洛朗级数展开习题精讲

则
1
e1z
e1e(122...)
用到的已知的展开：
注意
1
百度文库n(在 0z1泰 勒 展 开 )
1z n0
--
我们知道 e z 在原点邻域上的展开式为
ez1zk11z1z21z3...
k0k!
1! 2! 3!
所以
(1 2 ...)
--
§3.5 洛朗(Laurent)级数展开
已知：当f(z)在圆|z-z0|<R内解析时，Taylor定 理告诉我们， f(z)可展开成幂级数。
问题的提出 为了研究函数在奇点附近的性质，需要函数在
孤立奇点z0邻域上的展开式。 考虑：当f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否
展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
定理3：设函数f(z)在环状区域R2<|z-z0|<R1的内 部单值解析，则对于环内任一点z，f(z)
必可展开成 f(z) ak(zz0)k ，其中 k
ak 21 i C( f(z0))k1d
称为洛朗系数，C为环域 内按逆时针方向绕内圆 一周的任一闭合曲线(也 可取圆周)
--
几点说明：
(1) z=z0(即展开中心)可能不是f(z)的奇点，但
(2)若R1>R2，则双边幂级数就在R2<|z-z0|<R1环
状区域内收敛，环状收敛域称为收敛环。 双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外 发散，在环上敛散性不定。
--
正则部分 ak (z z0)k k0
主要部分 ak (z z0)k k1
1
z z0
收敛环
--
R2<|z-z0|<R1
则 a 1 a 22a 33 ...
设 | | R 1
R2
→ |zz0|R 2 ， R 20
即负幂部分在|z-z0|=R2的圆外收敛。
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由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数 的敛散性来定义原级数的敛散性。 规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛 时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级 数与负幂项级数的和。 讨论： (1)若R1<R2，则双边幂级数处处发散，
--
教学目的与要求: 了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰 勒级数的关系,掌握解析函数在孤立奇点邻域内的洛 朗展式的求法.
重点: 解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域 内的洛朗展式的求法.
难点：解析函数的洛朗展式的证明.
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一、双边幂级数(含有正、负幂项)
ak(zz0)k
k
. ..ak(zz0)k . ..a2(zz0)2a1(zz0)1 a0a1(zz0)a2(zz0)2. ..ak(zz0)k . . .
ez1zk 1 1z1z2 1z3 ..z .| ( |)
k 0k !
1 ! 2 ! 3 !
把z全换成1/z,可得到以下结果:
--
e 1 z k 0k 1 ! 1 z k 1 1 1 !1 z 2 1 !z 1 2 3 1 !z 1 3 ...(|1 z| )
用1-z去换上式中的z得到：
--
例1
求函数
f
z
z2 2z5 (z2)(z2 1)
在圆环1| z | 2 的洛
朗级数。
解 在 圆 环 1 |z| 2 内 |2 z | 1 , z 1 2 1 于 是 有 洛 朗 级 数
fzz 12z2 2 1 1 21 1 z/2z 2 21 1 z2
12n 02znn 0(1)n
域R2<|z-z0|<R1内的洛朗级数也具有。
在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导、逐项积
分、和函数是解析函数。--
求洛朗展开式的系数Cn 洛朗展开式的系数Cn用公式计算是很麻烦的，
由洛朗级数的唯一性，我们可用别的方法，特别 是代数运算、代换、求导和积分等方法展开，这 样往往更便利(即间接展开法) 。 同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一 般不同；由洛朗级数的唯一性可知，同一个函数 在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。
1
e1z
k0
1
1
k
k!1z
11 1 1!1z
21!(11z)2
11 3!(1z)3
...(|
1 1z
|)
--
即
1
e1z
1
1 (0|1z|)
k0k!(1z)k
(0|z|既 是 z1的 去 心 领 域 ， 又 是 以 z1为 中 心 点 的 去 心 领 域 )
--
当（ 1z ）时令1z可得 01
2 z2n2
注意
--
12n 02zn
(1)n
n1
2 z2n
作业题的错误集中在后半边的展开，特别是
原因应该是没有熟练掌握已有的展开
用到已有的展开：
1
zn(在 0z1泰 勒 展 开 )
1z n0
--
例2 将函数在指定去心领域内展成洛朗级数 并指出收敛范围 1
e1z,z1及z
我们知道 e z 在原点邻域上的展开式为
其中
正幂部分称为ak (z z0)k解析(正则)部分， k0
负幂部分称为ak (z z0)k主要(无限)部分。 k1
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收敛区域(环)的确定：
正则部分ak (z z0)k收敛(圆) k0
区域为：|z z0| R 1 (0 R 1 )
负幂部分 ak(zz0)k k1
令 1
z z0
ak (z z0)为k f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛
朗k展 开式。若f(z)在z0不解析(不可微或无意义)， 而在去心邻域0<|z-z0|<ε内解析，则称z=z0是f(z) 的孤立奇点。若在z0无论多么小的邻域内，总有除 z0外的奇点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环
在|z-z0|≤R2上，存在奇点(即内圆以内存在
奇点)；
(2)
洛朗系数 ak
f (k) (z0) k!
，因为
f(k)(z0)2k!i C( f(z0))k1d
成立的条件是f(z)在C内解析；
(3) 洛朗展开的唯一性；
--
(4) 如果只有环心z0是f(z)的奇点，则内圆半径可 以任意小，同时z可以无限地接近z0点，这时就称
双边幂级数的性质
定理1：双边幂级数ak (z z0)k k
在收敛环上的和函数是一解析函
数，并且在任意较小的闭圆环上
R 2 R 2 |z z0| R 1 R 1 一致收敛。
定理2：设双边幂级数 f(z) ak(zz0)k k
的收敛环B为R2<|z-z0|<R1，则f(z)
(1) 在B内连续； (2) 在B内解析，且逐项可导； (3) 在B内可逐项积分。--