信号与线性系统(管致中)
信号与线性系统 第四版 管致中 第3章1
11
傅里叶级数的指数形式
可以从三角傅立叶级数直接导出，由欧拉公式：
1 sin nt e jnt e jnt 2j 1 jnt cos nt e e jnt 代入三角形傅氏级数中去， 2
a0 f (t ) an cos nt bn sin nt 2 n 1 n 1
7
例
试将下图所示的方波信号f(t)展开为傅里 f (t) 叶级数。 f (t ) a0 an cos nt bn sin nt 1
2
n 1 n 1
T 2
2 T 2 2 T a0 f (t )dt dt T (1)dt 0 T 0 T 0 T 2
0
T 2
T
n
2
(cos n
T
T 2
8
1)
例
将具有不连续点的周期函数（如 矩形脉冲)进行傅立叶级数展开 后，选取有限项进行合成。当选 取的项数越多，在所合成的波形 中出现的峰起越靠近原信号的不 连续点。当选取的项数很大时， 该峰起值趋于一个常数，大约等 于总跳变值的9%。这种现象称 为吉布斯效应。
______。 B
2
f (t )
周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是
1
0
T 2
T
t
-1
(A) 余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。
奇函数：只含正弦项； 半周镜象对称： 只含奇次谐波
25
例 3 习题3.8
t0
t0+T
管致中《信号与线性系统》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】-第1~4章【圣才出品】
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（3）连续时间系统与离散时间系统
①连续时间系统传输和处理连续信号，它的激励和响应在连续时间的一切值上都有确定
的意义。
②离散时间系统的激励和响应信号是不连续的离散序列。
（4）因果系统和非因果系统
对于一个系统，激励是原因，响应是结果，响应出现于施加激励之后的系统即为因果系
统；反之为非因果系统。
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图 1-2 两个信号相加的例子 （2）两个信号相乘的一个例子，如图 1-3 所示。
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图 1-3 两个信号相乘的例子 2．信号的延时 一个信号延时的例子，如图 1-4 所示。
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四、系统的概念 1．概念 一般而言，系统是一个由若干互有关联的单元组成的、具有某种功能、用来达到某些特 定目标的有机整体。一个简单的系统框图，如图 1-6 所示。
图 1-6 单输入单输出系统的方框图 系统的功能和特性就是通过由怎样的激励产生怎样的响应来体现的。 系统功能的描述是通过激励与响应之间关系的建立完成的。 2．分类 （1）线性系统和非线性系统 ①概念 线性系统是同时具有齐次性和叠加性的系统，否则为非线性系统。
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信号与线性系统(管致中)
1 5rad / s
T1 2 5
sin t 的角频率和周期分别为 1 rad / s T1 2 2
T1和T2 的不存在最小公倍数，因此原信号不是周期信号
连续正弦信号一定是周期信号； 两个连续周期信号之和不一定是周期信号 。
例1：判断下列信号是否为周期序列，若是，求其周期。 （1） f (k ) cosk 解：
两个周期序列之和一定是周期序列 。
2 8 N1 3 4 3
f (k ) sin k cos
k
2
信号的分类
能量信号与功率信号
假设信号f(t)在实际应用中是一个电路网络输出的电流或 者电压，将它施加在一个电阻值为1欧的负载电阻上，则在一 定时间间隔（t1,t2）里，负载电阻中消耗的信号能量为：
传输和处理连续时间信号系统的激励和响应在连续时间的一切值上都有确定的意义连续时间系统传输和处理离散时间信号系统的激励和响应都是不连续的离散序列离散时间系统在实际工程中离散时间系统常常与连续时间系统联合运用同时包含有这两者的系统称为混合系统
信号与线性系统
主讲： 俞菲 建雄院 211室 无线谷 5209室
正弦序列不一定是周期序列
例1：判断下列信号是否为周期序列，若是，求其周期。
解： 序列由两个周期序列组成 sin 3k 4 的角频率和周期分别为
3k k （2） f (k ) sin cos 4 2
1 3 4 rad / s
cosk 2的角频率和周期分别为 2 1 2 rad / s N1 4 2 N1和N 2的最小公倍数为8，因此其周期为8。
信号的分类
连续信号与离散信号
离散信号（discrete signal）可以在均匀的时间间隔上给 出函数值，也可以在不均匀的时间间隔上给出函数值，本课 程一般考虑均匀间隔的情况。 离散信号的描述：
《信号与线性系统》 东南大学 管致中 夏恭恪 孟桥著 高等教育出版社第六章-2
2
第六章 连续时间系统的系统函数
稳定系统
H (s ) 表示式中D (s ) 系数 a i 具有以下性质： 具有以下性质：
（ⅰ） a i 全为正 D(s) = ansn + an−1sn−1 +L+ a1s + a0 无缺项（ （ⅱ） D(s)无缺项（可以 a 0 ＝0） ） 的全部奇数项或全部偶数项——临界稳定 缺 s 的全部奇数项或全部偶数项 临界稳定 2 s + 2s + 1 H 不满足（ 不满足（ⅰ）——不稳定 不稳定 例 （1） 1 (s) = 3 2 ）
五、系统的稳定条件及其判据 系统的稳定条件及其判据 (M为正常数) 为正常数 Routh-Hurwitz准则 准则
0
∫
∞
h(t ) dt ≤ M
8
3
∴ H 3 ( s ) 系统不稳定
以上两个性质是判断系统稳定的必要条件
第六章 连续时间系统的系统函数
(二) 罗斯－霍维茨（Routh-Hurwitz）准则（判据） 罗斯－霍维茨（ 准则（
内容： 若 内容： D(s) = an sn + an−1sn−1 +L+ a1s + a0 的根全部位于s左半平面的充要条件是 左半平面的充要条件是： 则 D(s) = 0 的根全部位于 左半平面的充要条件是： （ⅰ）D ( s ) 的全部系数 a i 为正，无缺项； 为正，无缺项； 罗斯－霍维茨阵列中第一列数字( )符号相同 （ⅱ）罗斯－霍维茨阵列中第一列数字( A i )符号相同 -6 R－H阵列： 1行 An an Bn an -2 Cnan -4 Dnan… … 阵列： － 阵列 第
