同济大学概率统计期末试卷1

概率统计试卷1

一、（50分）

1、设A 、B 为两个事件，()()0.6,0.4.P P A =B =若A 、B 互不相容，则

()P A -B = ；()P A B = ；()

P A B = ；若A 、B 有包含关

系，则()P A -B = ；()P A B = ；()P A B = 。

2、学生甲和朋友约定：在三门完全不同的课程考试中，他只要有一门考试取得95分以上就

开香槟庆祝。若甲在这三门课程考试中得95分以上的概率分别为

111

,,,234

则它们开香槟庆祝的概率为 。

3、 一只袋中装有5只白球和4只黑球，先不放回地随机取出三只球，每次取出一只，共取三次，则这三只球依次为黑、白、黑的概率为 ，取出的第二个球为黑球的概率 为 。若已知第二次取到黑球，则第一次取到黑球的概率 。

4、设（X ，Y ）服从区域G 上的均匀分布，其中(){},:01,,G x y y x y =

<<<

则（X ，Y ）的联合密度函数(),f x y = ，X 的边缘密度函数

()X f x = ，Y 的边缘密度函数()Y f y = 。

5、设1234,,,X X X X 独立同分布，()4

111,1,,4i i X N X X μ==∑ 则

()12cov ,X X X X --= ，()

12,X X X X ρ--= 。

6、设12345,,,,X X X X X 是独立同分布的随机变量，()10,1X N ，

()()22

1123245,Y C X X X C X X =++++其中12,C C 为常数，则当1C = ，

2C = ，时，Y 服从自由度为 的2χ分布。

7、设12,,,n X X X 施独立同分布的随机变量，()12,0,2,n X R ≥ 记

()

22

22111

111,,,1n n n i i i i i i X X S X X X n n n =====-A =-∑∑∑则()

E X = ，

()D X = ，()2E S = ，()2E A = 。

8、设1234,,,x x x x 是取自正态总体(

)2

,N μσ

的样本观察值，其中2

,μσ

未知，

2

,0,μσ-∞<<+∞>已知21

1

24,147,n n

i i i i x x ====∑∑那么2σ的极大似然估计值为 ，

μ的双侧90%置信区间为 。

二、（10分）甲乙两艘船要在某个泊位分别停靠4和6小时，假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时需等待的概率。 三、（14分）设（X ，Y ）的联合分布律为

令()()max ,,min ,,U X Y V X Y Z XY ===，试求：（1）Z 的分布律； （2）（U ，V ）的联合分布律； （3）()

2P V U =的条件分布律。

四、（10分）设X ，Y 相互独立，()()1,7,3,1,3,Z

X N Y N Z X Y W e -=+= ，

试求：()(),.Z W f z f w

五、（16分）设12(,,,)n X X X 是取自总体X 的简单随机样本，(),0X P λλ> 未知，求；（1）λ的极大似然估计；（2）()2

E X

θ=，求θ的极大似然估计ˆθ，并问θ的极大似

然估计ˆθ是否为θ的无偏估计； （3）lim n P X λ→∞

⎛

-<

⎝

。