复数的代数形式的乘除运算 -

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

一.教学目标：

1.知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算

2.

3.情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 二.教学重难点:

重点：复数代数形式的乘除法运算。 难点：对复数除法法则的运用。

三.教具准备：多媒体、实物投影仪。 四.教学设计过程：

(一)复习巩固,问题引入

已知z 1 =a +bi (a 、b ∈R ), z 2 ﹦c +di (c 、d ∈R ) 复数和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 复数差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.

复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)

复数z =a +bi 的共轭复数: z =a -bi

问题:复数乘除法的定义是什么?复数的乘法是否也满足交换律和结合律? (二)讲解新课：

１．复数乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

2. 复数乘法运算律：

(1) 复数的乘法运算满足交换律z 1z 2=z 2z 1

(2) 复数的乘法运算满足结合律z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 (3) 复数的乘法运算满足分配律z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.

例1计算

(1) (1﹢2i)(3-4i) (2)(1-2i)(3+4i)(-2+i) （3）（1+i)2. （4）（2-i)2.

例2动手算一算,你发现了什么?

(1)i, i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i 7 , i 8 (2)(3+4i) (3-4i) ； 结论:互为共轭复数的两个复数相乘后得到的是一个实数

3.复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数

c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者di

c bi

a ++

4.复数除法运算规则：

利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将

di

c bi

a ++的分母实数化得：

原式=

22

()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i

c di c di c di c d

++-+⋅-+-==++-+ 222222

()()ac bd bc ad i ac bd bc ad

i c d c d c d

++-+-=

=++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=

i d

c ad

bc d c bd ac 2

222+-+++. 点评：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数

c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+

d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化

例3计算(12)(34i i +÷-

解：(12)(34)i i +÷-1234i

i

+=

- 22(12)(34)386451012

(34)(34)342555

i i i i i i i i ++-++-+=

===-+-++

例4i

43+

解：

i

i i i 4342)1)(41(++++-22

143247(7)(34)

343434i i i i i i i +-++++-===+++ 21432825251.2525

i i i

i ++--=

==-

巩固练习：

1.设z =3+i ,则z

1

等于 A.3+i B.3－i C.

10

1103+i D.

i 10

1103+ 2.

ai

b bi

a ai

b bi a +-+-+的值是 A.0 B.i C.－i

D.1

3.已知z 1=2－i ,z 2=1+3i ,则复数5

2

1z z i +的虚部为 A.1

B.－1

C.i

D.－i

4.设i

y i i x -+-=+1231 (x ∈R ,y ∈R ),则x =___________,y =___________.

答案：1.D 2.A 3.A 4.53 , －5

9

课后作业：课本第112页 习题3. 2 A 组4，5，6 B 组1，2 教学反思：

复数的乘法法则是：(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.

复数的除法法则是：

2

222d

c ad

bc d c bd ac di c bi a +-+++=++i (c +di ≠0). 两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分

母的共轭复数，再把结果化简 高考题选

1．（2007年北京卷）

2

2

(1)

i =+ i - ．

2. （2007年湖北卷）复数z=a+bi,a,b ∈R,且b ≠0,若24z bz -是实数，则有序实数对（a,b ）可以是 .(写出一个有序实数对即可)

【答案】：

(2,1).

【分析】：222

24()4()42(2)

z b z a b i b a b i a a b b b a b i -=+-+=--+-是实数，所以2a b =，

取(,)(2,1)a b =.

【高考考点】：本题主要考查复数的基本概念和运算. 【易错点】：复数的运算公式不能记错。 【高学科网备考提示】：复数的基本概念和运算，是高考每年必考的内容，应熟练掌握。 3．（2007年福建卷）复数2

1

(1i)

+等于（ D ） A ．

12 B ．12- C ．1i 2 D ．1i 2- 4．（2007年广东卷）若复数（1+bi ）(2+i)是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b=

(A) -2 (B) -1

2 (C) 12

(D) 2

答案：B ；解析：（1+bi ）(2+i)=（2-b ）+(2b+1)i ，故2b+1=0，故选B ；

5．（2007年湖南卷）复数2

2i 1+i ⎛⎫

⎪⎝⎭

等于（ C ）

A ．4i

B ．4i -

C ．2i

D ．2i -

6．（2007年江西卷）化简

2

24(1)

i

i ++的结果是（ Ｃ ） Ａ．2i +

Ｂ．2i -+

Ｃ．2i - Ｄ．2i --

7．（2007年全国卷I ）设a 是实数，且1i 1i 2

a +++是实数，则a =（ B ）