近似算法

0/1背包问题
多项式近似方案：

对于某正整数k，令 ε 1/k 。 算法 Aε 的步骤： maxv=0 for 物品集合每个大小<=k的子集S do 将S中的物品放入背包（放得下时）
• 算法原理及应用
对U-S(剩余的物品集合)运行算法KNAPSACKGREEDY if v>maxv then maxv=v // v为背包中物品的总价值 end for

改进的近似算法KNAPSACKGREEDY：
基本思想：先用贪心算法求解，然后将贪心算法的解值 与最大体积物品的价值进行比较，输出较大者。 算法KNAPSACKGREEDY：(P251) 算法15.3.doc

算法的近似度：R KNAPSACKGREEDY =2
近似算法—设计、分析及应用
具有多项式近似方案的问题
问题描述：设G=(V, E)是一个平面图，对图G的所有顶 点着色，使得任意一对相邻顶点的颜色都不同，最少要 用几种颜色？ 一个带差界K=1的近似算法： if G不含有边 then 输出１ else if G可２着色 then 输出２ else 输出４


近似算法—基本概念与性能
差界
困难结果—0/1背包问题
证明：
近似算法—基本概念与性能
相对性能界
近似比（性能比）：
定义
• 算法原理及应用

近似比以问题规模的函数为上界： R A (I) ρ(n) 近似比越小，近似算法解的精确度越高。
近似算法—基本概念与性能
相对性能界
相对误差：
问题П的近似算法A的相对误差定义为
A(I) OPT (I) RE A (I) OPT (I)
要求将这些项装到最少数目的单元容量的箱子中。
实例集DП：由所有集合 I= {s1 , s 2 , , s n 0 s i 1, i 1, 2,, n}
组成。
解集合SП(I): 由I的所有满足如下性质的子集集合
{B1 , B2 , , Bk } 组成：
解值 f σ σ k 。

近似算法的近似比与时间复杂性的关系
近似算法—基本概念与性能
多项式近似方案
近似方案
• 算法原理及应用

多项式近似方案
返回
近似算法—基本概念与性能
完全多项式近似方案
定义：
• 算法原理及应用

完全多项式近似方案一定是多项式近似方案，逆命题 不成立。 伪多项式时间与多项式时间
返回
近似算法—设计、分析及应用
背包的物品总价值最大。设每种物品或完全装入或完全
不装入背包。 不妨设每个sj <=C。
近似算法—设计、分析及应用
具有多项式近似方案的问题
0/1背包问题
贪心算法：

• 算法原理及应用
基本思想：将n个物品按单位体积价值降序排序，按此顺 序逐个将物品放入背包，直至所有物品都考虑过。 该算法为近似算法，无有界近似度。 例：
近似算法—设计、分析及应用
顶点覆盖问题
近似算法(VC)
算法的近似度： ：RVC=2。
• 算法原理及应用
近似算法—设计、分析及应用
困难结果：旅行商问题
许多问题不具有有界近似度。

• 算法原理及应用
例如：图的着色问题，团集问题，独立集问题，一般旅 行商问题等。


旅行商问题：给出n个城市，及各对城市间的距离， 求周游这n个城市的最短回路。

算法性能分析：该算法的绝对近似度满足
RA<=4/3-1/3m<4/3
近似算法—设计、分析及应用
装箱问题

• 算法原理及应用
问题描述：给出大小为s1, s2, …, sn的n个项的集合{u1,
u2, …, un}，其中0<= si<=1。要求将这n个项装入最少 数目的单位容量箱子中。

装箱问题也是一种划分问题。
• 算法原理及应用
，
I DΠ

相对误差界：若问题规模n的函数 ε(n)使得
RE A (I) ε(n)

则称 ε(n) 为近似算法A的相对误差界。 对于最小化问题, ε(n) <=ρ(n)-1
对于最大化问题, ε(n) <= 1-1/ ρ(n)