G( s) =
1 ( s − 1)( s + 2)
管致中《信号与线性系统》(第5版)(章节题库 绪 论)
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三、分析计算题
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1．已知两信号分别为 f1（t）＝2cos（πt）＋4sin（3t），f2（t）
2．系统 y（t）＝2（t＋1）x（t）＋cos（t＋1）是_____。（说明因果／非因果性、时 变／非时变性、线性／非线性）。
【答案】因果、时变、非线性。 【解析】y（t）＝2（t＋1）x（t）＋cos（t＋1），输出仅与现在的输入有关，系统是 因果的；响应随激励加入的时间不同而发生变换，系统是时变的；不满足齐次性和叠加性， 系统是非线性的。
图 1-4 答：（1）移位：f（－2t＋1）＝ f[－2（t－1/2）]，f（－2t＋1）波形向左平移 1/2 可得 f（－2t）； （2）扩展：将 f（－2t）做尺度变换，横坐标放大 2 倍，求得 f（－t）； （3）反转：将 f（－t）反转，求得 f（t）波形，如图 1-5 所示。
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图 1-2 答：翻转:先将 f（t）的图形翻转，成为 f（－t）； 移位：再将图形向右平移 2，成为 f（－t＋2）；
扩展：然后波形扩展为原来的 3 倍，成为
，如图 1-3 所示。
图 1-3 4．已知 f（－2t＋1）波形如图 1-4 所示，试画出 f（t）的波形。
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第 1 章 绪 论
一、填空题 1．系统的输入为 x（r），输出为 y（r）＝tx（t），判断系统是否是线性的（ ）。 【答案】线性的
《信号与线性系统》(管致中)ch5-3
四、拉普拉斯反变换由，常为s 的有理函数)()(t f s F 求)(s F 一般形式：1110111)(a s a s a s b s b s b s b s F n n n m m m m ++++++++=---- （为实数，m 、n 为整数）k k b a 、如nm ≥)()()()(s D s N s R s F +=R(s)的拉氏变换为冲激函数及其各阶导数——理想情况一般情况下：nm <求拉氏反变换有三种方法：查表、部分分式展开法和围线积分法（留数法）(一）部分分式展开法1110111)()()(a s a s a s b s b s b s b s D s N s F n n nm m mm ++++++++=---- ＝（）n m <要点：将分解，逐个求反变换，再叠加)(s F 基本形式：0,1≥↔-t e s s ts kk 1．的根无重根[的极点为单阶] 0)(=s D )(s F )1()())(()()()()(21 n s s s s s s s N s D s N s F ---=＝极零点)(s F 极点：使＝∞的s 根值，)(s F 如为的极点),,1(n k s k =)(s F 零点：使的s 根值，0)(=s F 如，)()()()(1m k z s z s z s s N ---= 为的零点),,1(m k z k =)(s F )2()(2211 nn k k s s k s s k s s k s s k s F -++-++-+-=ts n t s k t s t s n k ek e k e k e k t f +++++= 2121)(求系数的两种方法k k [方法一] （2）式两边乘以（）：k s s -nnk k k k k s s k s s k s s k s s s s k s s s F s s --++++--+--=-)()()()()(2211 令ks s =则ks s k k s F s s k =-=)]()[([方法二]用微分求])()()([lim s D s N s s k k s s k k -=→（形式）0)()]()[(lim s D ds ds N s s ds dk s s k -=→——罗彼塔法则k s s s D s N ='=])()([（))()()(])()[(s N s N s s s N s s k k +'-='-例1 求的反变换)2)(1(4)(+++=s s s s s F )(t f [为真分式，极点为实数])(s F 解：21)(321++++=s k s k s k s F 1）求：k s 2,1,0321-=-==s s s 2）求：k k 【方法一】,2])2)(1(4[01=+++==s s s s k ,3])2(4[12-=++=-=s s s s k 1])1(4[32=++=-=s s s s k 【方法二】用微分求,23)2)(1()(23s s s s s s s D ++=+=＋263)(2++='s s s D 2634)()(2+++='s s s s D s N ,2]2634[021=+++==s s s s k ,3]2634[122-=+++=-=s s s s k 1]2634[223=+++=-=s s s s k3）求：)(t f 21132)(++++=s s s s F －)()32()(2t eet f ttε--+-=例2)2)(1(795)(23+++++=s s s s s s F [为假分式，极点为实数] )(s F 解：)2)(1(32)(+++++=s s s s s F )(21s F s ++=令求的反变换：)(1s F 2112)2)(1(3)(1+-+++++=s s s s s s F ＝)()2()(21t ee tf tt ε---=求的反变换：)(s F )()2()(2)()()(2)()(21t e e t t t f t t t f t t εδδδδ---++'=++'=例3 求的反变换52)(2++=s s s s F [为真分式，极点为共轭复数] )(s F 解：【方法一】2211)(ss k s s k s F -+-=2令21j s --=*=s2）求：k k 1)]()[(11s s s F s s k =-=)2(41j +=2)]()[(22s s s F s s k =-=)2(41j -=*=1k 3）求：)(t f t s t s e k e k t f 2121)(+=tj t j e j ej )21()21()2(41)2(41--+--++=)](2)[(212222t j t j tj t j t e e j e e e ----++=)222(21t Sin t Cos e t -=-,2212t Sin e t Cos e t t---=0≥t ),,,()(2121k k s s f t f =tj tj ejc c ejc c t f )(21)(21)()()(βαβα-+-++=)(221t Sin c t Cos c e tββα-=)(,,,21t f c c 求→βα【方法二】为二次多项式)(s D 52)(2++=s s s D 4)1(2++=s ])[(22βα+-=s 4)1()(2++=s s s F ]2)1(2[212)1(12222++-+++=s s s tCos e s s t022)(ωωααα↔+--t Sin e s t02020)(ωωαωα↔+-1--t t2．当＝0有重根的情况[有多重极点])(s D )(s F 设＝0共有n 个根，其中一个根s 1为p 重根，其余为单根（异根）)(s D 即)())(()()(211n p p ps s s s s s s s s D ----=++ )1(][])()()([)()()(11111211211)1(111 n n p p p p p p s s k s s k s s k s s k s s k s s k s D s N s F -++-+-+-++-+-==++--令异根项][11nn p p s s k s s k -++-++ )()(00s D s N =其系数的求法如上所述重根项的求取111,,k k p （1）求：p k 1)2()()(])()()([)(00111211211)1(111 s D s N s s k s s k s s k s s k s F p p p p+-+-++-+-=--式（2）乘以，ps s )(1-)()()()()()()()(00111111221)1(1111s D s N s s k s s k s s k s s k s F s s pp p p p p-+-+-++-+=---- 再令s s =p（2）求（系数）11)1(1,k k p -引入)()()(11s F s s s F p-=）（4)()()()()()(100111121)2(11)1(11 p p p p p s s s D s N s s k s s k s s k k -+-++-+-+=---将式（4）对s 取导一次：）（5])()()([)()1()(2)(10021111)2(1)1(11 pp p p s s s D s N ds d s s k p s s k k ds s dF -+--++-+=---1])([1)1(1s s p dss dF k =-=将式（5）对s 取导一次，再令得1s s =1])([21212)2(1s s p dss F d k =-=一般情况：1,,1,,])([)!(1111 -=-==--p p k dss F d k p k s s kp kp k 总结：)()(])()()([)(001111)1(12112111s D s N s s k s s k s s k s s k s F pp p p +-+-++-+-=-- ∑-+++++=n t s t s p p ts t s t s q ek e t k e t k te k e k t f 112131111)(例求的反变换22)5)(3(52)(++++=s s s s s F 解：0)5)(3()(2=++=s s s D ⎩⎨⎧-=-=523121s s 重根个单根)1()5(53)(222211 +++++=s k s k s k s F 1）求系数22211,,k k k 单根项2)]()3[(31=+=-=s s F s k 重根项5221)]()5([-=+=s s F s dsd k 52]}352[{-=+++=s s s s ds d 1-=求式代入的另法：把)1(,22121k k k 5)5(1032)(212+++-+=s k s s s F 551032535)0(2122k F +-=⨯=121-=k 2) 求：)(t f )()102()(553t teeet f tttε-----=10)]()5[(5222-=+=-=s s F s k（二）围线积分法（留数法）拉氏反变换：⎰∞+∞-=j j stdse s F j tf σσπ)(21)(留数定理：∑⎰==ni icstsds e s F j 1Re )(21π上式左边的积分是在s 平面内沿一不通过被积函数极点的封闭曲线C 进行的，右边则是在此围线C 中被积函数各极点上留数之和。
(完整版)信号与线性系统管致中第1章信号与系统
N
x(n) 2
x(n) 2
在无限区间内的平均功率可定义为：
x(t) P
lim 1 T 2T
T T
2
dt
1 N
P
lim
N
2N
1
N
x(n) 2
三类重要信号： 1. 能量信号——信号具有有限的总能量，
即： E , P 0
2. 功率信号——信号有无限的总能量，但平均功率 有限。即：
1.2 自变量变换
如果有 x(t) x(t) 则称该信号为奇信号
x(n) x(n)
（镜像奇对称）
对复信号而言：
x(t) x(t) 如果有 x(n) x(n) 则称该信号为共轭偶信号。
x(t) x(t)
如果有
则称为共轭奇信号。
x(n) x(n)
1.2 自变量变换
x (n)]
例1：
x(t)
2 1
-2 -1 0
t
12
-2
xe (t)
1
t
02
xo (t)
1
-1
t
1 -1
例2. 信号的奇偶分解：
1.3 指数信号与正弦信号
（Exponential and Sinusoidal Signals ） 1.3.1. 连续时间复指数信号与正弦信号
x(t) Ceat 其中 C, a 为复数
确定的定义。
x(n) c 可以视为周期信号，其基波周期 N0 。1
1.2 自变量变换
非周期信号
周期信号
1.2.3. 奇信号与偶信号： odd Signals and even Signals 对实信号而言：
信号与线性系统(管致中)
1 p 1 p
1 d t p x(t )d x(t ) p dt
?
