光学原理 第四章 光场的二阶相干性基础

= A12 + A22 + K ( A12 + A22 ) cos Δϕ 令 I 0 = I12 + I 22 = A12 + A22
I = I0 (1 + V cos Δϕ )
▲ 决定可见度的因素：
振幅比， 光源的单色性， 光源的宽度
3
定义:
V
=
I max I max
− Imin + Imin
描述干涉花样的强弱对比
• τ是波列的持续时间，也叫相干时间。表 明相干时间τ 和光源的频谱宽度Δν两者 之间成倒数关系，等幅时间谐波的持续时 间越长，即相干时间越长，光源的频谱宽 度就越窄，它的光谱就越纯，光源的单色 性就越好。
可以看出，以单位频率划分，处于中心频率v0 附近的光谱分量最大，两个离中心频率最近的 零点对应的光频设为v1和v2，由此得到
对于普通光源，光源内有非常多的原子，
这些原子的发光远不是同步的，
这是因为在这些光源内原子处于激发态时，
它向低能级的跃迁完全是自发的，
各原子的各次发光完全是独立的，互不相关的。
它们每次何时发光是完全不确定的。
也就是各个原子各次发光，发光频率、
振动方向、彼此位相差是不确定的，
出现干涉现象的概率太小了。 普
• 单色光波
波列的持续时间− ∞ < t < ∞ ， 也就是说τ →∞
可见持续时间τ 为无限的等幅光振动只含有单一的频率成 份。也就是说，理想的单色波在时间上应是无界的，其频 带无限窄。
• 准单色光波
单色光只是一个理论上的概念，在实际上它是不存在的。 有一类光波，称为准单色光，其特性接近单色光，它的频 谱宽度Δν与中心频率ν 0 之比满足条件
E2
ν = (E2 − E1)/ h E1
● ●
●
●
0 − 1.5eV − 3.4eV
− 13.6eV
由上面的叙述，原子每一次发光所持续的时间， 是有限的而且很短，同时所发射电磁波能量也是 有限的，两个能级之差， 所以一个原子每一次发光就只能发出一段长度有限， 频率一定和振动方向一定的光波 这样一段光波称作一个波列
=
2 A1 A2 ( A12 + A2 2 )
2
可见度与振幅比的关系：
● 若 A1 = A2
I min = 0
I max = 2 A1
∴ V = 1 条纹最清楚
● 若 A1 ≠ A2
∴ V < 1 条纹可见度差
● 若 A1 → 0
I max ≈ I min
∴V ≈0
条纹模糊不 清，不可分辨
4
I I1 = I2 4I1
Imax = ( A1 + A2 )2
Imin = ( A1 − A2 )2
=
( A1 + ( A1 +
A2 )2 − ( A1 − A2 )2 A2 )2 + ( A1 − A2 )2
=
1
2⎜⎝⎛ + ⎜⎝⎛
A1 A1
A2 A2
⎟⎠⎞ ⎟⎠⎞
2
V
=
2 1+
⎛⎜⎝ ⎛⎜⎝
A1 A1
A2 A2
⎞⎟⎠ ⎞⎟⎠ 2
波列
E∞
E3
●
0 − 1.5eV
波列长L = τ c
E2
ν = (E2 − E1)/ h E1
●
●
●
− 3.4eV − 13.6eV
一个原子经过一次发光跃迁后， 还可以再次被激发到较高的能级， 因而又可以再次发光，因此原子发光都是断续。 上面讨论的是一个原子发光。
波列 E∞ E3
波列长L = τ c
也可定义两列波能发生干涉的最大光程差叫相干长度。
相干长度—
δM
=
jM λ
=
λ2 Δλ
λ ：中心波长
3、时间相干性的频谱表征
1、等幅光振动的频谱分析 • 发光原子发出的一个波列可以用有一定
持续时间的等幅光振动来描述。 • 设在振动的持续时间内的波列，若只考
虑光波场的时间函数部分，则可将它表 示为
• 定义上述等幅谐波f(t)的频谱宽度
=
λ Δλ
λ >> Δλ
jM >> 1
与 jM 对应的光程差
δ max =
jM
(λ
+
Δλ 2
)
=
λ Δλ
(λ
+
Δλ 2
)
(
jM
+ 1)(λ
−
Δλ ) 2
=
(λ Δλ
+ 1)(λ
−
Δλ ) 2
≈ λ2 Δλ
δ max
≈
λ2 Δλ
相干长度（Coherent Length），由光 源的单色性决定的、产生可见度不 为零的、干涉条纹的最大光程差
第四章
光场的二阶相干性基础
分波阵面法干涉
44--11
本章内容
Contents
