理论力学(矢量运算基本知识)
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解:(1) a+b = (3+1)i + (4+2) j + (5+5) k
= 4i + 6j + 10k (2) ab = 3×1 + 4×2 + = 36 5(3×) 5a×b = 3i ×(i + 2j +5k)+ 4j ×(i + 2j +5k)
= (6k+-155kj) ×+ ((-i4+k2+j 2+05ik))+ (5j -10i)
解:
aA
m2 m1 m1 m2
g
O
y
A
aA aB
xA xB c xA xB 0
B
xA xB 0
即: aA aB
x
16
例题3.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块D和E 的质量分别为m1和m2 且m1< m2 ,试求物块E的加速度.
解: 2xA xE c 2xA xE 0 2xA xE 0
= 10i -10j +2k
12
i jk ab 3 4 5
125
4552i 5135 j 32 41k
= 10i -10j +2k
(4) b0 i 2 j 5k 1 i 2 j 5k
1 22 52
30
ab
a b0
k×i = j
7
5.矢量的导数
A A A0
dA dt
d dt
A
A0
dA A0 A d A0
dt
dt
y
(1)旋转单位矢量的导数
r
矢量r 绕垂直于x y平面
0
j
ro
过o点的z 轴以角速度逆
o
i
x
时针旋转,单位矢量ro和o
亦同样旋转.
8
r0 i cos j sin
y
r
0 i sin j cos
d
(1)
0 j ro
k dt
oi
x
k r0 k i cos k j sin
j cos i sin 0 (2)
k k i sin k j cos
(6)
dt
10
(2)旋转矢量的导数
d R d r r
dt dt
dr dr dt dt
r
R
o r´
r r (r r)
R
Leabharlann Baidu
11
例题1.矢量 a = 3i + 4j +5k , b = i + 2j +5k 求:(1) a+b (2) ab (3) a×b (4) ab (5) ba
D
x
18
对上述各式微分得: dxE + 2 dxA = 0
2 dxB - dxA = 0 2 dxC - dxB = 0
dxD - dxC = 0
8dxD = -d xE
计算速度和加速度得: 8vD= - vE 8aD= - aE
二.绪论
1.理论力学的研究对象 (1)机械运动 (2)质点,质点系,刚体和多刚体系统 (3)静力学,运动学,动力学和分析力学概论
2.理论力学的学习目的 3.理论力学的研究方法 4.理论力学的学习方法
15
例题2.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块A和B
的质量分别为m1和m2 且m1< m2 ,试求物块A的加速度.
O
y
A
即: 2aA aE
D E
x
17
例题4.图示滑轮系统,已知物体E的运动方程为 xE = 2t +t2 ,求t = 4s时物体D的速度和加速度.
解:利用绳长不变的约 束条件得:
O
y
xE+2xA= c1
A
xB+(xB - xA) = c2
B E
xC+(xC - xB) = c3
C
xD - xC =c4
(2)直角坐标中的解析表示
a = i ax + j ay + k az b = i bx + j by + k bz a·b = ax bx + ay by + az (3)b矢z 量的投影
矢量A在直线 l 上的投影 Al Al0
5
(4)合矢量投影定 理
若R = i Rx+ j Ry+k Rz
ai = i aix+ jaiy + kaiz R = ai
则有: Rx= aix Ry= aiy Rz= aiz
4.矢量的矢积
(1)定义: c = a × b
c
c a b sin a b
b
(2)直角坐标中的解析表示
a
6
i jk a b ax ay az
bx by bz
j sin i cos r 0 (3)
9
d r0 i sin j cos d
dt
dt
d 0 d k r0
dt
dt
k d r0 r0
(5)
dt
同理: d
理论力学
(0)
1
内容提要
一.矢量运算的基本知识 1.单位矢量 2.矢量的加法 3.矢量的标积 4.矢量的矢积 5.矢量的导数
二.绪论
1. 理论力学的研究对象 2. 理论力学的学习目的 3. 理论力学的研究方法 4. 理论力学的学习方法
2
一.矢量运算的基本知识
1.单位矢量: ro r
r
(r>0)
直角坐标系中的
z
单位矢量:
i , j ,k
3
k
O
j
i
x
r
r0
y
2.矢量的加法
a
R
(1)平行四边形法
R=a+b
(2)三角形法 a
o
(3)多边形法 R=c+a+b R=a+b+c R=b+c+a
4
o b R
c
b
b
R=b+a
R a
ob
a
c
bR
a
b
c a
3.矢量的标积
(1)定义:a b a b cos a b c
ab b
31 4 2 5 5 36
1 22 52
30
13
(5) a0 3i 4 j 5k 3i 4 j 5k
32 42 52
25
ba
b a0
ba a
1 3 2 4 5 5 18
32 42 52
5
14
z
k
j
O
i
y
x
i aybx axby jazbx axbz
k axby aybx
(3)直角坐标系中单位矢量的标积和矢积
i·i = j·j = k·k = 1 i·j = i·k = j·k = 0
i×i = j×j = k×k = 0
i×j = k
j×k = i
= 4i + 6j + 10k (2) ab = 3×1 + 4×2 + = 36 5(3×) 5a×b = 3i ×(i + 2j +5k)+ 4j ×(i + 2j +5k)
= (6k+-155kj) ×+ ((-i4+k2+j 2+05ik))+ (5j -10i)
解:
aA
m2 m1 m1 m2
g
O
y
A
aA aB
xA xB c xA xB 0
B
xA xB 0
即: aA aB
x
16
例题3.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块D和E 的质量分别为m1和m2 且m1< m2 ,试求物块E的加速度.
