专题01 直角三角形的存在性问题(解析版)

专题一直角三角形的存在性问题

【考题研究】

主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。

【解题攻略】

解直角三角形的存在性问题，一般分三步走：

第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．

一般按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程；

有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．

解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．

如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．

在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．

怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．

【解题类型及其思路】

当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：

（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是：①

121

k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；

（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法①

121

k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；

（3）当动点处作直角的方法：寻找特殊角

【典例指引】

类型一【确定三角形的形状】

典例指引1．

（2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；

（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P

为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．

【答案】（1）2

23y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）

2213

(03)2213(03)2

2t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】

试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论； （3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可．

试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线2

23y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{

3b c c -+==-，∴2{3

b c =-=-，∴抛物线解析式为2

23y x x =--；

（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴

顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；

（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴

点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣3），M（t，223

t t

--），过点Q 作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1．

①当点P在点M上方时，即0

＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（223

t t

--）=23

t t

-+，

∴S=1

2

PM×QF=2

1

(3)

2

t t

-+=2

13

22

t t

-+，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，

PM=223

t t

--﹣（t﹣3）=23

t t

-，∴S=

1

2

PM×QF=

1

2

（23

t t

-）=2

13

22

t t

-．

综上所述，S=

2

2

13

(03)

22

{

13

(03)

22

t t t

t t t t

或

-+<<

-

．

【举一反三】

（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．