4.1 光的时间相干性 4.2 准单色光的干涉 4.3 光的空间相干性 4.4 二阶相干性的基本描述 4.5 典型相干实验的数学描述 4.6 准单色条件
1、相干性的宏观现象
当用不同波长的光照明单孔，或使用多色光的点光源时，则 通过和参加干涉的两光束中，各个波长均会各自产生一组干 涉条纹，由于条纹的间距与波长成正比，各组干涉条纹的间 距也不同。干涉场中各点的总光强就应是各个单色图样的强 度之和。
)
=
(
jM
+ 1)(λ
−
Δλ 2
)
jM 级的条纹可见度为零
λ >> Δλ
jM
=
λ Δλ
−
1 2
小结：
两个普通的光源不能构成相干光源。 分子或原子发光特点： （1）间歇性
分子或原子每次发光的时间极短，约10-8 秒。发出 一段有限长的光波，称为波列。每次的发光时间、振动 方向、相位均不确定。 （2）独立性
• 对于空间中的某一固定点，通过它的两个光波列的相关 程度，即它们通过这一点时最长能有多长时间是相干的 与光源的相干性质有关，这一相干性质也就是光源的时 间相干性。
• 两列光波经过该点时最长的重叠时间即相干时间τc 、两 列光波最大的重叠长度即相干长度 Lc 、光源的光谱宽度 Δν 都取决于光源中发光原子发出波列时一次持续的时 间。
E∞
E3
●
E2
ν = (E2 − E1)/ h
E1
●
●
●
0 − 1.5eV − 3.4eV
− 13.6eV
在跃迁过程中，电子向外发射电磁波， 这一电磁波所携带的能量就是电子减少的能量
这一跃迁过程所经历的时间是很短的，约为 10－8
秒当，发射的电磁波的波长在可见光范围内， 就是原子发光过程——这就是原子的发光机理
• 通过某固定点相叠加的两个光扰动，干涉的效果从时 间上来说取决于来自同一波列上两个不同时刻由光源 产生的扰动之间的相关性；从空间上来说取决于同一 波列上两个不同位置光振动的相位关联，即光波场在 纵方向上两点的相位关联，实际上也就反应了光波场 在时间上的相关特性。
• 一个光源发出的光波场的时间相干性的好坏通常就用 光源的相干时间τ c 、相干长度Lc 和光谱宽度Δν (或Δλ )这三个量之一去衡量，相干时间越长，或相 干长度越长，或光谱宽度越窄，则光波场的时间相干 性就越好，反之时间相干性就越差。
• 光波能够具有的最大重叠部分的长度就称为光波的相干 长度
• 这里也看到当两束光发生干涉时，只有在光程差小于光 源的相干长度时才能有可观察的干涉花样出现。
• 例如有一个光源光谱的宽度Δν = 1.5×104 MHz，Lc ≈ 2 cm。因此，若在迈克耳逊干涉仪中用这样的光作光 源，当h = 0时，条纹的可见度为 1，h由 0 开始增大时条 纹的可见度就随之下降，当h >1cm 时，完全观察不到干 涉花样，可见度变为 0，这时由同一波列在振幅分割后 形成的两列次波不再有重迭部分。
相干长度和波列长度之间的关系
b1
a·1P
c1
S1 b1
·a1
a2P
S
c1 S
S1
a2
b2
c2
S2 b2
c2 S2
能干涉
不能干涉
a1 和a2经过不同的路程能再相 a1 和a2经过不同的路程不能再
遇，能干涉
相遇，不能干涉
只有同一波列分成的两部分，经过不同的路程再 相遇时，才能发生干涉。
相干条件：波列长度
不同分子或原子激发发光是彼此独立的，它们发出的 波列的振动方向和初相位具有随机性。
迭加处位相差Δϕ“瞬息万变”，因此来自两个独立光 源的两束光，迭加后无干涉现象。
将一点光源发出的光分成两束，即将每个分子或原子
发出的每一个波列都一分为二，这样分出的两束光满足相
干条件，称相干光，该光源称为相干光源。
jM
1、光谱分布为矩形函数的准单色光的干涉
光源中所有频率成份的光产生的总干涉光强度为
由于Δν << ν ，所以上式中的余弦函数相对于它前面 的sinc函数来说是快变函数，所以式中的sinc函数是振幅 包络，据此，可见度函数为
>102
高压汞灯 白光
546
1
550
300
一些光源的相干长度
<10-4 <10-6
12
2、相干时间（Coherent Time）
光通过波列长度所需时间（或相干长度通过考察点所 需时间）叫相干时间。
相干时间 —
τ
=
δm c
光波场的时间相干性和 光源的单色性紧密相关
时或间相相干干时性间τ的（0好波坏列，延就续是时用间相）干的长长度短δ来m衡（量波的列。长度）
Δl
=
mD nd
Δλ
准单色光
