经典：简单曲线的极坐标方程

θ＝α或θ＝α＋π ρcosθ＝a －π2<θ<π2 ρsinθ＝a (0<θ<π)
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极坐标方程 ρ＝cosπ4－θ所表示的曲线是(
)
A．双曲线
B．椭圆
C．抛物线
D．圆
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【解析】
∵ρ＝cosπ4－θ＝
22cosθ＋
2 2 sin
θ，
ρ2＝
2 2 ρcos
θ＋
2 2 ρsin
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极坐标方程与直角坐标方程的互化
若曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴
为 x 轴的正半轴建立直角坐标系．
(1)求曲线 C 的直角坐标方程；
(2)若直线ρsin
θ－π 4
＝0
与曲线
C
相交于
A、B，求|AB|.
【思路探究】 利用极坐标化为直角坐标的公式将直线和圆的极坐标方程 化为直角坐标方程求解．
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下列点不在曲线 ρ＝cos θ 上的是( )
A.12，π3
B.－12，23π
C.12，－π3
D.12，－23π
【解析】 点12，－23π的极坐标满足 ρ＝12，θ＝－23π，且 ρ≠cos θ＝cos－23π
＝－12. 【答案】 D
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教材整理 3 常见的极坐标方程
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【解】 由题意，设 M(ρ，θ)为射线上任意一点， 根据例题可知，ρsinπ4－θ＝ 22， 化简得 ρ(cos θ－sin θ)＝1. 经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程． 因此，以 A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为 ρ(cos θ－sin θ)＝ 1其中ρ≥0，0≤θ<π4.
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[基础·初探] 教材整理 1 曲线与方程 阅读教材 P12“圆的极坐标方程”以上部分，完成下列问题． 在平面直角坐标系中，平面曲线 C 可以用方程 f(x，y)＝0 表示．曲线与方 程满足如下关系： (1)曲线 C 上点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解； (2)以方程 f(x，y)＝0 的解为坐标的点都在曲线 C 上．
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即 ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0.
由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5 的半径为 r＝ 5，圆心(2,1)到直线 x－y＝0 的距
离为
d＝|2－21|＝
1， 2
∴|AB|＝2 r2－d2＝3 2.
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1．直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式 x＝ρcos θ 及 y＝ρsin θ 直接 代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如 ρcos θ， ρsin θ，ρ2 的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两 边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应 注意对变形过程的检验．
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教材整理 2 极坐标方程 阅读教材 P12～P13“例 1”以上部分，完成下列问题． 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一 个满足方程 f(ρ，θ)＝0 ，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f(ρ，θ) ＝0 叫做曲线 C 的极坐标方程．
阅读教材 P13～P15，完成下列问题．
曲线
图形
圆心在极点，半径为 r 的圆
圆心为(r,0)，半径为 r 的圆
圆心为r，π2，半径为 r 的圆
极坐标方程 ρ＝r (0≤θ<2π) ρ＝2rcosθ －π2≤θ≤π2 ρ＝2rsinθ (0≤θ<π)
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过极点，倾斜角为 α 的直线 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 过点a，π2，与极轴平行的直线
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【自主解答】
(1)因为yx＝＝ρρscions
θ， θ，
所以 ρ2＝x2＋y2，
由 ρ＝2sin θ＋4cos θ，得 ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ
∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)由 ρsinθ－π4＝0，
得 ρ 22sin θ－ 22cos θ＝0，
阶
阶
段
段
一
三
三 简单曲线的极坐标方程
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法． 2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极 点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．(重点、易错点) 3．能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题．(难点)
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【自主解答】
法一 设 M(ρ，θ)为直线上除点 A 以外的任意一点． 则∠xAM＝π4，∠OAM＝34π， ∠OMA＝π4－θ. 在△OAM 中，由正弦定理得 sin∠|OMOA| M＝sin∠|OOA|MA，
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即sinρ34π＝sinπ41－θ，故 ρsinπ4－θ＝ 22，
θ，
∴x2＋y2＝ 22x＋ 22y，这个方程表示一个圆．
【答案】 D
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[小组合作型] 直线或射线的极坐标方程
求过点 A(1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程． 【思路探究】 画出草图―→设点 M(ρ，θ)是直线上的任意一点―→建立关 于 ρ，θ 的方程―化―简→检验．
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法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点 M 所满足的等式，从而集中条 件建立了以 ρ，θ 为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过 直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思 维方式，而且简化了解题过程．
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[再练一题] 1．若本例中条件不变，如何求以 A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方 程？
即
π ρsin4cos
θ－cosπ4sin
θ＝
22，
化简得 ρ(cos θ－sin θ)＝1，
经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程，
所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4，ρ≥0
和54π<θ<2π，ρ≥0.
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法二 以极点 O 为直角坐标原点，极轴为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy. ∵直线的斜率 k＝tanπ4＝1， ∴过点 A(1,0)的直线方程为 y＝x－1. 将 y＝ρsin θ，x＝ρcos θ 代入上式，得 ρsin θ＝ρcos θ－1， ∴ρ(cos θ－sin θ)＝1， 其中，0≤θ<π4，ρ≥0 和54π<θ<2π，ρ≥0.