有的近似算法具有常量的近似比上界和相对误差界。
近似算法—基本概念与性能
（不妨设s1, s2, …, sn <=C）

子集和问题是0/1背包问题的特例：
每种物品的体积与价值数值相等：si= vi ，i=1,2,…n 背包容量取C

动态规划算法：算法15.4.doc (P253)
近似算法—设计、分析及应用
具有完全多项式近似方案的问题
子集和问题
完全多项式近似方案

• 算法原理及应用
问题描述： 设有一个容量为C的背包，n个物品的集合 U={u1, u2, …, un}，物品uj的体积和价值分别为sj和vj，C,
sj, vj都是正整数。在U中选择物品装入背包，使得装入
背包的物品总价值最大。设每种物品或完全装入或完全 不装入背包。

0/1背包问题不存在带差界的近似算法（除非P=NP）。
近似算法—设计、分析及应用
顶点覆盖问题

• 算法原理及应用
问题描述：给出一个无向图G=(V, E)，求图G的最小 顶点覆盖。
图G的一个顶点覆盖是V的一个子集C，使得E中每条边 至少和C中的一个顶点关联。 顶点覆盖问题是一个NP困难问题，其判定问题是NP完 全的。
近似算法—设计、分析及应用
近似算法—基本概念与性能
基本定义
组合优化问题（P244）
• 算法原理及应用

近似算法（P244）
近似算法—基本概念与性能
基本定义
• 算法原理及应用

例15.1 (P244)
装箱问题：给出一个由n个项组成的集合： {s1 , s 2 , , s n 0 s i 1, i 1, 2,, n}
多机调度问题

• 算法原理及应用
问题描述：设有n个相互独立的作业j1, j2, …, jn由m台 相同的处理机进行处理。作业ji所需的处理时间为ti, i=1, 2, …, n。约定每个作业均可在任何一台处理机上 处理，但未完成前不允许中断处理。要求给出一种作 业调度方案，使得n个任务在尽可能短的时间内由m台 处理机完成处理。 该问题的判定问题是一个NP完全问题，该问题本身是 一个NP困难问题，目前还未找到有效的精确算法。


递减最佳适配法(BFD)：首先将n个项按大小递减的顺 序排序，然后用BF法装箱。
近似算法—设计、分析及应用
装箱问题
近似算法的性能分析

• 算法原理及应用
对于装箱问题的所有实例I， RFF(I)<2。 更进一步的结果：


对于装箱问题的所有实例I，FF(I)<=(17/10)OPT(I)+2。

算法 Aε 的时间复杂性与近似度：定理15.4.doc
近似算法—设计、分析及应用
具有完全多项式近似方案的问题


• 算法原理及应用
有关概念
完全多项式近似方案
子集和问题
问题描述：给定一个正整数集合S= {s1, s2, …, sn}和一个 正整数C，求S的子集使得子集元素之和<=C且最大。
定理15.3 不存在关于旅行商问题的具有RA< 的近 似算法A，除非NP=P。
证明：定理15.3.doc
近似算法—设计、分析及应用
具有多项式近似方案的问题


• 算法原理及应用
有关概念
多项式近似方案
0/1背包问题
问题描述： 设有一个容量为C的背包，n个物品的集合
U={u1, u2, …, un}，物品uj的体积和价值分别为sj和vj，C, sj, vj都是正整数。在U中选择物品装入背包，使得装入

• 算法原理及应用
近似算法Aε ( ε 1/k ，k为某正整数）： 步骤： 令K=C/(2(k+1)n)， 对于任意的实例I， 1) 构造新实例I’： 2) 对于实例I’应用算法SUBSETSUM，Aε(I)=K*OPT(I’)。
近似算法—设计、分析及应用
欧几里得旅行商问题
近似算法—最小匹配法(MM)
算法：P248 算法15.1 算法的时间复杂性：Θ(n３) 算法的近似度：RMM<3/2。
• 算法原理及应用

一般的旅行商问题
算法MST和MM适用于图中的边长满足三角不等式的旅 行商问题，不适用于一般的旅行商问题。 算法NN适用于一般的旅行商问题。
顶点覆盖问题 近似算法(VC)