t dx(t ) 1 p x(t ) x() dt p
1 p =1 p
dx (t ) dy (t ) dt dt
当且仅当x() 0时等号成立
x(t ) y (t ) C
注：初始条件
rzs (0 ) 0, rzs ' (0 ) 0
零输入响应和零状态响应
r (t )(全响应) rzi (t )(零输入响应 rzs (t（零状态响应） ) )
2. 用叠加积分的方法求解零状态响应：原理——系统的叠加性
若f1 (t ) r1 (t )，f 2 (t ) r2 (t )
转移算子：
N ( p) r (t ) e (t ) D( p)
N ( p) H ( p) D( p)
转移算子描述了响应函数和激励函数在时域中的关系
2-2 系统方程的算子表示法
二、算子多项式的运算法则 1、代数运算：
( p a)( p b) p 2 (a b) p ab
B0不可解
i f (t ) (B0 t )e2t
i(t ) in (t ) i f (t ) (C1 B0 )e2t C2e3t tet
其中待定常数C1+B0，C2由初始条件确定：
i(0) C1 B0 C2 1 1, C1 B0 2, C2 1
（杜阿美积分，卷积积分）
零输入响应 自然响应
零状态响应 受迫响应
对于一个稳定的系统而言，系统的零输入响应必然是
自然响应的一部分
零状态响应中又可以分为自然响应和受迫响应两部分。 零输入响应和零状态响应中的自然响应部分和起来构 成总的自然响应，零状态响应中有外加激励源作用产生的 响应是受迫响应
管致中信号与线性系统第5版知识点课后答案
一切物理现象，都要满足先有原因然后产生结果这样一个显而易见的因果关系，结果不能早于原因而出现。对于一个系统，激励是原因，响应是结果，响应不可能出现于施加激励之前。符合因果律的系统称为因果系统（causal system），不符合因果律的系统称为非因果系统（non Causal system）。例如
若
则
系统若具有上式表示的性质则为非时变系统，不具有上述性质则为时变系统。
3.连续时间系统与离散时间系统
连续时间系统（continuous-time system）和离散时间系统（discrete-time system）是根据它们所传输和处理的信号的性质而定的。前者传输和处理连续信号，它的激励和响应在连续时间的一切值上都有确定的意义；与后者有关的激励和响应信号则是不连续的离散序列。
若
则
系统的叠加性是指当有几个激励同时作用于系统上时，系统的总响应等于各个激励分别作用于系统所产生的分量响应之和。用符号表示为
若 ，
则 + +
合并起来，就可得到线性系统应当具有的特性为
若 ，
则+ +
或者说，具有这种特性的系统，称为线性系统。非线性系统不具有上述特性。
2.非时变系统和时变系统
系统又可根据其中是否包含有随时间变化参数的元件而分为非时变系统（time．Invariant system） 和时变系统（time varying system）。
如复合信号中某两个分量频率的比值为无理数，则无法找到合适的；，该信号常称为概周期信号。概周期信号是非周期信号，但如选用某一有理数频率来近似表示无理数频率，则该信号可视为周期信号。所选的近似值改变，则该信号的周期也随之变化。例如 的信号，如令1.41，则可求得＝100，＝141，该信号的周期为 ＝200。如令1.414，则该信号的周期变为2000。
《信号与线性系统》 东南大学 管致中 夏恭恪 孟桥著 高等教育出版社第五章-4
12
第五章 连续时间系统的复频域分析
从信号分解的角度看拉普拉斯变换 （三）通过H(s)求响应 ——从信号分解的角度看拉普拉斯变换 通过 ( 求响应 1. 零状态响应 rzs (t) FT ----- 分解为正弦分量； 分解为正弦分量； 步骤： （1）求激励 e (t) 的象函数 E (s) = ℒ {e (t)}。 ） 。 （2）找出在 s 域中联系零状态响应 与输入激励的运算形式的 ） 系统函数 H(s)。 。 Rzs(s) 零状态响应的拉氏变换 H(s) 的定义为 H(s) = = E(s) 输入的拉氏变换 （3）求零状态响应 rzs (t) 的象函数 R(s) = E(s)H(s)。 ） 。 （4）求 rzs (t) = ℒ -1{R(s)}= ℒ -1{E(s)H(s)} ）
di(t ) − - uc(0) 又 ℒ L = LsI ( s) − LiL (0 ) dt
−
R
是电感中的初始电流。 式中 i L(0-) 是电感中的初始电流。
∫
u
t − ∞
1 i (τ ) d τ = C
∫
0
− ∞
i (τ ) d τ +
c
∫
(0 s
t 0 −
s s 3s uc1 (s) − × uc1 (s) = 0.2 2 10 s + 1 15
故
u c1 ( t ) = (0.4 + 0.6e
)ε ( t )
u(t) = e
1 − t 6
ε( t )
u c 2 ( t ) = u c1 ( t ) − u ( t ) = (0.4 − 0.4e
u c1 (0 + ) = 1v，不等于 讨论： 讨论：
《信号与线性系统》 东南大学 管致中 夏恭恪 孟桥著 高等教育出版社第三章-2
无穷小）， 当 T → ∞时， Ω → dω ( 无穷小）， nΩ → 连续变量 ω 则 F ( jω ) =
∫
∞
−∞
f ( t )e − jωt dt = F ( jω ) e jϕ ( ω ) — —傅里叶变换
F ( jω )
式（1）乘以T/2:
& & πAn An T & = An × = = 2 Ω 2 f
∫
T 2 T − 2
f (t )e − jnΩt dt (≠ 0,当T → ∞时)
11
第三章 连续信号的正交分解
& πAn T & 定义： 定义： F ( jω ) = F (ω ) = lim An × = lim T →∞ 2 Ω→0 Ω
2
2
第三章 连续信号的正交分解
Sinx Sa ( x ) = ——抽样函数 抽样函数 x T τ 2 2 2 2 2 Aτ a0 = ∫ T f (t )dt = ∫ τ Adt = = l im an n→0 T −2 T −2 T
