(完整版)高中常见数学模型案例

高中常见数学模型案例

中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，数学建模是数学学

习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的

价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问

题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种：

一、函数模型

用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在

处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形

式表示出来，建立起一个函数关系(数学模型)，然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。

1、正比例、反比例函数问题

例1:某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让

利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x与按新价让利总额y 之间的函数关系是_____________ 。

分析：欲求货物数x与按新价让利总额y之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。

若设新价为b,则售价为b( 1 -20%),因为原价为a,所以进价为a (1 - 25%)

5 解：依题意，有b(1 0.2) a(1 0.25) b(1 0.2)0.25 化简得b a，所以

4

5 a

y 0.2bx a 0.2 x，即y x, x N

4 4

2、一次函数问题

例2:某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h 的速度返回A地，把汽车离开A地的路x ( km)表示为时间t ( h)的函数，并画出函数的图像。

分析：根据路程=速度X时间，可得出路程x和时间t得函数关系式x (t);同样，可

列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量，从B地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。

解：汽车离开A 地的距离x km 与时间t h之间的关系式是：

60t,t [0,2.5]

x 150,t (2.5,3.5] ，图略。

150 50(t 3.5),t (3.5,6.5]

60,t [0,2.5)

速度vkm/h与时间t h的函数关系式是：v 0,t [2.5,3.5)，图略。

50,t [3.5,6.5)

3、二次函数问题

例3 :有L米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出

窗框面积的最大值。

解：设小矩形长为 x ，宽为y ，则由图形条件可得：11x x 9y l

••• 9y l (11 )x

要使窗所通过的光线最多，即要窗框面积最大，则:

可见，一般的设自变量为x ,函数为y ,并用x 表示各相关量，然后根据问题已知条件， 运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关系式， 将实际问题转化为数学

问题，实现问题的数学化，也就是建立数学模型。

二、数列模型

数列模型有增长率问题和银行中的储蓄与贷款问题。 在高一年级教材中就有这类数学问

题，下面以一个例题来分析银行中的数学建模问题。

例4:某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息，如果 贷款10000元，两年还清，月利率为 0.4575%，那么每月应还多少钱呢？

分析与假设：按照规定，偿还贷款既要偿还本金，还要支付利息。在上述问题中，到贷 款两年（即24个月）付清时，10000元贷款的本金与它的利息之和是多少呢？引导学生通 过填表来回答：

通过对例子的分析，与学生交流使学生认识到： 到期偿还贷款的含义即各月所付款连同

到贷款付清时所生利息之和， 等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和，

计算每月应付款额。

x 1.004575 x

23

24

1.004575 x 10000 1.004575

可以发现，上述等式是一个关于

x 的一次方程，且等号左边括号内是一个首项为 1,公

比为1.004575的等比数列的前 24项的和，于是：

2

x c

s

6xy 2

-[lx (11 )x 2

] 3

44

(x

44

21

)2

21 3(44

)

•••当 x 2— 时，y

44

I (11 )x 9

(22 )1 9(44

) x 18 y 22-

此时窗框面积S 有最大值S max

212 3(44

24

1 1.004575 24

x

10000 1.004575

1 1.004575

10000 1.00457524 (1 1.004575)

1 1.00457524

所以：x ar （

1

万元。

（1 r ）m 1

三、初等概率模型

古典概率不仅要求基本实践的出现具有等可能性，

问题中却经常会碰到无限样本空间的情形， 来解决。

例5:将n 个球随机地放入 n 个盒子中去，求每个盒子恰有一个球的概率。

分析与求解：因为每一个球都可以放进 n 个盒子中的任一个盒子，共有n 种不同的放法, n 个球放进n 个盒子就有n x n x - x n= n n 种不同的放法，而每种放法就是样本空间中的一 个元素，所以样本空间中元素的总数为 n n 个。现在来求每个盒子恰有一个球时，球的不同

放法的种数。

第一个球可以放进 n 个盒子之一，有 n 种放法；第二个球只能放进余下的（ n-1）个盒 子之一，有（n-1 ）种放法，…，最后一个球只可以放进唯一余下的盒子，所以 n 个球放进

n 个盒子中要使每个盒子中都恰有一个球，共有

n!种不同的放法，因而所求得概率为：

A n

P （A ）—。

n

几何概率所描述的随机试验满足：

试验的样本空间是一个可度量的几何区域

（这个区域

可以是一维、二维甚至 n 维）；试验中每个基本事件发生的可能性都一样，即样本点落入某 一个可度量的子集 A 的可能性与A 的几何测度成正比，而与 A 的形状及位置无关。如下面 的例子会面问题”是几何概率的典型例子。

例7:两位网友相约见面，约定在下午 4:00到5:00之间在某一街角相会，他们约好当

其中一人先到后，一定要等另一人

20分钟，若另一人仍不到则离去，试问这两位朋友能相

遇的概率为多少？（假定他们到达约定地点的时间是随机的，且都在约定的一小时内） 解：以x 、y 分别表示两人到达的时刻，则两人相遇必须满足下列条件：l X — y I < 20,两

人到达时刻的所有可能结果可用边长为

60的正方形区域上的任意点（x , y ）表示，该正方 形上的所

解之得

提出问题：如果采用上述分期付款方式贷款 每月付款款额的计算公式是什么？

显然问题转化为建立关于 x 的方程。 月利率为r ，每月付款x 元,皿那么：

1 rx

x 440.91

a 元，m 个月将款全部付清，月利率为 r ，那么

设采用分期付款方式贷 a 元，m 个月将款全部付清, a(1 r)m

m 2

r (1)

把右边求和，得

a(1

、

m

r)

x[(1 m

r) 1]

而且要求样本空间为有限集，

但实际

对于无限样本空间的情形，常可转化为几何概率