第三章多元线性回归模型西财教材

第三章 多元线性回归模型

第一节 多元线性回归模型及基本假定

问题：只有一个解释变量的线性回归模型能否满足分析具体问题的

需要？怎样在一元回归的基础上引入多元变量的回归？

一、多元线性回归模型的意义

1、建立多元线性回归模型的意义，即一元线性回归模型的缺陷，多个主要影响因素的缺失对模型的不利影响。

在一元回归模型中，如果总体回归函数的设定是正确的，那么，根据样本数据得到的样本回归模型就应该有较好的拟合效果，这时，可决系数就应该较大。相反，如果在模型设定时忽略了影响被解释变量的某些重要因素，则拟合效果会较差，此时可决系数可能会偏低，并且由于忽略了一些重要变量而对误差项的影响会加大，这时的残差项会表现出违背假定的情况。

2、从一个解释变量到多个解释变量的演变。一个商品需求函数的例子，一个生产函数的例子，（教材第51页）。

二、多元线性回归模型及其矩阵表示

1、一般线性回归模型的数学表达式。设

12233i i i k ki i Y X X X u ββββ=+++++L i=1，2，3，…，n （1）

在模型表达式里，1β仍是截距项，它反映的是当所有解释变量取值为零时，应变量Y 的取值；j β（j=2，3，…，k ）为斜率系数，它的经济含义是，在其它变量不变的情况下，第j 个解释变量每变动一个单位，Y 平均增加（或减少）j β个单位，这就是所谓的运用边际分析法对多元变量意义下回归参数的解释j β称为偏回归系数，它反映了第j 个解释变量

对Y 的边际影响程度。

2、总体回归函数，即

12233(|)i i i k ki E Y X X X X ββββ=++++L （2）

3、样本回归函数，即

12233ˆˆˆˆˆi i k ki

Y X X X ββββ=++++L （3） 4、将n 个样本观测值代入上述表达式（1），可得到从形式上看，像似方程组的形式。并在此基础上，转化成矩阵表达的形式，即

三、模型的基本假定

在一元线性回归模型的基础上，可将在第一章中提出的基本假定平行地推到多元回归模型中去，但对多个解释变量之间还需做出新的假定。下面给出多元线性回归模型的基本假定。

1112131122222322323

112132223223

111ˆˆˆˆˆ1ˆ11ˆk k n n n nk n k n n n Y X X X Y X X X Y X X X Y XB U Y

XB e Y Y

Y Y e Y X X X X Y

X X Y u u u βββ

β

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M M M L

又1112223ˆˆˆˆk k nk n k X e X e e X e βββ

β

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Y X X X i n

Y X X X u Y X X X u Y X X X u ββββββββββββ==+++++=+++++=+++++L L L L M

L 样本观测数据：，，

1、零均值假定

2、同方差和无自相关假定

3、随机扰动项与解释变量不相关假定

4、无多重共线性假定

解释变量之间要求无多重共线性的意义。

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,,2,1;0)E ((0)E ,,E (),,,E (E (U )),,,(U '1'21'

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、、、全为零的数之间，不存在不量在模型中，如果解释变02232=++x k k i x x x λλλλλΛΛ