Δλ << 1 λ
干涉条纹的可见度（对比度，反衬度）(Contrast)
光的谱宽、偏振的退化和初始相位的不确定等因素也会影响 条纹的明显程度。
I Imax
1
Imax Imin
X
▲ I = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos Δϕ
V
=
2 A1 A2 ( A12 + A2 2 )
-4π -2π 0 2π 4π Δϕ
可见度好 (V = 1)
I I1 ≠ I2
Imax Imin
-4π -2π 0 2π 4π Δϕ 可见度I差 (V < 1)
Imax= Imin
-4π -2π 0 2π 4π Δϕ
可见度最差 (V =0)
2、时间相干性宏观表现
光源的非单色性对干涉条纹的影响 1、理想的单色光 2、准单色光、谱线宽度
Δy
=
j
r0 d
Δλ
当λ + Δλ / 2 的
合成光强
第 j 级条纹和
λ − Δλ / 2 的第
0 0 1 1 2 2 3 3 4 45 56
λ + (Δλ/2) λ - (Δλ/2)
x
j+1 级条纹重 合时，条纹不 可分辨。
设能分辨的干涉明纹最大级次为jM ，则应有：
δ max
=
jM (λ +
Δλ 2
光的单色性好，相干长度和相干时间就长，时间相干性 也就好，我们就可以观察到干涉级较大的条纹。
13
分波阵面法干涉
44--22
讨论：
• 雨过天晴，马路边上的积水上有油膜，太 阳照射过去，当油膜较薄时呈现出彩色， 解释为什么油膜较厚时彩色消失。
本节要讨论的内容是如果该光源发出有一定谱宽的准单 色光，那么在观察屏上将会有什么样的光强分布和可见 度函数。
• 准单色光振动表示为
A (t)是一个慢变函数，它作为振幅的包络调制了一个频率为ν 0的振动。与Δν相比,ν0 具有很大的值，只有在准单色光的 条件下才能应用振幅包络的概念来描述光振动。
4、时间相干性的描述
• 虽然 A’’B’、 B’’C’ 等可能有重迭部分，但由于 A、B、C 等大量的波列之间相位关系是随机的，没有固定的联 系，有的波之间相长，有的波之间相消，就总的平均效 果来说不能形成干涉花样。
6
能量最低的状态
E∞
称作基态，
E3
●
其它能量较高的
E2
状态称作激发
态。
E1
●
●
●
0 − 1.5eV − 3.4eV
− 13.6eV
一般情况下，原子处于低能级的激发态或基态， 由于外界的激励，如原子的碰撞，外界的辐射 等， 使得原子处于较高能级的激发态。 处于激发态的原子是不稳定的， 它会自发地回到低能级的激发态或基态， 这一过程称作电子跃迁
λ 、ν
准单色光：在某个中心波长（频率）附近有一定波长
（频率）范围的光。
I0 I 谱线宽度： I0
2
谱线宽度
Δλ
0
λ0 λ
5
原子的发光机理
光源发光是光源中大量的分子或原子进行的
微观过程，最基本发光单元是分子、原子
原子物理告诉原子由原子核和核外电子组成，
电子绕核运动，但电子的能量是不连续的，
电子处于一些分立的能量状态，
至少等于 相干长度
L
= δ max
=
λ2 Δλ
10
1、相干长度和波列长度之间的关系
一个原子一次发光只能发出一段长度有限、频率一定、振 动方向一定的光波(波列）。
l
光波列长度
l =τ ×c
9
光源 He-Ne激光
Lc
=
λ2 Δλ
平均波长 (nm)
线宽Δλ (nm)
633
10-3~10-4
相干长度Lc (m)
这些能量称为能级，如氢原子的能级图
E∞
0
E3
− 1.5eV
E2
− 3.4eV
E1
− 13.6eV
造成谱线宽度的原因：
● 自然宽度（有能级的宽度造成）
Ej
·
ΔEj ν
Δν
=
ΔEi
+ ΔE j h
Ei
•
ΔEi
● 多普勒增宽
Δν ∝ v，
v ↑ → Δν ↑
● 碰撞增宽
Δν ∝ z ∝ p (T一定) ， p↑ → Δν ↑
通
·
光
·
源
独立(不同原子发的光)
即使同一原子不同次发光，也不能保证 这些波列的频率，振动方向都相同， 而且位相差也不可能保持恒定， 因此，也就不可能产生干涉现象。
普
通
·
光
·
独立(不同原子发的光)
源
独立(同一原子先后发的光)
设 为λ光源的波长
Δλ为谱线的宽度
杨氏干涉
Q
y
=
j
r0 dΒιβλιοθήκη Baidu
λ
I
j 级条纹宽度