边缘分布

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把第一行和最后一行拿出来就是Y的分布;把第一列 和最后一列拿出来就是X的分布。
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上,由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球,从中摸球,记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
X 的边缘分布函数
x
FX (x) F(x,)
f (x, y)d y d x,
F x x f t dt
fX (x)
f (x, y)d y.
X 的边缘概率密度.
同理可得Y的概率密度为:fY ( y) f ( x, y)dx
我们称
参量积分
f X ( x) f ( x, y)dy —(X,Y)关于X的边缘概率密度
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
X Y
x1 x2 xi
y1
p11 p21 pi1
y2
p12 p22 pi 2
yj
p1 j
pi 1,2,;
j 1
P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1
【补充例 】已知下列分布律求其边缘分布律.
y)dy
e
y
dy
x
0
x 0 ex
x 0 0
x0 ,
x0
Y 的密度函数 fY ( y) 为
y
fY
( y)
f
(x,
y)dx
0
e ydx
0
y 0 ye y
y 0 0
y0 .
y0
☺课堂练习
一 整 数N 等 可 能 地 在1, 2, 3,,10 十 个 值 中 取
一 个 值. 设 D D(N ) 是 能 整 除N 的 正 整 数 的 个 数,
y1 ( x )
a xb
0
else
例3.4设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f
(
x,
y)
1, 0,
0 x 1,| y | x 其它
求边缘概率密度fX(x)和fY(y). 解:f(x,y)的非零区域如图:
fX ( x)
f (x,
y)dy
x
dy,
x
0,
0
x 其它
1
2x,
0,
0 x1 其它
f
x,
y dy
x
0
f
x,
y dy
x
f
x,
y dy
.
x 24 y(2 x)dy 05
y
y x
12 x2(2 x), 综上 , 5
x x 0 x1x x
fX
x
12 5
x2 2
x,0
x
1,
注意取值范围
0 , , 其它.
下面求y的边缘概率密度
暂时固定
fY y
f x, ydx
y
当 y 1或 y 0时,对x ,, y
f (x, y)
1
x2 y2
e 2 (1 sin x sin y),

显 然, ( X ,Y ) 不 服 从 正 态 分 布,但 是
fX (x)
1
x2
e 2,
2
fY ( y)
1
y2
e 2.
2
因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合 分布不一定是二维正态分布.
四、小结
x
FX ( x) F ( x,)
0 ,
其它
暂时固定

fX x
f x, ydy
当 x 1或 x 0时 , y ,, y
都有 f x, y 0,故 fX x 0 .
y x
当 0 x 1时,
fX
x
0
f
x,
y dy
x x 0 x1 x x
x
0
f
x,
y dy
x
f
x,
y dy
.
当 0 x 1时,
fX
x
0
律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,.

pi• pij P{ X xi }, i 1,2,,
j 1
p• j pij P{Y y j }, j 1,2,,
i 1
分别称 pi• (i 1,2,) 和 p• j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y )
布。
解: (I)有放回摸球
X1
X2 0 1
0
33 55
32 55
1
23 22
5 55 5
PX2 ( y)
3 5
2 5
PX1 ( x)
3 5
2 5
1
(II)无放回摸球
X1
X2 0
1 PX1 ( x)
0
32 32 3 5454 5
1
23 21 2
5 45 4 5
PX2 ( y)
32 55
1
问题:联合分布(函数)与边缘分布(函数)有什么关系?
F F (N )是 能 整 除N 的 素 数 的 个 数.试 写 出D 和 F
的 联 合 分 布 律, 并 求 边 缘 分 布 律.
解 样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D
12 2324243 4
F
01 111 2111 2
由此得 D 和 F 的联合分布律与边缘分布律 :
样本点
D F
2ρ(
x
μ1 )( y σ1 σ2
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
x , y ,
其中 μ1, μ2 ,σ1,σ2 , ρ 都是常数,且 σ1 0, σ2 0, 1 ρ 1.
试求二维正态随机变量的边缘概率密度 .
二维正态分布的边缘分布
不难求得二维正态分布随机变量的边缘概率密
度为:
f (x, y)d y d x .
fX ( x)
f (x, y)d y.
y
FY ( x) F (, y)
f (x, y)d x d y.
fY ( y)
f (x, y)d x.
联合分布
边缘分布
练习 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x2 y x,
f (x, y) 0,
fX (x)
1
e
(
x1 212
)2
(
x
);
2 1
fY (y)
1
(x2 )2
e
2
2 2
( y ).
2 2
由此可知:二维正态分布的边缘分布均为一维正 态分布,且与参数ρ无关.
请同学们思考 边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分
布一定是二维正态分布吗?
答 不一定. 举一反例以示证明.
令 ( X ,Y )的联合密度函数为
y)
lim [
y
1
2
(arctan
x
2
)(arctan
y )]
2
1
2
(arctan
x
)
2
1
arctan
x
1, 2
- x
FY
(
y)
1
arctan
y
1 2
,
- y
设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,).
则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关
系得:
FX ( x) F( x,)
pij
xi x j1
又由一维离散型随机变量分布函数与分布律关系得:
FX ( x) P{X xi }
比较可得X的分布律为: xi x
P{ X xi } pij pi•
j 1
二、离散型随机变量的边缘分布律
定义 设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布
其它
注意取值范围
求二维随机变量(X,Y)的边缘密度函数的基本方法: y
1、画出 f ( x, y) 0 的区域。
2、定出x在密度函数的非零
值区域所对应的变化区间。
a
bx
3、在x的变化区间内画一条平行于y轴的直线,
定出y的积分范围 ( y1( x), y2( x))
f
X
(
x
)
y2 ( x) f ( x, y)dy
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义:
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 F x, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FX x, FY y, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x,
O
y x2
x

