× 1× 1+2× 2 × 2+3× 3× 3-3× 2 × 1-2× 3 × 1-2× 3 × 1=18
b c -e
0 2e 按第一列展开 -abdf 2c 0 =4abcdef
-b c e
r2 +r1 r3 +r1
adf 0 0
0 2e 2c 0
（
4
）
a10 0 -1 b 1 0 0 -1 c 1 0 0 -1 d
r1 +ar2
0 ab+1 a 0 -1 b 1 0 0 -1 c 1 0 0 -1 d
排列，故只需判断列表排列的逆序数，即［（2134）=1，所以 a12a21a33a44 的符号为负，因此 x3 的系数是-1.
（3）由定理 4,1 可知，
a b c1
a 0c1
cba1
c0a1
a14 +a 24 +a34 +a 44
=1a14 +1a24 +1a34 +1a44 = d b
c 1 c2 -bc4
（4）对排列 1 3…（2n-1）（2n）…4 2 而言，3 与 2 构成一个逆序，其逆序数为 1；5 与 4,2 分别构成一个逆序，其逆序数为 2；…；2n-1 分别于 2n-2,2n-4，…,4,2 分别构成一个 逆序，其逆序数为 n-1；2n-2 分别于 2n-4，…，4,2 构成一个逆序，其逆序数为 n-2；依次 类推，4 与 2 也构成一个逆序，其逆序数为 1，因此有：
x-a 0 0 0 0 x-a 0 0
... ... ... ... 0 0 ... x-a 0 1111 1
7、（1）
x1-m x2 ... xn
Dn
=
x 1
...
x -m 2
...
x n
... ... ...
x1 x2 ,,,,,,xn -m
n
∑ x1 − m x2 ... xn
i =1 n
∑ c1+c2 +,,,+cn x1 − m x2 − m ... xn i =1 n ∑ x1 − m x2 ... xn − m i =1
2
20
r1 +7r3
0 r3 +10r2 0 -15 2 -20
1 1 7 r2 +15r3
7
01 1 7
0 9 45
- 0 17 85
按第一列展开 − 9
45
=0
1 1 7
17 85
（2）
011 101 1 1 1 111
1
3 1 1
1
301
0 c1+c2 +c3 +c4 3 1 0
（3）对排列 n（n-1）…2 1 而言 n 与 n-1，n-2，…,2,1 均构成一个逆序，其逆序数为 n-1； n-1 与 n-2，n-3，…，2,1 也分别构成一个逆序，其逆序数为 n-2；依次类推，2 与 1 也构 成一个逆序，因此有
τ［（n n −1）…2×1］=（n −1）+（n − 2）+…+ 2 +1 = n(n −1) 2
r1 / (b-a) r2 / (b-a)
(b-a)2
a 1
b+a 2
= (a-b)3
按第3行展开
ab-a2 b2 -a2 b-a 2b-2a
（2）
a2 （a+1）2 （a+2）2 （a+3）2 b2 （b+1）2 （b+2）2 （b+3）2 c2 （c+1）2 （c+2）2 （c+3）2 d2 （d+1）2 （d+2）2 （d+3）2
=0
d0c1
abd1
a0d1
（4）由定理 4,1 可知
xa a aa axaa a an1+an2 +，，+ann = ... ... ... ... aaax a 1111 1
r1 -arn rn-1 -arn
x-a 0 0 按第n列展开 0 x-a 0
... ... ... 0 0 ，，x-a
=（x-a）n-1
cc24 --cc11 c3 -c1
a2 2a+1 4a+4 6a+9 b2 2b+1 4b+4 6b+9 c2 2c+1 4c+4 6c+9 d2 2d+1 4d+4 6d+9
c3 -2c2 c4 -3c2
a2 2a+1 2 b2 2b+1 2 c2 2c+1 2 d2 2d+1 2
6
a2 2a+1 2
... ... ... 2 2 2 ... n 1× 2 × …(n-2)=-2(n-2)!
-1 0 0 ... 0
2 2 ... 2
2 2 2 ... 2
rr13--rr22 0
0 1 ... 2 0 1 ... 2 按第1行展开 ... ... ... =-2 ×
rn -r2 ... ... ... 0 0 0，，n-2
0
311
1
3 1 1
1 r2 -r1 0 -1 1
1 r3-r1 0 0 -1
0
00 0
1 1 0 =3 × (-1) × (-1) × -1
(-1)=-3
-ab ac ae (3) bd - cd de
bf cf - ef
r1 / a r2 / d r3 / f
-b c e adf b - c e
6、
（ 1 ） 因 为 x1 ， x2 ， x3 是 方 程 式 x3 +px+q=0 的 3 个 根 ， 那 么 它 们 三 个 必 然 满 足
（x-x1）(x-x2
)(x-x 3
)=0
，将其展开得
x3 -（x1 +x2 +x3）x2 +（x2x3 +x1x2 +x1x3）x-x1x2x3 =0 。
(ad − bc)n
(4)
1 1 1 ... 1 1
1+a1 1 ... 1
1 Dn = ...
1+a2 ... 1 ... ... ...