nπτ Aτ ∞ 2 Aτ ∴ f (t ) = +∑ Sa( )Cos(nΩt ) T T n =1 T
∞ 1 & jnΩt f (t ) = ∑ An e = ∑ C n e jnΩt (指数级数） 指数级数） 又如按 n = −∞ 2 n = −∞ C
n
∞
指数频谱图： 指数频谱图：
- 2π/τ 0 2π/τ 4π/τ ω=nΩ
(关于纵轴对称，但并不表示有负频率，它只表示一对 关于纵轴对称，但并不表示有负频率， 相应的正、 相应的正、负指数项合起来构成一个正弦分量 )
(NEW)管致中《信号与线性系统》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
4．能量信号与功率信号 信号的能量，功率公式为：
如果信号总能量为非零的有限值，则称其为能量信号；如果信号平 均功率为非零的有限值，则称其为功率信号（power signal）。
二、信号的简单处理
1．信号的相加与相乘 两个信号的相加（乘）即为两个信号的时间函数相加（乘），反映 在波形上则是将相同时刻对应的函数值相加（乘）。图1-1所示就是两 个信号相加的一个例子。
形状不变的同时，沿时间轴右移 的距离；如 为负值则向左移动。图
1-2为信号延时的示例。
图1-2
3．信号的尺度变换与反褶
信号 经尺度变换后的信号可以表示为 显然在 为某值 时的值 ，在
，其中 为一常数。
的波形中将出现在 ＝ / 的位置。因此，如 为正数，当 ＞1 时，信号波形被压缩（scale—down）；而 ＜1时，信号波形被展宽 （scale up）。如 ＝-1，则 的波形为 ，波形对称于纵坐标轴的 反褶（reflection）。
若
则
系统若具有上式表示的性质则为非时变系统，不具有上述性质则为 时变系统。
3．连续时间系统与离散时间系统
连续时间系统（continuous-time system）和离散时间系统（discretetime system）是根据它们所传输和处理的信号的性质而定的。前者传输 和处理连续信号，它的激励和响应在连续时间的一切值上都有确定的意 义；与后者有关的激励和响应信号则是不连续的离散序列。
（4）错误。例如
与
（门函数）却是能量信号。
均为功率信号，但两者之和
（5）错误。例如
与 均为功率信号，但两者之积
（门函数）却是能量信号。
（6）错误。例如 为功率信号， 为能量信号，但两者之积 却不是能量信号。
信号与线性系统课件(第5版)管致中 期末复习总结课件及应用
1.2 信号的分类及性质
2. 连续信号和离散信号
（1）连续时间信号：
在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连 续时间信号，简称连续信号。
如取值也连续则常称为模拟信号。 这里的“连续”指函数的定义域—时间是连续的，但可 含间断点，至于值域可连续也可不连续。
（2）离散时间信号：
仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信 号，简称离散信号。
其中 C0 ,K, Ck−1, Ck+1,K, Cn 也是由系统的初始条件 确定的待定系数。
§2.6 阶跃响应和冲激响应
单位冲激响应⎯ 以单位冲激信号作为激励信号时， 系统的零状态响应,记为 h(t)。
单位阶跃响应⎯ 以单位阶跃信号作为激励信号时, 系统的零状态响应，记为 rε (t)。
一、冲激响应
§2.2 系统数学模型的建立
1) 构成电路各个元件上的电压和电流的关系。由于 所讨论的电路系统最终可以等效为由理想元件电阻、 电容、电感所构成，因此应掌握这些元件电压与电流 的关系：
R:
uR = R⋅iR
L:
uL
=
L
⋅
diL dt
1t
C:
∫ uC = C −∞ iC (τ )dτ
2) 基尔霍夫电压和电流定律。
连续周期信号f(t)满足
f (t)
f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,…
离散周期信号f(k)满足
t
f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…
满足上述关系的最小T(或整数N)称为信号的周期。 不具有周期性的信号称为非周期信号。
1.2 信号的分类及性质
例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπt
信号与线性系统 管致中 第四版 第3章2(1)
对可积， 即要求
f (t) dt
28
频率特性
与周期信号的傅里叶级数类似，F (一j般)为复函数
F ( j) F ( j) e j ()
F ( j) ~ 称为幅频特性； 频率特性 () ~ 称为相频特性。
29
傅里叶变换的三角形式
f (t ) 1 F ( j )e jtd 1 F ( j ) e jt d
2
(b)
4
17
周期T不变，脉冲宽度变化
T
4
T
8
T
16
1 Fn
4
2
0 Fn
1 8
2
0Fn
1 16
2
0
18
结论
由大变小，Fn 的第一个过零点频率增大，
即 2 ，
f 1 称为信号的带宽， 确定了带宽。
由大变小，频谱的频带变宽，频谱的幅度变小。
由于 T 不变，谱线间隔不变，即 2 不变。
O • 振1幅谱2：1 直 流分量一样，其它1 情况双边谱振幅
指数形式的频是谱单图边谱振幅的一半。O
21
• 双•边相振F位幅n谱谱1两偶者对在称n，>0相时位相谱同奇。0对.1称5π。n
0.15π
0.25π
0.5 1.12 1 1.12 0.5
21
1
21 1 O 1 21
1 O
21
0.25π
Bf
1 (Hz)
一般信号的频谱的的频带宽度——从零频率开始到频谱振幅降为
包络线最大值（主峰高度）的1/10的频率之间的频率范围。
一切脉冲信号的脉宽（脉冲宽度τ ）与频宽成反比；
时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。
管致中信号与线性系统第5版答案
1答案1.1说明波形如图1-4所示的各信号是连续信号还是离散信号。
图1-4答：连续时间信号是指它的自变量（时间变量t）是连续的，若时间变量的取值是离散的，则为离散时间信号。