6( fY ( y)
y y), 0,
0 y 1, 其他.
练习: 设二维随机变量(X,Y)的概率密度
e y 0 x y
f (x, y) 0
其它
.
分别求 X 和 Y 的密度函数 fX (x) 和 fY ( y) .
解 X 的密度函数 fX (x) 为
fX
(x)
f
(x,
fY ( y) f ( x, y)dx —(X,Y)关于Y的边缘概率密度
显然,由联合概率密度可求得各个边缘概率密度, 只需对某一个变量在(-∞,+∞)上积分,但必须注意另 一个变量应在全体实数范围内取值.
例3 设 (X,Y) 的概率密度是
f
(x,
y)
24 5
y(2
x),
0 x 1,0 y x 求两个边缘密度 .
解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
XY 1 3 0 0 18 1 38 0 2 38 0 3 0 18
XY 0 1 2 3
PY y j
13 0 18 38 0 38 0 0 18
68 28
PX xi
18 38 38 18 1
你只要把每列的概率相加放在该列的最下面,把每行 的概率相加放在该行的最右面,就大功告成了。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
122324243 4 01 111 2111 2
FD
0 1 2
P{D i}
1234
1 10 0 0 0 0 4 10 2 10 1 10
0 0 0 2 10 1 10 4 10 2 10 3 10
或将边缘分布律表示为
P{F j}
1 10 7 10 2 10
FY y PY y PX ,Y y F , y
可通过联合分布函数求极限来确定边缘分布函数。
例1 设(X,Y)的分布函数为
F ( x,
y)
1
2
(arctan
x
)(arctan
2
y ),
2
x,
y
求关于X和Y的边缘分布函数FX(x)、FY(y).
解:
FX
(x)
lim F( x,
y
1
或将边缘分布律表示为
D1 2 3 4 pk 1 10 4 10 2 10 3 10
F0 1 2 pk 1 10 7 10 2 10
其他.
y
求边缘概率密度 fX ( x), fY ( y).
y x

fX (x)
f (x, y)d y
(1,1) y x2
O
x
x
6dy
x2
0
0
x
1
6( x
x2 ),
其他 0,
0 x 1, 其 他.
fY ( y)
f (x, y)d x
y
y
6dx
0 y1
0
其他
y
(1,1)
y x
第二节 二维随机变量的边缘分布
一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、小结
一、边缘分布函数
问题:已知 ( X ,Y ) 的分布, 如何确定 X ,Y 的分布?
F( x, y) P{X x,Y y} , F( x) P{X x}, P{X x} P{X x,Y } F( x,) FX ( x)
都有 f x, y 0,故 fY y 0 .
1
当0 y 1时,
y
fY
y
y
f
x,
ydx
0 y
1
y
f
x,
ydx
1
f
x,
ydx
.
y x y1 x
1 24
y 5 y(2 x)dx
24
y( 3 2 y
y2 ),
52
2
综上 ,
fY ( y)
24 5
y( 3 2
2y
y2 ),
2
0 y1
0,
YX
0
1
0 16
12
42 42
1 12
9
42 42
解: Y X 0
1
012 12
42
42
12
142
6 42
Pi• P{X xi }
4
3
7
7
P• j P{Y y j }
4
7 3
7
1
例2 把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ,而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .
fY ( y)
f (x,
y)dx
1
dx,
y 1
dx,
y
0,
1 y 0
0 y1 其它
1 y,
1
y,
0,
1 y 0 0 y1 其它
关于正态分布的量
设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
f (x, y)
1
2σ1σ2 1 ρ2
1
exp
2(1
ρ2
)
(
x
μ1 σ12
)2
结论:联合分布(函数)
边缘分布(函数)
但当X与Y相互独立时,联合分布(函数)与边缘分布
(函数)可相互确定.
由此可知: 联合分布不能由边缘分布唯一确定,也
就是说二维随机向量的性质并不能由它两个分
量的个别性质来确定,还必须考虑它们之间的
联系。
三、连续型随机变量的边缘分布
设(X,Y)为二维连续型随机变量,则
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