大学物理 平面简谐波的波函数

yC 3 10
2
18
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y A 310 cos(4 π t )m
8m 5m
2
u
oA
9m
10m
D
C
B
x
8 B C 2π 2π 1.6π 10 xC xD 22 C D 2π 2π 4.4π 10
P Q x
28
7.频率为500 HZ的简谐波，波速为 350 m
（1）沿波的传播方向，相位差为
o
s
60 的两点间相距多远？
（2）在某点，时间间隔为 10－3 s 的两个振动状态，其相 位差为多大？

由波形图可知原点在该时刻的运 动方向竖直向上（如图示） 则t=2s时的相位为 A 2
x
2u 原点的振动方程为： t 2 y A cos
2
26
波的传播方向向左，得到波动方程为
2u x y A cos t 2 u 2
2 π d

dC
7
二 波函数的物理意义
x t x y A cos[ (t ) ] A cos[ 2 π( ) ] u T
1 当 x=x0 固定时， 波函数表示该点的简谐
运动方程，并给出该点与开始振动的点 O相位差.
x0 x0 2 π u λ
17
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
u
C
8m
y A 310 cos( 4 π t )m 10m 5m 9m
B
2
oA
D
x
AC
点 C 的相位比点 A 超前
cos( 4 π t 2 π )m 13 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5 点 D 的相位落后于点 A AD 2 y D 3 10 cos( 4 π t 2 π )m 9 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5
y y
O
u
x
t
x
时刻
t t 时刻
x x
t x y A cos 2 π ( ) (t , x) (t t , x x) T t x t x t t x x x ut 2π ( ) 2π ( ) T T T 11
4
波动方程的其它形式
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ y( x, t ) A cos(t kx )
质点的振动速度，加速度 角波数 k 2 π
(wave number)

y x v A sin[ (t ) ] t u
0,
2

2


2
所以 4(m)
y 2 ⑵ a 2 | x 3 0.2 cos t x | x 3 t 2 3 2 0.2 cos t 2
25
5.如图所示为一平面简谐波在t=2s时刻的波形图,该波 的振幅A、波速u、波长λ 均为已知，则此简谐波的波
y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
8
波线上各点的简谐运动图
9
x t x y A cos[ (t ) ] A cos[ 2 π( ) ] u T
2 当 t t0一定时，波函数表示该时刻波线上各 点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ]m 2.0 2.0 2 π t 1.0s y 1.0 cos[ π x ]m 2 波形方程 1.0 sin(π x)m sin(πx) 0 y/m x 0 , 1 , 2 , ( m ) * *
1.0
o*
-1.0
在t＝1／v时刻：
1 v | x x2 2A sin 2 (1 ) 2A 4
即速度比为-1。
3 v | x x1 2A sin 2 (1 ) 2A 4
22
2.一平面余弦波在t=0时刻的波形曲线如图所示，则o 点的振动初位相为： （D）
( A) 0 , ( C) ,
一 平面简谐波的波函数
(planar simple harmonic wave wave function) 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的 位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) 称 为波函数.
y y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
* 1.0
*
* 2.0
* x/m 3.0
t 1.0 s 时刻波形图
sin(πx) 1 x (2k 1.5)m 14 k 0,1,2,
sin(πx) 1 x (2k 0.5)m
3）
x 0.5m 处质点的振动规律并作图 .
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ]m 2.0 2.0 2 x 0.5m 处质点的振动方程
2u x 动方程是： y A cos t 2 u 2
2 2u 分析： T u T
2u 质点的振动方程是 y P A cos (t 2) 2
（SI）；P点处 （SI）。
讨论：如图简谐 波以余弦函数表示， 求 O、a、b、c 各点 振动初相位.
t =0
A
O
y
a
u
b
t=T/4
c
( π ~ π ) A o π O y


O
A

O

x
A b 0 y
π c 2
12
A
y
π a 2
A
O

y
例1 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A 1.0m ， T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
yo A cos t x 0 , 0 x p O 2 π

点 O 振动方程
3
如果原点的
初相位不为零
A
O
y
u

x 0 , 0
点 O 振动方程
x
A
yO A cos(t )
x 波 y A cos[ (t ) ] u 沿 x 轴正向 u 函 x 数 y A cos[ (t ) ] u 沿 x 轴负向 u
点P 振动方程
x y P A cos (t ) u

