2021版高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲简单几何体的再认识(表面积与体积)练习理北师大版

第5讲 简单几何体的再认识（表面积与体积）

[基础题组练]

1．圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS

D ．233

πS

解析：选A.由πr 2

＝S 得圆柱的底面半径是S π

，故侧面展开图的边长为2π·S

π

＝2πS ，所以圆柱的侧面积是4πS ，故选A.

2．已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为( )

A ．5

B ． 5

C ．9

D ．3

解析：选B.因为圆锥的底面半径R ＝4，高h ＝3，所以圆锥的母线l ＝5，所以圆锥的侧面积S ＝πRl ＝20π.设球的半径为r ，则4πr 2

＝20π，所以r ＝5，故选B.

3．(2020·安徽黄山一模)如图所示为某几何体的三视图，则几何体的体积为( )

A.12 B ．1 C.32 D ．3

解析：选B.

由主视图可得如图的四棱锥P ­ABCD ，其中平面ABCD ⊥平面PCD . 由主视图和俯视图可知AD ＝1，CD ＝2，P 到平面ABCD 的距离为3

2

.

所以四棱锥P ­ABCD 的体积为V ＝13×S 长方形ABCD ×h ＝13×1×2×3

2

＝1.故选B.

4．(2020·河南郑州三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.5π

3 B ．4π3

C.π3

D ．2π3

解析：选D.

几何体是半个圆柱挖去半个圆锥所形成的，如图，

由题意可知几何体的体积为：12×12·π×2－13×12×12·π×2＝2π

3

.故选D.

5．(2020·广东茂名一模)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，

D 1B 与DC 所成的角是60°，则长方体的外接球的表面积是( )

A ．16π

B ．8π

C ．4π

D ．42π

解析：选A.如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，因为DC ∥AB ，所以相交直线D 1B 与AB 所成的角是异面直线D 1B 与DC 所成的角．

连接AD 1，由AB ⊥平面ADD 1A 1，得AB ⊥AD 1，所以在Rt △ABD 1中，∠ABD 1就是D 1B 与DC 所成的角，即∠ABD 1＝60°，又AB ＝2，AB ＝BD 1cos 60°，

所以BD 1＝AB

cos 60°＝4，设长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1外接球的半径为R ，则由长方体的体对

角线就是长方体外接球的直径得4R 2

＝D 1B 2

＝16，则R ＝2，

所以长方体外接球的表面积是4πR 2

＝16π.故选A.

6．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是________．

解析：

因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图， 由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2，

取正方形的中心O ，AD 的中点E ，连接PO ，OE ，PE ，可知PO 为正四棱锥的高，△PEO 为直角三角形，则正四棱锥的斜高PE ＝22

＋12

＝ 5.

所以该四棱锥的侧面积S ＝4×1

2×2×5＝4 5.

答案：4 5

7.已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为________．

解析：设圆锥SO 的底面半径为r ，高为h ，则圆柱PO 的底面半径是r

2，

高为h

2

，

所以V 圆锥SO ＝13πr 2

h ，V 圆柱PO ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·h 2

＝πr 2

h 8，所以V 圆柱PO V 圆锥SO ＝38.

答案：3

8

8．已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．

解析：如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，连接PE ，

因为△ABC 是正三角形，

所以AE 是BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心． 因为AB ＝BC ＝23，

所以S △ABC ＝33，DE ＝1，PE ＝ 2.

所以S 表＝3×1

2×23×2＋33＝36＋3 3.

因为PD ＝1，所以三棱锥的体积V ＝1

3

×33×1＝ 3.

设球的半径为r ，以球心O 为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小棱锥，

则r ＝33

36＋33＝2－1.

答案：2－1

9．已知一个几何体的三视图如图所示．

(1)求此几何体的表面积；

(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段的中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．

解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．

S 圆锥侧＝12

(2πa )·(2a )＝2πa 2， S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2， S 圆柱底＝πa 2，

所以S 表＝2πa 2

＋4πa 2

＋πa 2

＝(2＋5)πa 2

. (2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．

则PQ ＝AP 2

＋AQ 2

＝a 2

＋（πa ）2

＝a 1＋π2

， 所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2

.

10.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD . (1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；