2直角三角形存在性问题

直角三角形存在性问题

【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标．

【几何法】两线一圆得坐标

（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；

（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角

为直角）

重点还是如何求得点坐标，12C C 、求法相同，以2C 为例： 【构造三垂直】

故C 2坐标为（13

2

，0）

代入得：BN =

3

2AM BN

=

MB NC 2

由A 、B 坐标得AM =2，BM

=4，NC 2=3

△易证AMB ∽△BNC 2

34C C 、求法相同，以3C 为例：

故a =1或3

设MC 3=a ，C 3N =b △易证AMC 3∽△C 3NB ，

由A 、B 坐标得AM =1，BN =3，AM C 3N

=

MC 3N B

代入得：1

b =a

3，即ab =3，又a +b =4，故C 3坐标为（2,0），C 4坐标为（4,0）

构造三垂直步骤：

第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；

第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．

【代数法】表示线段构勾股 还剩下1C 待求，不妨来求下1C ：

（1）表示点：设1C 坐标为（m ，0），又A （1，1）、

B （5，3）； （2

）表示线段：AB =

1AC =

1BC =

（3）分类讨论：当1BAC ∠为直角时，22211AB AC BC +=； （4）代入得方程：()()2

2

22201153m m +-+=-+，解得：3

2

m =．

还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法： 互相垂直的两直线斜率之积为-1．

考虑到直线1AC 与AB 互相垂直，11AC AB k k ⋅=-，可得：12AC k =-， 又直线1AC 过点A （1,1），可得解析式为：y =-2x +3， 所以与x 轴交点坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，即1C 坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭

．

确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~ 【小结】

几何法：（1）“两线一圆”作出点；

（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．

代数法：（1）表示点A 、B 、C 坐标；

（2）表示线段AB 、AC 、BC ；

（3）分类讨论①AB ²+AC ²=BC ²、②AB ²+BC ²=AC ²、③AC ²+BC ²=AB ²； （4）代入列方程，求解．

如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．

【三垂直构造等腰直角三角形】

【2019兰州中考（删减）】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】

如图，在Rt △ABC ，∠ACB =90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC =DE ，BC =AE ． 我们把这个数学模型成为“K 型”． 推理过程如下：

【模型迁移】

二次函数22y ax bx =++的图像交x 轴于点A （-1,0），B （4,0）两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x ⊥轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒． （1）求二次函数22y ax bx =++的表达式；

（2）在直线MN 上存在一点P ，当PBC ∆是以BPC ∠为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标．

【分析】

（1）213

222

y x x =-++；

（2）本题直角顶点P 并不确定，以BC 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P 点，再

过点P 作水平线，得三垂直全等． 设HP =a ，PQ =b ，则BQ =a ，CH =b ， 由图可知：42a b b a +=⎧⎨-=⎩，解得：13a b =⎧⎨=⎩

．

故D 点坐标为（1,3）．

同理可求此时D 点坐标为（3,2）．

思路2：等腰直角的一半还是等腰直角．

如图，取BC 中点M 点，以BM 为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P 点．根据B 点和M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P 点坐标易求． P 点横坐标同D 点，故可求得D 点坐标．

【2017本溪中考】

如图，在平面直角坐标系中，抛物线2

12

y x bx c =

++与x 轴交于A 、B 两点，点B （3,0）

，经过点A 的直线AC 与抛物线的另一交点为5

(4,)2

C ，与y 轴交点为

D ，点P 是直线AC 下

方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动，当OPQ ∆是以OP 为直角边的等腰直角三角形时，请

直接写出符合条件的点P 的坐标．

【分析】 （1）213

22

y x x =

--； （2）①当∠POQ 为直角时，

考虑Q 点在对称轴上，故过点Q 向y 轴作垂线，垂线段长为1，可知过点P 向x 轴作垂线，长度必为1，故P 的纵坐标为±1．如下图，不难求出P 点坐标． 设P 点坐标为21

3,2

2m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，

可得：213

122

m m --=．

解得：11m =+

21m =-

31m =+

41m =-． 如下图，对应P

点坐标分别为()11-

、()11-

、()

1+．