电磁场与电磁波--麦克斯韦方程组

代入麦克斯韦方程组中，有
限定形式的麦克斯韦方程
r H
r E
t
(
r E
r
t
(
r H
)
(H) 0
r
( E)
r E)
（线性、各向 同性均匀媒质）
rr
H E
r E
r H
r
t
H 0
r
E /
r E t
2.6 麦克斯韦方程组
时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激 发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源， 相互激发。
r H
x
y
z
erx
H y z
erx
k 2 Em
sin(t
kz)
Hx Hy Hz
r
D t
erx
Dx t
erx Em sin(t kz)
由
r H
r D
t
k 2 2
2.6 麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组 —— 宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场的 基本方程。
2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式
在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为 零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播， 这就是电磁波。
2.6 麦克斯韦方程组
在无源空间中，两个旋度方程分别为
r H
r D t
,
r E
r B t
可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场
和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的旋
r
D
麦克斯韦第一方程，表明传导电流 和变化的电场都能产生磁场
麦克斯韦第二方程，表明变 化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是无源 场，磁感线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程，表明 电荷产生电场
2.6 麦克斯韦方程组
2.6.3 媒质的本构关系
各向同性线性媒质的本构关系为
rr
D E
rr
B H
rr
J E
2.6 麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组 —— 宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场的 基本方程。
2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式
rr
ÑC H dl
rr
ÑC E dl rr
ÑS Br
dS r
Ñ S D dS
r
S (J
r
S
B t
r D t
r dS
0
V ρdV
)
r dS
Ñ S
S
D t
dS
U m
d
cos(t)S0
CU m
cos(t)
ic
式中的S0为极板的面积，而
S0 C
d
为平行板电容器的电容。
( 2 ) 以 r 为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭
合线的磁场相等，故
rr
Ñc H gdl 2 rH
与闭合线铰链的只有导线中的传导电流 ic CUm cos(t)，故得
r E
相应的其他场矢量。
解：Er
是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦
r
方程组可以确定 k 与ω 之间所满足的关系，以及与 E相应的其他场矢量。
r B
r r r r r
t E (ex x ey y ez z ) exEx
er y
Ex z
er y
z
Em
cos(t kz)
r H
r
t
H 0
r
E /
r E t
2.6 麦克斯韦方程组
时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激 发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源， 相互激发。
时变电磁场的电场和磁场不再相 互独立，而是相互关联，构成一 个整体 —— 电磁场。电场和磁 场分别是电磁场的两个分量。
r H
r D t
来自百度文库
,
r E
r B t
可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场
和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的旋
涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过
来又使电场减小。
2.6 麦克斯韦方程组
小结： 麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象。 麦克斯韦方程组
解：( 1 ) 导线中的传导电流为
ic
C
du dt
=
C
d dt
[U m
sin(t)]
CUm cos(t)
忽略边缘效应时，间距为d 的两平行板之 间的电场为E = u / d ，则
D E Um sin(t)
d
ic
r
C
u
P
平行板电容器与交 流电压源相接
2.6 麦克斯韦方程组
则极板间的位移电流为
erykEm sin(t
kz)
对时间 t 积分，得
r B
r ey
kEm
cos(t
kz)
2.6 麦克斯韦方程组
rr
B = H
r H
r ey
kEm
cos(t
kz)
rr
D E
r D
erx
Em
cos(t
kz
)
rr 以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H和 D 代入式
erx ery erz
2πrH CUm cos(t)
r H
er H
er
CU m
2πr
cos(t)
2.6 麦克斯韦方程组
r
例 2.6.2 在无源 (J 0、 0) 的电介质 ( 0)中，若已知电场强度矢
量
r E
erx