点P
t 时刻点 P 的运动
2
波函数
y A
O
u
x
P
*
x y A cos (t ) u
相位落后法
A

x
点 P 比点 O 落后的相位
x x x p 2π 2π Tu u x y p A cos (t ) 点 P 振动方程 u
6
2）平面简谐波的波函数为 y A cos(Bt Cx) 式中 A, B, C 为正常数，求波长、波速、波 传播方向上相距为 的两点间的相位差.
d y A cos(Bt Cx)
t x y A cos 2 π ( ) T 2 π 2π B T u C B T C
24
4.一平面简谐波沿x轴正方向传播,其波动方程为： y=0.2cos(π t-π x/2)(SI)则此波的波长λ = 4m ； 在x=-3米处媒质质点的振动加速度a的表达式为: 3 2 a 0.2 cos(t ) ( SI ) 。 2
分析：⑴由波动方程 得： A 0.2(m),
y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
2
5
讨论
1）给出下列波函数所表示的波的传播 方向和 x 0 点的初相位.
t x y A cos 2π ( ) (向x 轴正向传播 , π ) T
x y A cos (t ) (向x 轴负向传播 , π ) u
1）波动方程 解
t x y A cos[ 2π( ) ] T
写出波动方程的标准式
O
π y 2 A y 0, v 0 t t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ]m 2.0 2.0 2 13
y
t 0 x0
2）求 t 1.0s 波形图.
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波. 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
1
以速度u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波 . 令 原点O 的初相为 零，其振动方程
yO A cos t
时间推 迟方法
yO A cos t
点O 的振动状态
x t u
t-x/u时刻点O 的运动
y 1.0 cos(π t π)m
y
3 4
O
y/m
1.0 2 0 -1.0*1 2 * 3 *
1

1Байду номын сангаас0
4 *
2.0
*
*
t /s
x 0.5 m 处质点的振动曲线
15
例2 一平面简谐波以速度u 20m / s 沿直线传播,波 线上点 A 的简谐运动方程 y A 3102 cos(4 π t )m .
8m C B 5m
u
oA
9m D
x
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 10 m T 0.5s 0 uT 10m t x y A cos[ 2π ( ) ] T t x 2 y 3 10 cos 2 π ( )m 0.5 10 16
由图可知：P点跟原点O的位置距离为
两点的相位为反相，相差 可得到P点的振动方程为：

2

2u t 2 y A cos 2
27
6.如上题图，Q、P两点处质点的振动相位差是：
φ Q-φ P= －π/6 。
分析：
由波形图可知t=2s时, ,Q点处的质 点将由A/2向y轴负向运动, 由旋转矢量图可知,该时刻Q点的相位为π/3, 同理可知该时刻P点将由平衡位置向y轴负向运动， P点的相位为π/2, 所以： φQ-φP=－π/6。
分析：
2 3 ( D) 2
( B)

,
由波形图可判定O点在该时刻的振动方向竖直向 上（如图示）
A x
3 由旋转矢量图可知此时的相位为 2
23
3.在下面几种说法中,正确的说法是: （C）
(A)波源不动时,波源的振动周期与波动的周期在数 值上是不同的。 (B)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相超前。 (C)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相滞后。 (D) 波源的振动速度与波速相同。
xB xC
19
作业1 共6题
20
补充习题
21
1.一平面简谐波的波动方程为：y=Acos2π (ν t-x/λ )。
在t= 1/ν 时刻,x1=3λ /4与x2=λ /4二点处介质点速度之 比是： （B） ( A) 1 , 分析：
( B) 1 ,
( C) 3 ,
( D) 1 3
dy x v 2A sin 2 (vt ) dt
2
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
y A 310 cos(4 π t )m
8m C 5m
2
u
9m A D
oB
x
π
B A 2π
xB x A

5 2π 10
2
B π
y 3 10
yB 310 cos(4 π t π)m
2
t x cos[ 2 π( ) π]m 0.5 10
t0 y A cos[2 π (2π )] T
x
y ( x, t ) y ( x , t ) （波具有空间的周期性）
波程差
x21 x2 x1
2π x
x2 x1 x21 12 1 2 2 π 2π

10
3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方 向的运动情况（行波）.