汽车结构有限元分析PPT(共37页)

T j
式中Ｑ为剪力，Ｍ为弯矩，
为转角，
d dx
，
v为挠度。按照梁的平面弯曲公式：
yd d2v 2x ,Eyd d2v 2x
单元弯曲应变和应力 ： B e E E B e S e
单元刚度矩阵为： k B TD B dV E lB TB d x dA
0
12 6l
ke EI 6l 4l2
第三讲 单元类型及单元分析
仅供学习交流之用
平面问题的有限元分析说明了有限元方法 的基本方法和分析步骤，利用有限元方法来分 析诸如空间问题、杆梁结构问题、板壳结构等 问题时，也象分析平面问题一样，要对弹性体 进行离散，形成有限元离散体，构建不同问题 类型的单元模式，或是说建立不同类型的单元 以分别适应空间问题、杆系问题、板壳等不同 类型结构问题，而这也正是有限元理论本身的 核心问题，即构建不同类型的单元。
需要输入的 单元特性参数 有材料性质参 数、截面面积 A、截面惯性 矩I，截面极 惯性矩等。
或者直接输入梁 截面尺寸，如 长宽高等，工 程上多采用型 材，可查表获 得。
2.二维单元分析
平面问题的有限元分析中，目前通用程序中主要采用三角形
量为：
eui uj T
单元位移模式可设为： u12x 待定常数可由节点位移条件确定 :
uui uj
ui l
xiuj
ui x l
拉压直杆单元仅有轴向应变 :
dudx
相应： 用应变矩阵可写为 ：
11 1e
l
Be
由应力应变关系 ： E B e S e
单元刚度矩阵可由一般形式推出 ：
k e B T D B d V A B T E B d x E l 1 1 A 1 1
这样空间梁单元就由3个节点组成，i, j, k 点必须 在一个平面内，但不能共线。i节点到j节点为单 元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、j和k构成 的平面上且与x轴垂直，应用右手定则可以确定 另一坐标z轴(或y轴)。i, j, k 三点确定后，单元坐 标系即确定，梁单元的截面方位也就完全确定下 来。所增加的一个用于定向的参考点k，也是构 建空间刚架有限元模型的内容，不能忽略。
3）位移模式中必须能保证单元之间的连续性。
满足条件1）和2）的单元叫做完备单元， 满足条件3）的单元叫做协调单元，同时满足 以上三个条件的单元称为完备协调单元。
对于不同物理性质、不同单元类型的问 题，有限元法求解的基本步骤是相同的， 只是具体公式推导和求解运算不同。仅说 明单元分析。就单元应用而言，要了解单 元属性。
单元属性包括单元材料特性和单元几何 特性。
单元材料特性说明了构成单元的材料力 学特性与物理特性，如弹性模量、泊松比、 密度等。单元几何特性则说明了单元的截 面几何尺寸、单元厚度及空间位置特性等。
大型通用软件都形成了单元库 ，供用户选用， 而且可以添加新的单元类型。
部分结构单元简图概览
本讲内容如下：
对平面桁架，根据坐标旋转公式 即可。
整体坐标系与局部坐标系下的单元刚度
矩阵的形式： kT kT T
对于空间等参梁单元主要有2节点直梁单元， 3节点曲梁单元。空间梁单元的每个节点有六个 自由度，两个节点共由十二个位移分量组成 。空 间梁单元节点力列矩阵也由十二个力的分量组成， 即轴向拉压、扭转以及在xy、xz两平面内的剪切 和弯曲。空间梁单元采用了平截面假设，既变形 前垂直于梁中性轴的截面，变形后仍保持平面， 但不一定垂直中性轴。这种假设包含了剪切变形 影响，这种梁单元可以处理大变形小应变的几何 非线性问题和材料非线性问题。
1.一维单元分析 ； 2.二维单元分析； 3.三维单元分析 ； 4.板壳单元 ； 5.其它各种单元介绍； 6.单元选用；
1.一维单元分析
主要有：杆单元、梁单元、管单元等 。
Байду номын сангаас
1.1杆单元---最简单的两节点一维单元， 用于杆件承受轴向力分析。
设杆单元横截面积为Ａ，长度为l，轴向
分布载荷为q ( x ) 。单元2个节点的位移向
这其中设定单元位移模式，利用虚功原理 建立单元节点力与节点位移关系并组建单元刚 度矩阵的过程，我们将其称为单元分析。
为了使有限元法的解在单元尺寸逐步趋小 时能够收敛于精确解，所构造的单元位移函 数必须满足以下三方面的条件：
1）位移模式中必须包括反映刚体位移的项；
2）位移模式中必须包括反映常应变的线性位移 项；
l3 12 6l
6l
2l2
12 6l
6l
2l2
12 6l
6l
4l2
目前使用的梁单元除一次梁单 元外，还有二次梁单元、曲梁单 元和锥梁单元等。二次梁单元是 由三个节点确定的抛物线，曲梁 单元是由两个节点决定的、具有 曲率半径的圆弧，而锥梁单元则 是采用两个节点处截面积不等的 线性梁。
上述在局部坐标系中得出的杆单元或梁 单元刚度矩阵，由于整体结构中各杆梁位 置不同、倾角不同，有限元模型要求一个 单元在整体坐标系中能够任意定位，这就 需要建立两种坐标系下的转换关系。对平 面桁架、空间桁架、平面刚架与空间刚架， 都需要建立这种坐标变换关系。
v (x )12 x3 x 24 x 3
由单元两端点的条件： ； ，可 x0,vvi,i xl,vvj,j
解出四个待定系数，将位移模式写成标准形函
数形式，则有：
v(x)Ne
按梁单元的受力状态，其节点力向量为：
F e Q i M i Q j M j T
节点位移向量为：
e v i i v j
杆单元的特征是不能传递力矩，与能够传 递力矩的梁单元的特性不同。用来处理杆构件 的建模问题。需要输入的单元特性参数主要有 材料性质、截面面积A，极惯性矩 I P 等。
1.2 梁单元---最简单的等截面2节点梁单元，节点位移为 挠度和转角，节点力为剪力和弯矩。
单元每个节点有两个自由度，单元形状函数应是三次多项式：
需要强调指出的是，由于单元刚度矩阵等都 是在局部坐标中生成的，而单元总装是在整体坐 标中进行的，因此在总装之前，这些矩阵还要经 过一次方向变换，而方向余弦值则由局部坐标与 整体坐标之间的关系决定。
空间梁单元定位
对于空间梁单元，其局部坐标需要通过梁的 两个节点i、j，再加上梁主惯性平面中的任一参 考点k，才可确定。