81-2-4初等全纯函数(更新)

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w z z e i Argz ( Argz )是对数函数w
log z iArgz( Argz )乘以后再与指数函数的
w ez ( Im z )复合,因而是G上的全纯函
数, (z) z；其单叶性区域之一为角状域
a0 zn a1zn1 an1z1 an
和
b0 zm b1zm1 c0 zn c1zn1
bm1z1 bm cn1z1 cn
都是全纯函数,单值性区域就是其定义域. 单叶性区域和像域很复杂.
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1、指数函数 w exp(z)ezexiyex(cosyi siny)在 上全纯,
指数函数w eiz (0 Im(iz) 2 , Re(iz 0))
与
Rokovsky函数w 1 (z 1)(z B(0,1) \ [0,1))
2z 的复合,
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故D是cos z的单叶性区域,cos D \[1, ).
由
cos(iy) ey ey chy, sin(iy) ey ey ishy
z2 f2 (z1) z12在D1 f1(D)上双全纯；
0
z3 f3 (z2) z2 h2在D2 f2 (D1)上双全纯；
w f4 (z3) z3 在D3 f3 (D2 )上双全纯；
故w f (z) f4 f3 f2 f1(z)即为所求.
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f (z)从 到1严格递减地画出线段[1, )；
当z从1到 严格递增地画出区间[1, )时,
f (z)从1到 严格递减地画出线段[1, ).
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固定的w \ [1,1]或 \ ((, 1] [1, )), w在
f 下的原像是z1 w w21和z2 w w21.由z1z2 1可 知z1, z2分别在B(0,1) \{0}, B(,1)(或 上, 下)中.
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术语2.4.2（多值函数）:
设D 是域,若z D,都对应着非空复数集 F(z) ,则称F是D上的多值函数.
例如： Argz是 \{0}上的多值函数；
f (z) z21的反函数f 1(z) z 1也是 上 的多值函数.
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例 2.4.2：将如下图所示的域D双全纯映射成上半平面 上
2i
D
1 i
0
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解： z1 f1(z) z在D上双全纯；
这说明

（f B(0,1) \{0}） \ [1,1], f (B(,1)) \ [1,1]
或

f f
( (
上) 下)
\ ((, 1] [1, )), \ ((, 1] [1, )).
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4、 三角函数
eiz eiz
为条形域D {z : Im z }.
证： 因为e(log z iArgzi2k ) z eiArgz z,
故 w log z iArgzi2k是wez的反函数,
并且
(log z iArgzi2k )
1 e(log z iArgzi 2k )
w cosz
,
w sin
eiz eiz
z
在
上全纯,
2
2i
cosz是偶函数,sin z是奇函数,周期都为2, 都满足所有
的三角恒等式和三角函数求导公式;其单值性区域就
是定义域 ；cosz的单叶性区域之一为半带状域 D {z : 0 Re z 2 , Im z 0},cosD \ [1, )；

1.
z
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3、指数函数
w z z e iArgz ( 0)是 \ {0}上的多值函 数( *时是 上的全纯函数)；其单值性区域之一
为角状域 G {z \ {0} : Arg z }( , , 0 2 ),
w log z iArgzi2k (k , Argz )
都是指数函数wez ( Im z )的反函数,因而是 G上的全纯函数,(log z iArgz i2k ) 1；其单叶
z 性区域之一为角状域G；
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G在映射w log z iArgz(Argz )下的像域
2
2i
便得到
cos z sin z
cos xchy isin sin xchy i cos
xshy xshy
.
cos z和sin z都在 上无界.
再由不等式 cos z 2 sh2 y, sin z 2 sh2 y可以
看出cos z和sin z的零点一定是实数.
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( x1x2 )i( y1 y2 )
x1x2 i( y1 y2 )
ex1ex2 eiy1eiy2 ez1ez2 .
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指数函数w ez将z平面上的直线{z : Im z y0} ( y0 是常数)一一地映成w平面上从原点出发的射线 {z \{0}: Arg z y0}；
周期为i2 , 满足
ez0, e0 1, ez1z2 ez1ez2 , (ez)ez;
其单值性区域就是定义域 ；单叶性区域之一为
D{z : Im z}(, , 0 2 )；
D在w ez映射下的像域是角状域
G {z \{0}: Argz }.
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2.4 初等全纯函数
一、几个术语 二、初等全纯函数 三、举例
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一、几个术语
术语2.4.1（单射、双全纯、单叶、单叶性区域）: 设D 是域, 若f : D 既是全纯函数又是
单射(单射意思是z1, z2 D,总有f (z1) f (z2 )),则 称f 在D上双全纯,或称f 在D上单叶；称D为f 的单 叶性区域.
Z
G1{z \ {0}:1 Argz 1} ,
其中(1, 1
,0
1 1