解: 2xA xE c 2xA xE 0 2xA xE 0
= 10i -10j +2k
12
i jk ab 3 4 5
125
4552i 5135 j 32 41k
= 10i -10j +2k
(4) b0 i 2 j 5k 1 i 2 j 5k
1 22 52
30
ab
a b0
k×i = j
7
5.矢量的导数
A A A0
dA dt
d dt
A
A0
dA A0 A d A0
dt
dt
y
(1)旋转单位矢量的导数
r
矢量r 绕垂直于x y平面
0
j
ro
过o点的z 轴以角速度逆
o
i
x
时针旋转,单位矢量ro和o
亦同样旋转.
8
r0 i cos j sin
y
r
0 i sin j cos
d
(1)
0 j ro
k dt
oi
x
k r0 k i cos k j sin
j cos i sin 0 (2)
k k i sin k j cos
(6)
dt
10
(2)旋转矢量的导数
d R d r r
dt dt
dr dr dt dt
r
R
o r´
r r (r r)
R
Leabharlann Baidu
11
例题1.矢量 a = 3i + 4j +5k , b = i + 2j +5k 求:(1) a+b (2) ab (3) a×b (4) ab (5) ba
D
x
18
对上述各式微分得: dxE + 2 dxA = 0
2 dxB - dxA = 0 2 dxC - dxB = 0
dxD - dxC = 0
8dxD = -d xE
计算速度和加速度得: 8vD= - vE 8aD= - aE
二.绪论
1.理论力学的研究对象 (1)机械运动 (2)质点,质点系,刚体和多刚体系统 (3)静力学,运动学,动力学和分析力学概论
2.理论力学的学习目的 3.理论力学的研究方法 4.理论力学的学习方法
15
例题2.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块A和B
的质量分别为m1和m2 且m1< m2 ,试求物块A的加速度.
O
y
A
即: 2aA aE
D E
x
17
例题4.图示滑轮系统,已知物体E的运动方程为 xE = 2t +t2 ,求t = 4s时物体D的速度和加速度.
解:利用绳长不变的约 束条件得:
O
y
xE+2xA= c1
A
xB+(xB - xA) = c2
B E
xC+(xC - xB) = c3
C
xD - xC =c4
(2)直角坐标中的解析表示
a = i ax + j ay + k az b = i bx + j by + k bz a·b = ax bx + ay by + az (3)b矢z 量的投影
矢量A在直线 l 上的投影 Al Al0
5
(4)合矢量投影定 理
若R = i Rx+ j Ry+k Rz
ai = i aix+ jaiy + kaiz R = ai
则有: Rx= aix Ry= aiy Rz= aiz
4.矢量的矢积
(1)定义: c = a × b
c
c a b sin a b
b
(2)直角坐标中的解析表示
a
6
i jk a b ax ay az
bx by bz
j sin i cos r 0 (3)
9
d r0 i sin j cos d
dt
dt
d 0 d k r0
dt
dt
k d r0 r0
(5)
dt
同理: d
理论力学
(0)
1
内容提要
一.矢量运算的基本知识 1.单位矢量 2.矢量的加法 3.矢量的标积 4.矢量的矢积 5.矢量的导数
二.绪论
1. 理论力学的研究对象 2. 理论力学的学习目的 3. 理论力学的研究方法 4. 理论力学的学习方法
2
一.矢量运算的基本知识
1.单位矢量: ro r
r
(r>0)
直角坐标系中的
z
单位矢量:
i , j ,k
3
k
O
j
i
x
r
r0
y
2.矢量的加法
a
R
(1)平行四边形法
R=a+b
(2)三角形法 a
o
(3)多边形法 R=c+a+b R=a+b+c R=b+c+a
4
o b R
c
b
b
R=b+a
R a
ob
a
c
bR
a
b
c a
3.矢量的标积
(1)定义:a b a b cos a b c
ab b
31 4 2 5 5 36
1 22 52
30
13
(5) a0 3i 4 j 5k 3i 4 j 5k
32 42 52
25
ba
b a0
ba a
1 3 2 4 5 5 18
32 42 52
5
14
z
k
j
O
i
y
x
i aybx axby jazbx axbz
k axby aybx
(3)直角坐标系中单位矢量的标积和矢积
i·i = j·j = k·k = 1 i·j = i·k = j·k = 0
i×i = j×j = k×k = 0
i×j = k
j×k = i