图1-4中，（a）、（b）、（d）、（e）是连续信号，而（c）、（f）是离散信号。
1.2说明下列信号是周期信号还是非周期信号。
若是周期信号，求其周期T。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）提示：如果包含有个不同频率余弦分量的复合信号是一个周期为的周期信号，则其周期必为各分量信号周期（＝1,2,3，……，）的整数倍。
即有＝或。
式中为各余弦分量的角频率，＝为复合信号的基波频率，为正整数。
因此只要找到个不含整数公因子的正整数使成立，就可判定该信号为周期信号，其周期为：如复合信号中某两个分量频率的比值为无理数，则无法找到合适的；，该信号常称为概周期信号。
概周期信号是非周期信号，但如选用某一有理数频率来近似表示无理数频率，则该信号可视为周期信号。
所选的近似值改变，则该信号的周期也随之变化。
例如的信号，如令 1.41，则可求得＝100，＝141，该信号的周期为＝200 。
如令 1.414，则该信号的周期变为2000 。
答：（a）sint、sin3t的角频率之比，因此该信号为周期信号，其周期为（b）sin4t、sin7t的角频率之比，因此该信号为周期信号，周期。
（c）①当时，sin3t、sinπt的角频率之比，因此该信号为周期信号，周期；②当时，由于π是无理数，因此该信号为非周期信号。
（d）cosπt、sin2πt的角频率之比，因此该信号为周期信号，周期。
（e），即所以该信号是周期信号，周期（f），因此该信号为周期信号，周期。
（g）[asin(2t)＋bsin(5t)]2由于，所以该信号为周期信号，周期T＝2π。
1.3说明下列信号中哪些是周期信号，哪些是非周期信号；哪些是能量信号，哪些是功率信号。
计算它们的能量或平均功率。
(1)(2)(3)(4)(5)答：（1）严格地讲，周期信号应该是无始无终的，所以该信号应该算作非周期信号。
管致中《信号与线性系统》(第5版)(课后习题 绪 论)
第1章 绪 论1.1 说明波形如图1-1所示的各信号是连续信号还是离散信号。
图1-1答：连续时间信号是指它的自变量（时间变量t ）是连续的，若时间变量的取值是离散的，则为离散时间信号。
图1-1中，（a ）、（b ）、（d ）、（e ）是连续信号，而（c ）、（f ）是离散信号。
1.2 说明下列信号是周期信号还是非周期信号。
若是周期信号，求其周期T 。
（a ）t b t a 3sin sin -（b ）tb t a 7cos 4sin +（c ）141.33,cos 3sin a ≈≈+πππ和t b t （d ）t b t ππ2sin cos a +（e ）7sin 56cos 25sina tc t b t ++（f ）22sin a ）（t （g ）2)5sin 2sin (a t b t +提示：如果包含有个不同频率余弦分量的复合信号是一个周期为的周期信号，则n T 其周期必为各分量信号周期（＝1,2,3，……，）的整数倍。
即有＝或T i T i n T i m i T 。
式中为各余弦分量的角频率，i i m ωω=2i iT πω=＝为复合信号的基波频率，为正整数。
ω2Tπi m 因此只要找到个不含整数公因子的正整数使成立，就可判n 123m m m 、、、……、n m 定该信号为周期信号，其周期为：2i i iiT m t m πω==如复合信号中某两个分量频率的比值为无理数，则无法找到合适的；，该信号常称m 为概周期信号。
概周期信号是非周期信号，但如选用某一有理数频率来近似表示无理数频率，则该信号可视为周期信号。
所选的近似值改变，则该信号的周期也随之变化。
例如1.41，则可求得＝100，＝141，该信号的周期cos t+≈1m 2m 为＝200 1.414，则该信号的周期变为2000。
T π≈π答：（a ）sint 、sin3t 的角频率之比，因此该信号为周期信号，其周期为πωπ221111===m T m T （b ）sin4t 、sin7t 的角频率之比，因此该信号为周期信号，周期。
信号与线性系统 管致中 第2章 线性时不变系统
0
2T
t T
0
t
y(t ) x(t ) h(t ) x( )h(t )d
x(t )h( )d
① 当 t 0 时， y(t ) 0 ② ③ ④ ⑤
1 2 y 当 0 t T 时， (t ) 0 d t 2 t 1 2 y 当 T t 2T 时， (t ) t T d Tt 2 T 2T 1 2 y (t ) d 2T (t T ) 2 当 2T t 3T 时， t T 2 当 t 3T 时， y(t ) 0
个 t 的值，将 x( ) 和 h(t ) 对应相乘，再计算相
乘后曲线所包围的面积。
通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有
用的。
x(t )* h(t )
x( )h(t )d
要完成卷积运算的步骤： 1. 变量臵换：将x(t) ,h(t)变为x()， h() ， 以 为积分变量 ； 2. 反褶：将h()变为h(- )；
n h( n) 0
x(k )
1
0n4 otherwise
1, 0 n 6
otherwise
h(n k ) nk
k
0
k
n6
0
4
n
① n 0 时，
y ( n) 0
n n k 0 k 0
y ( n) n k n k ② 0 n 4 时， 1 ( n 1) 1 n 1 n 1 1 1
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。 例3. 列表法 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
管致中《信号与线性系统》(第5版)(课后习题 连续时间系统的时域分析)
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2.6 已知电路如图 2-5 所示，电路未加激励的初始条件为：
（1） i10 2A,i'1 0 1A s ；（2） i10 1A,i'2 0 2A 。 求上述两种情况下电流 i1t及 i2t的零输入响应。