min{2
,
2
})；
G1在映射wz z eiArgz下的像域为角状域
G2{z \{0}:1 Argz1}.
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证： 因为wz z eiArgz 就是复合函数e(log z , iArgz) 故 (z ) (e (log z iArgz)) e (log z iArgz) z . zz 由于对数函数w log z iArgz(1 Argz 1) 在G1上单叶,指数函数w ez (1 Im z 1)在条
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★ 研究初等全纯函数的意义和用途 1.计算某些积分 2.寻找双全纯映射 3.表述自然规律
★ 初等全纯函数的要素 定义域、单值性区域、单叶性区域、
像域(实变量的情形为定义域、单调性区 间、有界性、周期性、图像等等).
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二、初等全纯函数
0、多项式函数和有理函数
此外,
还有
cos
z

cos
xchy

i sin
xshy ,
因而 cos z
sinz sin xchy i cos xshy
和sin z都在
上无界, cos z的零点集是{k


2
:
k

},
sin z的零点集是{k : k }.
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证： 与实变量三角函数类似的那些性质由定义得到. w cos z(zD)是
当z从 1到0严格递增地画出区间[1, 0)时,
f (z)从 1到 严格递减地画出区间(, 1]；
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当z从到 1严格递增地画出区间(, 1]时,
f (z)从 到 1严格递增地画出区间(, 1]；
当z从0到1严格递增地画出区间(0,1]时,
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证：
(ez z
)

1 2

(ez x
)

i
(ez y
)


1 2
ex
(cos
y

i
sin
y)
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iex
(
sin
y

i
cos
y)

0.
(ez ) (ez ) ex (cos y i sin y) ez . x
e e e e z1z2
有ez1 ez2 . 故
D是w ez的单叶性区域,其像域显然是角状域
{z \{0}: Argz }.
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2、对数函数
wLogzlog z iArgz是 \{0}上的多值函数；其 单值性区域之一为角状域
G {z \{0} : Argz}( , , 0 2), 每个G上的函数
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证： 如果z1, z2 \{0}, z1z2,使得f (z1) f (z2),
则有

( z1

1 z1
)

(z2

1 z2
), z12 z2
z2

z22 z1
z1,
z1z2 (z1 z2 ) z1 z2 , z1z2 1.
故当z1, z2 \ {0}, z1 z2 , z1z2 1时, 一定成立 f (z1) f (z2).对于上述四个区域中的任意两个复数
将z平面上的开线段(z0, z0 i2 )(z0 是常数)一一
地映成w平面上以原点为中心的开圆周B(0, ex0 ) \{ez0 }.
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z1, z2D, z1z2 , 必有x1 x2或y1 y2.若x1 x2 ,
则 ez1 ez2 ;若y1 y2 ,则0 y1 y2 2 ,也
术语2.4.3（单值全纯（或连续）分支、单值性区域）:
设F是域 上的多值函数,域D. 若存在 D上的全纯(或连续) f函数满足f (z) F (z) , z D, 则称f 是F在D上的一个单值全纯(或连续)分支；称 D为f 的单值性区域.
例如：
arg z是Argz在 \ (, 0]上的一个单值连续分支.
形域D z : 1 Im z 1上单叶,故
G1是w=z z eiArgz的单叶性区域.
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Rokovsky函数
f (z) 1 (z 1)是 \{0}上的全纯函数;B(0,1) \{0}、 2z
B(,1)、上半平面
上、下半平面
z1,
z2
,
总是成立z1
z2

1,
从而它们都是f
(z)

1 2
(
z

1 z
)的
单叶性区域.
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当z从1到 1逆时针画出上半单位圆周时,
f (z)从1到 1严格递减地画出线段[1, 1]；
当z从 1到1逆时针画出下半单位圆周时,
f (z)从 1到1严格递增地画出线段[1,1].
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初等全纯函数 由指数函数和常数函数经过 有限次的四则运算、复合运算和求反函数运 算所得到的全纯函数被称为初等全纯函数.
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三、举例
例 2.4.1：将左如下图所示的域D双全纯映射成上半平面 上
解：
D
a ih z1 f1(z) z a在D上双全纯；
下都是f
(z)

1 2
(
z

1 z
)
的单叶性区域；它们在f 下的像域分别是
（f B(0,1) \{0}）= \ [1,1]； f (B(,1)) \ [1,1]； f ( 上 ) \ ((, 1] [1, ))； f ( 下) \ ((, 1] [1, )).
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