2019-年高考理科数学全国卷一概率压轴题解析

2019年高考理科数学全国卷一概率压轴题解析【题目叙述】

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得´1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未沿愈则乙药得1分，甲药得´1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i p i“0,1,¨¨¨,8q表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0“0，p8“1，p i“ap i´1`bp i`cp i`1p i“1,2,¨¨¨,7q，其中a“P p X“´1q，b“P p X“0q，c“P p X“1q.假设α“0.5，β“0.8.

（i）证明：t p i`1´p i up i“0,1,2,¨¨¨,7q为等比数列；

（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

【题目分析】

本题以概率在实践中的应用作为命题背景，重点考察学生对题目的阅读理解能力。命题人在命题过程中颇费心机：（1）在题目设计上，选取了概率论中一个非常经典的问题——“质点在直线上的随机游动（两端带吸收壁）”，这一问题在许多高等数学概率论的教材中都会涉及到，本身就自带一定的难度，尤其是在题目理解方面，更何况本题还是把这一理论问题实际化；“质点在直线上的随机游动（两端带吸收壁）”这一问题在本题后面也会详细介绍，以飨读者。（2）在难度控制上，命题人又通过各种手段极力控制其难度，把概率这一平常都是送分题的题目放到压轴题的位置上，对考生的心理压力本身就提出了很大的挑战，为了兼顾大多数的考生，命题人实际已经对题目做出了很大的简化。（3）在区分度的设计上，作为压轴题，必须具有一定的区分度，而在本题中，命题人更多的把区分度放在对题目的理解这一环节上，在计算上并没有什么难度。换言之，谁能真正读懂题

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目，谁就能得到高分，这也非常符合大纲中“重理解减计算”的要求。

第一问，考察离散型随机变量的分布列。根据试验要求，在每轮试验，甲治愈而乙未治愈甲得1分，乙治愈而甲未治愈甲得´1分，甲乙均治愈或者甲乙均未治愈甲得0分。可以很容易看出，一轮试验中甲药的得分X的取值可能为1，0，´1，根据甲乙两药治愈与否相互独立，可很容易计算P p X q。相对较为容易。

第二问，难点同样在于理解题目。甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i p i“0,1,¨¨¨,8q表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，可以很明显发现，在试验过程中，不管进行几轮试验，甲乙两药的总分之和永远是8，而要想要得出“甲药比乙药更有效”这个结论当且仅当“甲的得分比乙多8分”时成立，类似的，要想要得出“乙药比甲药更有效”这个结论当且仅当“乙的得分比甲多8分”时成立；因此，甲得分为0时，乙得分必为8，此时肯定能得出“甲药比乙药更有效”（为了叙述方便，后面把“甲药比乙药更有效”简写为甲胜），即p0“0，同样地，p8“1。为了减小理解难度，题目中竟然把这两个结论当作条件白送给考生了；进一步地，当甲得分为i p i“1,2,¨¨¨,7q 分时，乙的得分为p8´i qp i“1,2,¨¨¨,7q分，而此时甲´乙的分差为p2i´8qp i“1,2,¨¨¨,7q，分差不是8或者´8，也就是说在甲得分为i p i“1,2,¨¨¨,7q分时，根据题目设定，甲乙胜负未定，但是二者最终肯定要决出胜负，必然也就相应地存在胜负的概率，这也就产生了第二问题目中一个关键的命题“p i p i“0,1,¨¨¨,8q表示甲药的累计得分为i时，最终认为甲胜的概率”，关键词在“最终”，也就是让你根据甲目前的得分i，“预判”其最终获胜的概率p i。为了求解p i，我们考虑这样的场景，在甲得分为i时的下一轮试验中其得分i的变化情况，有P p X“1q的概率变为i`1,有P p X“0q的概率依旧为i,有P p X“´1q的概率依变为i´1,故p i“ap i´1`bp i`cp i`1p i“1,2,¨¨¨,7q，其中a“P p X“´1q，b“P p X“0q，c“P p X“1q，这一关键的递推关系同样白送了，再次减小了题目的难度。根据这一递推关系，很容易求解p i，并且求解这种递推公式也是高中很常见的模型，读者可以在我百度文库的个人主页找到相关内容“高中求数列通项公式常用方法总结”。

整体而言，本题非常注重理解能力，只有真正理解了题目，才能解答好本题。

【题目解答】

(1)X的所有可能取值为´1，0，1.

P p X“´1q“p1´αqβ，

P p X“0q“αβ`p1´αqp1´βq，

P p X“1q“αp1´βq.

所以X的分布列为

X´101

P p1´αqβαβ`p1´αqp1´βqαp1´βq

(2)由（1）得a“0.4，b“0.5，c“0.1.

因此p i“0.4p i´1`0.5p i`0.1p i`1，故0.1p p i`1´p i q“0.4p p i´p i´1q，即

p i`1´p i“4p p i´p i´1q

又因为p1´p0“p1‰0，所以t p i`1´p i up i“0,1,2,¨¨¨,7q为公比为4，首项为p1的等比数列.

由可得

p8“p8´p7`p7´p6`¨¨¨`p1´p0`p0

“p p8´p7q`p p7´p6q`¨¨¨`p p1´p0q

“48´1 3

p1

由于p8“1，故p1“

3

48´1

，所以

p4“p p4´p3q`p p3´p2q`p p2´p1q`p p1´p0q “

44´1

3

p1

“

1

257

p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为

0.8时，认为甲药更有效的概率为p4“

1

257

«0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这

种试验方案合理.

【题目命题背景】

在x轴上有一质点，它只停留在在整数点上，初始时刻它位于点x“a，之后每经过一个单位时间，它会受到外力的作用，分别以p，q（其中p，q满足p`q“1且0ăp,qă1）的概率为向右或者向左方向移动一个单位。同时在x“0以及x“a`b（a，b均为正整数）处各有一个吸收壁，当质点到达吸收壁时，质点被吸收，不再游动。以q n p n“0,1,¨¨¨,a`b q表示该质点在x“n处被x“a`b 处的吸收壁吸收的概率。求q n p n“0,1,¨¨¨,a`b q。

易知q0“0，q a`b“1；