6 扭转内力和应力计算

•扭矩符号：
向截面看：逆时针为正，顺时针为负 (或：右手螺旋规则)。
单位：N· m, kN· m（与力偶相同）
Me
m
T
T'
m’
B
A m
m’
Me
•截面法： ①取隔离体； ②画受力图（内力用合力表示）； ③列平衡方程。
Mx 0
T Me 0 T M e
Me
m
T
A m
x
3．扭矩图 t
t 2t
3t
t
x
t
t
基 线
画法与轴力图类似：
①注大小、符号； ②基线以上为正，以下为负。
§4-4 圆轴扭转时截面上的应力分析
1. 实验现象
1 4 2 3
x
Me
1
4 4
2 3
x
Me
①纵向线转动； ②圆周线转动，但仍在原来的平面内。
2. 推论：
①截面只有剪应力，无正应力； ②剪应力方向是沿周边切线方向； ③平面假定。 Me
5.剪应力分析：
剪应力沿半径分布是变化的（未知）因此， 以剪应变入手分析。
①几何关系：（确定剪应变的分布） T
o 1 4
d
2 o’ 2’ 3 3’
T
dx 讨论距0-0’轴为的lmnp面
o
R

l
d
m m’ n
n’
o’

mm' d （剪切角） dx dx

( mm ' d )
4.剪切虎克定律：
①剪应变： 在剪应力作用下，单元体直角 边的角位移，用表示。
（—圆轴表面纵向直线的转角)

②剪切虎克定律：


Me
G
1
2 3
x
Me
4 4
E G — 剪切弹性模量 2( 1 ) ( 量纲同E [力/长度2] )
E—弹性模量 —泊松比（由拉压实验就可确定G）
dA
o
dA

A
dA T
(4)
扭矩T以剪应力形式 分布整个截面
(3)代入(4), 积分后得：
T G Ip
(5)
实心圆截面
Ip
D 4
32
空心圆截面
Ip
( D4 d 4 )
32
(5)代入(3)：
T I
(6)
剪应力计算公式
结论：
•圆截面剪应力与T 成正比，与I 成反比； •与圆心等距离圆周上剪应力相等； •最大剪应力发生在表面。
d — 扭转角沿杆 令 dx
1

p
2
2’
4
dx
3
3’
长的变化率 (1)
— 几何方程
结论：剪应变与到0-0’轴的距离成正比，杆轴上 剪应变为零，表面剪应变最大。
②物理关系：(剪切虎克定律)
G
G
— 物理方程
(2)
(3)
（1）代入（2）：
③平衡条件：（确定剪应力与扭矩的关系）
2. 校核螺栓抗剪强度：
FS F /4 100 10 3 / 4 124MPa [ ] 2 2 A d / 4 0.016 / 4
§4-2 扭转的概念
1. 扭转变形：
Me
Me
• 变形：任意截面绕轴线的相对转动。
• 原因：由一对作用在垂直杆轴线平面内的力偶。
Me=Pd
y
x
z
3.剪应力互等定律
Me y x
dz dy
y
x
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,,
, a x
y
,,
b
y
o ,
d
c
x
z
①单元体平衡：
z 单元abcd面位于圆截面上
" y
dx
X 0:
dxdz dxdz 0
' y
'y " y
" ' Y 0 : dydz x x dydz 0
max
T R Ip
④剪应力分布：
T I

R
P
d
举例：
P
Me
Me
2．名词：
•扭转角：两截面之间的相对转角。
(与截面相对位置有关）
•剪切角：杆件表面纵向直线的转角。
(与截面相对位置无关）
Me


Me
§4-3 扭转的内力、扭矩图
1. 扭矩
A
Me
Me
m m m
T
T'
B
Me
x
m’
B m’
Me
A m
扭矩：使产生扭转的内力偶矩称为扭矩。
2. 扭矩计算
作业5
(11月3日交）
《材料力学》
3-8 (2) (3), 3-10，3-12
例：校验板的抗拉强度及 螺栓的抗剪强度。 F F = 100 kN, 板厚 d=8mm, 板宽 b=100mm, 螺栓直径 d=16mm。容许应力： []=200MPa, []=145MPa
F
1. 校核板抗拉强度：
F 100 10 3 100 10 3 184MPa [ ] A d (b 2d ) 0.008(0.1 0.016 2)
'x " x

' " ' M oz 0 : " dxdz dy dydz dx 0 x y y x
y dz dy
x
,,
y
a
,,
b x
x,
c
y
o ,
z
dx d
②定律： 在相互垂直的两个面上，剪应力必然成对出现， 而且大小相等方向指向（或背离）两面的交线。