《简单复合函数的求导法则》参考教案

§5 简单复合函数的求导法则

一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。

二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用

教学难点：简单复合函数的求导法则的应用

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。

1. 常见函数的导数公式：

0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=

2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．

法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 '

2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ （二）、引入新课

海上一艘油轮发生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S (单位：m 2)是油膜半径r (单位：m)的函数：2)(r r f S π==。

油膜的半径r 随着时间t （单位：s ）的增加而扩大，假设r 关于t 的函数为12)(+==t t r ϕ。

油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少？

分析：由题意可得S 关于t 的新的函数：2)12())((+==t t f S πϕ。

油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数))((t f S ϕ=的导函数。

∵ )144()12())((22++=+=t t t t f ππϕ，

∴ )12(4)48(]))(([+=+='t t t f ππϕ。

又 r r f π2)(='， 2)(='t ϕ，

可以观察到 22)12(4⋅=+r t ππ，

即 )()(]))(([''='t r f t f ϕϕ。

一般地，对于两个函数)(u f y =和b ax x u +==)(ϕ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y 的值，这样y 可以表示成x 的函数，我们称这个函数为函数)(u f y =和)(x u ϕ=的复合函数，记作))((x f y ϕ=。其中u 为中间变量。 复合函数))((x f y ϕ=的导数为：

)()(]))(([''='='x u f x f y x ϕϕ (x y '表示y 对x 的导数)

复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数

复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．

例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？

⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =；⑶)4

cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ． 解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；

⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； ⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4

π

复合而成； ⑷函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成．

说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．

例2、求函数13+=x y 的导数。

解：引入中间变量13)(+==x x u ϕ，则函数13+=x y 是由函数21)(u u u f ==与)(x u ϕ= 13+=x 复合而成的。 根据复合函数求导法则可得：

()

1323321)()(13+=⋅=''='+x u x u f x ϕ 例3、求函数3)12(-=x y 的导数。

解：引入中间变量12)(-==x x u ϕ，则函数3)12(-=x y 是由函数3)(u u f =与)(x u ϕ= 12-=x 复合而成的。

根据复合函数求导法则可得：

()[]223)12(623)()(12-=⋅=''='-x u x u f x ϕ

注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.

例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y （单位：cm ）。关于时间t （单位：s ）的函数为12100)(+=

=t t h y ，求函数在t =3时的导数，并解释它的实际意义。

解：函数12100)(+=

=t t h y 是由函数x

x f 100)(=与12)(+==t t x ϕ复合而成的，其中x 是中间变量。 ∴22)12(2002100)()()(+-=⋅-

=''='='t x t x f t h y t ϕ。 将t =3代入)(t h '得： 49

200)3(-='h （cm/s ）。 它表示当t =3时，水面高度下降的速度为

49200 cm/s 。 （三）、小结 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代

（四）、练习：课本51P 练习.

（五）、作业：课本51P 习题2-5： 2、3、5

五、教后反思：