0 1+a1 1 ... 1 1
01
=
1+a2 ... 1 1
... ... ... ... ...
1
1 ... 1+an 0 1 1 ... 1+ an−1 1
c2 +c1 c3 -2c1
-2 0 0 0
3 -5 5
4 3 -5 5
3 4 -8 -3 按第1行展开 -2 4 -8 -3 c1-2c2
2211
2 1 1 c2 -c3
7 -10 5 7 -10
-2 10 -5 -3 按第3行展开 -2 10 -5 =-270 0 01
1 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 2 2 3 ... 2 （7） ... ... ...
0 0 ... n-2
a 0 ... 0 1
0 a ... 0 0
(8)
... ... ...
0 0 ... a 0
1 0 ... 0 a
按第1行展开
a 0 ... 0 0
0 ... 0 1
... ... ...
a
0 0 ... a 0
+（-1）n+1 × 1 × a ... 0 0
= an + (−1)n+1 × (−1)(n−1)+1 ×1×1
0 ... a 0
0 0 ... 0 a
a ... ... ... 0 ...
0 ... = a n +（-1）2n+1a n-2 = a n -a n-2
a
5、 证明： （1）
a2 ab b2 2a a+b 2b 11 1
c2 -c1 c3 -c2
a2 ab-a2 b2 -a2 2a b-a 2b-2a 100
τ［1 （3 2n −1）（2n）…4 2］ = 1+ 2 +…+（n −1）+（n −1）+（n − 2）+…+1 = （n n −1）
3、 解：
在四阶行列式中，含因子 a11 a23 的项只有两类，分别为 a11 a23 a32 a44 和 a11 a23 a34 a42 ，
下面分别判断这两项的符号，因行标排列已经是自然排列，故只需计算排列的逆序数，因为
按第一列展开 (−1)2+1 × (−1) × (−1)
ab+1 a -1 c 0 -1
0
ab+1 a
1 r3 -dr2 -1 c
d
d -cd-1
0
ab+1 a
1 按第3列展开 (−1)2+3 ×1×
d
d
-cd-1 =abcd+ab+ad
+cd+1
a-b-c 2a 2a
a+b+c a+b+c
（ 5 ） 0 -a-b-c 0 r1+r2 +r3 2b
-1 0 ... 0 0
（-1）n+（1 xn +a1xn-1 +...+an-1x+an）.x..
-1 ... 0 ... ...
0 ...
0 0 ... x -1
=（-1）n+（1 xn +a1xn-1 +...+an-1x+an）×（-1）n-1
= xn +a1xn-1 +...+an-1x+an
2
2
a
b
O
N
(3) Dn =
ab cd
按第一列展开
N
O
c
d
a
b0
0
O
N
a
ab
a
cd
+ (−1)2n+1c
O a
N
O
c
c
d0
N
0
0d
c
0d
b0 N b
d O d0
按第2n-1列展开
adD2n−2 − c(−1)(2n−1)+1bD2n−2 = (ad − bc) D2n−2 = (ad − bc)2 D2n−4 =,,,= (ad − bc)n−1 D2 =
(2) Dn = 0 2 -2 ... 0 0 ... ... ... ... ...
c1 +c2 +,,,+cn
0 0 0 ... n −11− n
0 2 -2 ... 0 0
... ... ... ... ... ...
0
0 0, , n −11− n
=
n(n −1) ×(−1)×(−2)×...×(1− n) = (−1)n−1 (n +1)!
6
b2 2b+1 2
6 c4 -3c3 c2 2c+1 2
6
d2 2d+1 2
0 0
=0
0 0
（3）
x -1 0 ... 0 0
0 x -1 ... 0 0
... ... ... ...
...
...
c1
+xc2
+x
2c3
+...+xn-2cn-1
+x
c n-1 n
0 0 0 ... x -1
an an-1 an-2 ... a2 x+a1
x+（-x） 0+x2 +（-x2）
... ... 0+xn-1 +（-xn-1） an +an-1x+，，+a1xn-1 +xn
-1 0 ... 0 0 x -1 ... 0 0 ... ... ... ... ... 按第一列展开 0 0 ... x -1
an-1 an-2... a2 x+a1