由②式可得：
③
由①式可得：
④
将式③代入式④可得：
用微分算子表示为： 即 （2）同理，将式①代入式③可得：
整理得： 用微分算子表示为：
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即
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。
2.2 H（p）。
写出图 2-2 中输入 e t 和输出 i1 t 之间关系的线性微分方程，并求转移算子
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第 2 章 连续时间系统的时域分析
2.1 写出图 2-1 中输入 it 和输出 u1t 及 u2 t 之间关系的线性微分方程，并求转移
算子。
图 2-1 答：（1）利用节点法来分析电路，可得
对于节点 1：
①
对于节点 2：
②
（1）
d3 dt 3
r(t)
2
d2 dt 2
r(t)
d dt
r(t)
3
d dt
e(t)
e(t) ，
r0
r0
0,r0
1；
（2）
d3 dt 3
r(t)
3
d2 dt 2
r(t)
2
d dt
r(t)
《信号与线性系统》南京航空航天大学_管致中_夏恭恪_孟桥著_高等
《信号与线性系统》南京航空航天大学_管致中_夏恭恪_孟桥著_高等连续时间系统的复频域分析七、信号流图分析法(一)信号流图的表示法1。
由方程作流图作图规则：例1x2 ax1 0 (1)首先把方程式写成因果关系式：果=f(因); (2)方程式中的各个变量用“○”表示，称作结点；如选x 2 为果：是用有向的线图来描述线性方程组变量间因果关系的一种图。
信号流图：本质：求解线性方程组的图解法。
x 2 ax1(3)变量之间的因果关系用线段来表示，称作支路。
○x1a○其特点：)有向，因果(支路的方向表示信号流动的方向) )支路旁边标上因变量的系数(传输值) )每一个结点的变量等于流入它的变量与相应支路传输值的乘积的代数和。
如X(s) x21 sY(s) 1/s Y(s)sY (s) X (s) aY (s)1《信号与线性系统》南京航空航天大学_管致中_夏恭恪_孟桥著_高等教育出版社第五章连续时间系统的复频域分析例2 ax0 bx1 cx2 0 (1) 的流图dx0 ex1 fx 2 0 (2) x1 为果：1 a x0 c x2 x 解：(1)选1) b b求各方程的x 2 为果：2 d x0 e x1 x 果变量不能相同(2)选f f 2)用结点表示变量(结点还兼有加法器的作用) 3)用支路表示因果关系并标注传输值x1 ax0 (b 1) x1 cx2 x 2 dx0 ex1 ( f 1) x 2x0 若x0b+1-a/b -c/bx1由此可画流图：ac ex1-d/f-e/fd f+1x2一个方程组的流图不是唯一的,但其解答是唯一的!《信号与线性系统》南京航空航天大学_管致中_夏恭恪_孟桥著_高等教育出版社第五章连续时间系统的复频域分析例3 求一阶系统的流图解：y a0 y x y a0 y xsY ( s) a0Y ( s) X ( s) (1) X (s)、(s) 、(s ) ――复量Y sY――时域模型――复域模型Y 、sY (s) 、(s)1作流图：结点3个――X (s)1X (s)Y (s )sY (s)1/sY (s )-a0 1 Y ( s) sY ( s) (2) sY Y 若只有X (s)、(s) 两个复量：(s)( s a0 ) X (s)Y ( s) 1 X ( s) H ( s ) X ( s) (3) s a0H(s)则流图为：2022年-4-26X (s)Y (s )其中H ( s)1 s a03流图和框图都用于描述系统方程，但流图更简洁，使用更方便。
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系统？？
系统的概念：
一般而言，系统（system）是指由若干相互关联的 事物组合而成，具有特定功能的整体。
发送端 转 换 器 调 制 发 射 机 信道 接 收 机 解 调 转 换 器
接收端
反馈信道
闭环，双向通信系统
第一章
绪论
基本概念：信号？？
系统？？
系统的概念：
除了通信系统以外，还有其他各种电子学的系统也负担 这信号的传输和处理工作，如：自动控制系统。
控制装置 控制器 受控装置
测量设备
第一章
绪论
对本课程的思考： 如何描述信号、系统？ 研究信号与系统的哪些特点？ 为了满足实际需求，应该如何设计系统？
1.2 信号的描述
广义地说，信号（signal）是随时间变化的物理量
电系统中，信号是随时间变化的电量。 非电系统中，信号是其他的物理量。
信号(signal)：
信号的描述
确定性信号的描述：
f(t) A t3 T 2T t
随时间变化的波形；
确定的时间函数；
at A f (t ) B bt 0
kT t kT t1 kT t1 t kT t 2 kT t 2 t kT t3 kT t3 t kT T
两个周期序列之和一定是周期序列 。
2 8 N1 3 4 3
f (k ) sin k cos
k
2
信号的分类
能量信号与功率信号
假设信号f(t)在实际应用中是一个电路网络输出的电流或 者电压，将它施加在一个电阻值为1欧的负载电阻上，则在一 定时间间隔（t1,t2）里，负载电阻中消耗的信号能量为：
信号的分类
连续信号与离散信号
确定信号可以表示为确定的时间函数，如果在某一时间 间隔内，对于一切时间值，除了若干不连续点外，该函数都 给出确定的函数值，这个信号就称为连续信号（continuous signal）。
f(t)
1
T
0
-1
T/2
t
1 f (t ) 1
T 0t 2 T t T 2
信号的分类
连续信号与离散信号
离散信号（discrete signal）的时间函数只在某些不连续 的时间值上给定函数值。 这里的离散是指信号的定义域——时间域上是离散的。 它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。 在时间和取值上都连续的连续信号称为模拟信号 （analog signal）。 处理模拟信号的电路系统称为模拟电路。