• 算法原理及应用
算法：(P249) 算法15.2 VCOVERAPPROX 输入：无向图G=(V, E)。 输出：G的一个顶点覆盖C。 C={ } while E<>{ } 任取E中的一条边e＝(u, v)， C=C {u, v}， 从E中删除e以及所有u或v相关联的边 end while end VCOVERAPPROX
近似算法—设计、分析及应用
欧几里得旅行商问题（EMST)

• 算法原理及应用
问题描述：给出一个由平面上n个点组成的集合S，求 这些点上的最短哈密顿回路（游程）。
哈密顿回路是经过每个点恰好一次的回路。

EMST问题是旅行商问题的特例，是一个NP困难问题。
基本思想：从S中任意一个点p开始，然后每次找未访 问的与当前点距离最近的点，直至所有的点都已访问。 算法NN无有界近似度，R NN ，RNN(I)=O(logn)。
（定理15.1 P247) 对于装箱问题的所有实例I， BF(I)<=(17/10)OPT(I)+2。


对于装箱问题的所有实例I，FFD(I)<=(11/9)OPT(I)+4。
（定理15.2 P247) 对于装箱问题的所有实例I，BFD(I)<=(11/9)OPT(I)+4。

RFF<2，R*FF= R*BF =17/10， R*FFD= R*BFD =11/9
B1 , B 2 , , B k 是I的不相交Leabharlann Baidu分，且 s 1 , j 1, 2, , k 。
sB j
近似算法—基本概念与性能
差界

• 算法原理及应用
设A是某问题的近似算法，若对于该问题的所有实例I 都有|A(I)-OPT(I)|<=K，K是某个常量，则称近似算法 A带有差界K。 一个已知差界的NP困难问题—平面图着色问题

近似算法—最近邻法(NN)：

近似算法—设计、分析及应用
欧几里得旅行商问题
近似算法—最小生成树法(MST)
算法步骤：
• 算法原理及应用
1) 以点集S的点为顶点，构造带权无向完全图G，G 中边上的权为相应两顶点间的欧氏距离; 2) 构造图G的最小生成树T; 3) 深度优先遍历（先序遍历）树 T得图G的顶点序列 L，返回由顶点序列L表示的哈密顿回路。 算法的时间复杂性：Θ(n2) 算法的近似度：RMST<2。

近似算法—设计、分析及应用
多机调度问题
近似算法A（一个贪心算法）

• 算法原理及应用
贪心选择策略：按处理时间从大到小的顺序将作业分配 给空闲的处理机。


实例１: n=7, m=3, t1~t7: 2, 14, 4, 16, 6, 5, 3
实例２：n=5, m=2, t1~t5: 6, 5, 4, 3, 2 近似算法A：贪心算法
相对性能界
绝对近似度与渐近近似度：
定义
• 算法原理及应用

许多问题没有带绝对近似度与渐近近似度的近似算法。
近似算法—基本概念与性能
相对性能界


• 算法原理及应用
近似比与绝对近似度:
若 I D Π , R A (I) r ，则 R A r 。
近似比与相对近似度:
若对于某个正整数N， I D Π , OPT (I) N, 有R A (I) r ， 则 R r 。 A
近似算法—设计、分析及应用
装箱问题
• 算法原理及应用

近似算法：
最先适配法(FF)：箱子编号为1, 2, …, n，初始时各箱子 为空。各项按u1, u2, …, un的顺序装箱，装项ui时，将其 装入序号最小的可容得下该项的箱子中（即装入满足 l<= 1-si的序号最小的箱子中，其中l表示箱子的已填充 容量）。 最佳适配法(BF)：与FF法类似，不同之处仅在于装项ui 时，将其装入满足l<= 1-si的箱子中使l值最大的箱子中。 递减最先适配法(FFD)：首先将n个项按大小递减的顺序 排序，然后用FF法装箱。
算法原理及应用
——近似算法
近似算法
内容


• 算法原理及应用
近似算法的基本概念
近似算法的性能 近似算法的设计与分析

近似算法的应用例子
近似算法—基本概念与性能

• 算法原理及应用
近似算法是求解困难问题的一个有效途径。


近似算法给出的解是近似最优解。
许多近似算法是贪心算法，其特点是效率高。