Em
试确定k与ω
cos(t kz) V/m ，式中的E0为振幅、ω为角频率、k为相位常数。
之间所满足的关系，并求出与
时变场
0 t
迅变场
缓变场
B 0 t
电磁场 (EM)
准静电场 (EQS)
D 0 t
准静磁场 (MQS)
静电场 (ES)
静态场
0 t
恒定电场 (SS)
静磁场 (MS)
2.6 麦克斯韦方程组
例 2.6.1 正弦交流电压源 u Um sin t 连接到平行板电容器的两个
极板上，如图所示。(1) 证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传 导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为r 处的磁场强度。
ic
C
du dt
=
C
d dt
[U m
sin(t)]
CUm cos(t)
忽略边缘效应时，间距为d 的两平行板之 间的电场为E = u / d ，则
D E Um sin(t)
d
ic
r
C
u
P
平行板电容器与交 流电压源相接
2.6 麦克斯韦方程组
则极板间的位移电流为
id
rr S Jd dS
时变电磁场的电场和磁场不再相 互独立，而是相互关联，构成一 个整体 —— 电磁场。电场和磁 场分别是电磁场的两个分量。
在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为 零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播， 这就是电磁波。
2.6 麦克斯韦方程组
在无源空间中，两个旋度方程分别为
r H
x
y
z
erx
H y z
erx
k 2 Em
sin(t
kz)
Hx Hy Hz
r
D t
erx
Dx t
erx Em sin(t kz)
由
r H
r D
t
k 2 2
作业：思考题 : 2.16, 2.18 习 题 : 2.20, 2.22
erykEm sin(t
kz)
对时间 t 积分，得
r B
r ey
kEm
cos(t
kz)
2.6 麦克斯韦方程组
rr
B = H
r H
r ey
kEm
cos(t
kz)
rr
D E
r D
erx
Em
cos(t
kz
)
rr 以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H和 D 代入式
erx ery erz
r E
相应的其他场矢量。
解：Er
是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦
r
方程组可以确定 k 与ω 之间所满足的关系，以及与 E相应的其他场矢量。
r B
r r r r r
t E (ex x ey y ez z ) exEx
er y
Ex z
er y
z
Em
cos(t kz)
恒定电场 (SS)
静磁场 (MS)
2.6 麦克斯韦方程组
例 2.6.1 正弦交流电压源 u Um sin t 连接到平行板电容器的两个
极板上，如图所示。(1) 证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传 导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为r 处的磁场强度。
解：( 1 ) 导线中的传导电流为
r J
r dS
V
t
dV
2.6 麦克斯韦方程组
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
r H
r E
r
r J
r rDt
B t
B 0
r
D
麦克斯韦第一方程，表明传导电流 和变化的电场都能产生磁场
麦克斯韦第二方程，表明变 化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是无源 场，磁感线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程，表明 电荷产生电场
2πrH CUm cos(t)
r H
er H
er
CU m
2πr
cos(t)
2.6 麦克斯韦方程组
r
例 2.6.2 在无源 (J 0、 0) 的电介质 ( 0)中，若已知电场强度矢
量
r E
erx
Em
试确定k与ω
cos(t kz) V/m ，式中的E0为振幅、ω为角频率、k为相位常数。
之间所满足的关系，并求出与
rr
ÑC H dl
rr
ÑC E dl rr
ÑS Br
dS r
Ñ S D dS
r
S (J
r
S
B t
r D t
r dS
0
V ρdV
)
r dS
Ñ S
r J
r dS
V
t
dV
2.6 麦克斯韦方程组
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
r H
r E
r
r J
r rDt
B t
B 0
涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过
来又使电场减小。
2.6 麦克斯韦方程组
小结： 麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象。 麦克斯韦方程组
时变场
0 t
迅变场
缓变场
B 0 t
电磁场 (EM)
准静电场 (EQS)
D 0 t
准静磁场 (MQS)
静电场 (ES)
静态场
0 t
id
rr S Jd dS
S
D t
dS
U m
d
cos(t)S0
CU m
cos(t)
ic
式中的S0为极板的面积，而
S0 C
d
为平行板电容器的电容。
( 2 ) 以 r 为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭
合线的磁场相等，故
rr
Ñc H gdl 2 rH
与闭合线铰链的只有导线中的传导电流 ic CUm cos(t)，故得
2.6 麦克斯韦方程组
2.6.3 媒质的本构关系
各向同性线性媒质的本构关系为
rr
D E
rr
B H
rr
J E
代入麦克斯韦方程组中，有
限定形式的麦克斯韦方程
r H
r E
t
(
r E
r
t
(
r H
)
(H) 0
r
( E)
r E)
（线性、各向 同性均匀媒质）
rr
H E
r E