勾股定理的六种证明ppt课件

a B
2.利用相似三角形
已知：在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， 垂足为D。 想一想：图中有哪些三角形是相似的？下列线段有 怎样的关系？ C 解：
△ACD∽△ABC∽△CBD
可得: (1) CD2=AD· BD
(2) AC2=AD· AB (3) BC2=BD· AB
A
D
B
则有: AC2+BC2=(AD+BD) · AB
证明二及证明三的比较
• 两个证明基本上完全 相同！
证明四
a2
b2
证明四
证明四
证明四
证明四
a2 + b2 = c2 c2
青朱出入图
• 刘徽（生於公元三世紀） • 三国魏晋时代人。 • 魏景元四年（即 263 年）为 古籍《九章算术》作注释。 • 在注作中，提出以「出入相 补」的原理來证明「勾股定 理」。后人称该图为「青朱 入出图」。
2
C
1 2 ∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 a b 2
∴ ∴
a
c
b a
A
b
E
B
1 1 12 2 a b 2 ab c 2 2 2
a b c
2 2
2
D a H
b c
G
a
C b
c F
1 2 a b 4 ab c 2
2
b A a
c
c E b
A a H E D b G F C
BBiblioteka Baidu
ba2
∴ ∴
1 2 2 4 ab b a c 2
a b c
2
.
2
2
【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位
中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议 员伽菲尔德。 他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在 聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱 使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只 见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲 尔德便问他们在干什么？ 只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的 两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5 呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三 角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平 方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出 其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下 的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出 了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》 上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的 证明，就把这一证法称为“总统”证法。
勾股定理的六 种证明
证明一
b
a (a + b)2 = c2 + 4(½ab) c a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab a2 + b2 = c2
证明二
c
c2 = (a b)2 + 4(½ab) = a2 2ab + b2 + 2ab c2 = a2 + b2
弦图
• 赵爽 • 东汉末至三国时代吴国人 • 为《周髀算经》作注，并著有 《勾股圆方图说》。
即: AC2+BC2=AB2
拼 图 游 戏
证明五
c2
证明五
证明五
证明五
a2 b2
a2 + b2 = c2
印度婆什迦罗的证明
c
b a
c2 = b2 + a2
证明
证明
证明
证明
证明
勾股定理的证明
【证法1】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直 角三角形，则每个直角三角形的面积等于 c 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔ DAH ≌ RtΔ ABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º ， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º ， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º . ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于
【证法2】（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则 每个直角三角形的面积等于 1 ab 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条 直线上. ∵ RtΔ EAD ≌ RtΔ CBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º ,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º . ∴ ∠DEC = 180º ―90º = 90º .∴ Δ DEC是一个等腰直角三角形， 1 它的面积等于 c2 . 2 D 又∵ ∠DAE = 90º , ∠EBC = 90º , ∴ AD∥BC. c
证明三
a
b ½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab)
c c b
½a2 + ab + ½b2 = ½c2 + ab
a2 + b2 = c2
a
美国总统的证明
• 加菲（James A. Garfield； 1831 1881）
• 1881 年成为美国第 20 任总統 • 1876 年提出有关证明