f (t )
…
信号与函数二词常通用
2 1
…
-3
-1
1
3
5
t
信号的分类
连续信号与离散信号
确定信号可以表示为确定的时间函数，如果在某一时间 间隔内，对于一切时间值，除了若干不连续点外，该函数都 给出确定的函数值，这个信号就称为连续信号（continuous signal）。
f(t)
t
f (t ) cost
T
平均功率
如果信号的总能量为非零的有限值，则称其为能量信号 （energy signal） 如果信号平均功率为非零的有限值，则称其为功率信号 （power signal）
信号的分类
例1：周期函数，如正弦，余弦信号
W lim
T
T T
f 2 (t )dt
1 T 2 P lim T f (t )dt T 2T 1 2 sin 2 tdt 2 0 1 2 1 cos 2t dt 0 2 2 1 4
第一章 绪论
信号与线性系统 消息依附于某一物理量的变化上就构成信号； 消息：用约定方式组成的符号称为消息。 形式多样 消息 物理量 信号
第一章
绪论
基本概念：信号？？
系统？？
信号的概念：
信号（signal）：消息的载体，便于传输和处理。
电信号、光信号、声信号以及我们日常生活中所接触 到的各种图像信号、文字信号、生物医学信号等都是信号。 光信号：十字路口的红绿灯 电信号：有线电视接收到的电视信息 声信号：上课的铃声
信号的分类
例2：有限脉冲信号
f(t) 1 0 -1 1 t
W lim
1 0
T
T T
f 2 (t )dt
1dt 1
1 P lim T 2T 0
1 f (t ) 0
0 t 1 others
T
T
f 2 (t )dt
信号的分类
对于离散信号也有能量信号和功率信号之分
正弦序列不一定是周期序列
例1：判断下列信号是否为周期序列，若是，求其周期。
解： 序列由两个周期序列组成 sin 3k 4 的角频率和周期分别为
3k k （2） f (k ) sin cos 4 2
1 3 4 rad / s
cosk 2的角频率和周期分别为 2 1 2 rad / s N1 4 2 N1和N 2的最小公倍数为8，因此其周期为8。
信号的分类
连续信号与离散信号
离散信号（discrete signal）的描述
f(t)
1 2 3 4 f (k ) 3 2 1 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 其它
1
2 f (k ) cosk cosk 2 cos k 2 2 为整数时，信号的周期 N 当 2 2 为有理数时，信号的周期就是 N M 当 2 为无理数时，信号非周期 当
信号与线性系统
主讲： 俞菲 建雄院 211室 无线谷 5209室
信号与系统
考试形式： 平时成绩10% 期中成绩30% 期末成绩60% 考试内容： CH1-6，CH7-8，CH11
信号与系统
专业基础课
重要性 基础课程的应用
CH2: 电路分析 CH5：留数定理
未来学习的基础
数字信号处理、移动通信、数字通信
1 5rad / s
T1 2 5
sin t 的角频率和周期分别为 1 rad / s T1 2 2
T1和T2 的不存在最小公倍数，因此原信号不是周期信号
连续正弦信号一定是周期信号； 两个连续周期信号之和不一定是周期信号 。
例1：判断下列信号是否为周期序列，若是，求其周期。 （1） f (k ) cosk 解：
若满足 E
k
f (k ) 的离散信号称为能量信号
2
1 若满足 P lim N N
k N 2
N 2
f (k ) P 的离散信号称为功率信号 0
2
信号的分类
确定信号与随机信号
当信号是一确定的时间函数时，给定某个时间值，就可 以确定一相应的函数值，这样的信号是确定信号 （determinate signal）。 当带有信息的信号具有不可预知的不确定性，则是随机 信号（random signal）。随机信号不是一个确定的时间函数， 当给定某一时间值是，其函数值并不确定，而只知道信号取 某一数值的概率。 本课程主要讨论确定信号。
输入信号
转 换 器 调 制 发 射 机 信道 系 统 接 收 机 解 调 转 换 器
输出信号
第一章
绪论
基本概念：信号？？
系统？？
系统的概念：
一般而言，系统（system）是指由若干相互关联的 事物组合而成，具有特定功能的整体。
输入信号 转 调 换 激励 制 器 发 射 机 输出信号
系 信道 统
T1和T2 的最小公倍数为 2 ，故信号 f (t )的周期为2
两个周期信号x(t),y(t)的周期分别为T1,T2，若其周期 之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号， 其周期为T1和T2的最小公倍数。
例1：判断下列信号是否为周期信号，若是，求其周期。 （2） f (t ) cos5t sin t 解： 函数由两个周期函数组成 cos 5t 的角频率和周期分别为
本课程的重点
信号通过系统的响应
基本概念：信号
系统
信号的分解：利用基本信号通过系统响应的叠加 线性非时变系统的分析方法
第一章
绪论
基本概念：信号？？
系统？？
信号的概念：
消息（message）：用约定的方式组成的符号统称为消息 消息反映了外界状态的一种信息 信息（information）：用某种物理方式表达出来的，变化的消息 信息量：【收到的全部信息】—【已知的信息】= 【未知的信息】
0
1 2 3 4 5 67
t
f(k)={……,0,1,2,3,4,3,2,1,……}
0
信号的分类
周期信号与非周期信号
周期信号（periodic signal）是指对于任意的时间 点t，都满足：
N f (t ) f (t T )
N为整数
其中，T称为信号的周期 从直观上看，周期信号是一段长度为T的信号按照时间T不 断重复而构成的信号。 不满足上述特性的信号被称为非周期信号。
方波构成的周期信号
f(t) 1 T 0 -1
4
1
T/2 t
0<t<T/2 T/2<t<T
f(t)=
-1
4 5
4 f (t ) sin t sin 3t sin 5t sin(2n 1)t n 0 (2n 1)