矩阵的等价,相似 合同的关系及应用

目录

摘要 (1)

1引言 (2)

2矩阵间的三种关系 (2)

2.1 矩阵的等价关系................................................................... 错误!未定义书签。

2.2 矩阵的合同关系 (3)

2.3. 矩阵的相似关系 (3)

3 矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 (4)

3.1矩阵的相似与等价之间的关系与区别 (4)

3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 (5)

3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 (5)

4矩阵的等价、合同和相似的应用 (6)

4.1矩阵等价的应用 (7)

4.2矩阵相似的应用 (9)

4.3矩阵合同的应用 (9)

4.4三种关系在概率统计中的应用 (10)

5结论 (12)

结束语 (12)

参考文献 (13)

摘 要:

本文主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用，总结它们之间的结论和定理并应用到各个相应的领域。并且详细说明了三者的相同点和不同点。 关键字：

矩阵的等价关系及应用，矩阵的相似关系及应用，矩阵的合同关系及应用

1.引言

高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．那么为了更好的掌握它们，我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点，总结它们的规律，并且要了解它们在各个领域的应用，我们需要更好的知道在什么条件下等价、合同、相似是可以相互转化的，加什么条件才可以相互转化，如果不能相互转化，那么你能找到相应的特例吗？另外，三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗?是如何应用的？

2.矩阵的三种关系

2.1矩阵的等价关系

定义2.1.1 : 两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使得B PAQ =

矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：

（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.

（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使B PAQ =. 2.1.2矩阵等价的性质：

（1）反身性：即A A ≅.

（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅.

（3）传递性：若A B ≅，B C ≅，则A C ≅. (4)A 等价于B 的充要条件是秩（A ）=秩（B ）

(5)设A 为m ×n 矩阵，秩（A ）=r ，则A 等价于⎪⎪⎭⎫

⎝⎛00

0r E ，即存在m 级可逆矩阵P ，n 级可逆矩阵Q ，

使

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=00

0r

E PAQ .

(6)(Schur 定理) 任何n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵，即A 相似于

⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛n λλ0*1

其中n

λλ,,1 为矩阵A 的特征值.

定理2.2.1： 若A 为m n ⨯矩阵，并且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），

使000r

m n

I PAQ B ⨯⎛⎫

==

⎪⎝⎭，其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论2.2.1：设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅

当且仅当()()r A r B =.

2.2 矩阵的合同关系

定义2.2.1 ：设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，得出矩阵A 与

B 合同必须同时具备的两个条件：

(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵而且是方阵.

(2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T

P AP B =

2.2.2矩阵合同的性质：

（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.

（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.

（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同. (4) 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.

(5) 在数域P 上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. (6) 矩阵合同与数域有关.

因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等. 定理2.2.1 ：数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.

定理2.2.1 ：复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：

22

212

r f y y y =++

2.3. 矩阵的相似关系

定义2.3.1 设,A B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使B AP P =-1

,则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）. 由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似，必须同时具备两个条件 (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵 (2) 在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1

2.3.2相似矩阵的性质 (1)反身性 : T

A E AE = ;

(2)对称性 :由T

B C AC =即得()

11T

A C

BC --=;

（3）传递性: 111T A C AC =和2212T

A C A C =即得 ()()21212T

A C C A C C

(4)

11111221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+（其中12,k k 是任意常数）

；